“基本不等式”在生活中的應用

王俊杰 顧怡萌

摘要：知識來自生活，學習了“基本不等式”，通過幾個生活中實例，學以致用，說明“基本不等式”的應用。

關鍵詞：基本不等式

在日常生活中，不僅有語文的“人間已秋，山河忽晚”，英語的How do you do？往往還隱藏著數學的小知識，今天我們研究的是：基本不等式在生活中的應用.希望能以此為我們的生活添上濃墨重彩的一筆.

以下便是基本不等式在生活中的運用：

一、“歐也妮葛朗臺”式的費用和最值問題研究

1.某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運費為4萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，求x.

點評：“歐也妮葛朗臺”式的數學問題，往往要求達到總費用最小值，基本不等式這時能派上大用場，即在滿足一定條件下，可以使開銷最小化，不可謂不實用.

2.最優化設計——節省建材問題研究

如圖1—1，是一個由鋼筋制成的窗框的示意圖，其由一個半圓及一個矩形構成.窗框的面積為4.問：如何設計該窗框中矩形的長寬，使制作的鋼筋材料最省？

點評：房產開發商們，為控制開發成本，對建筑材料的使用需要精打細算。例如面臨鋼鐵等建材緊缺、價格奇高的大難題，怎么辦呢——“省”.通過使用基本不等式，推算出圍成圖案所耗材的最小值，幻想自己為祖國現代化獻上自己的一分力量.

二、遇事不決，坐標系來解決

3.A為某海灘涂上點，退潮時海岸線上直線DE，其過點A正北0.5km的點D和正東1km的點E.現在計劃在海岸線DE上選一點B，修一個尖角的圍欄∠ABC，即修圍欄AB和圍欄BC，其中點C的位置恰在點A的正東、點B的正南.問：如何選擇點B，可使所用的圍欄的總長度最小？最小圍欄長是多少？

點評：當然，在生活中我們也會遇到前兩種方法無法解決的難題，那么此時該怎么辦呢？在此為大家隆重推出新的方法——“遇事不決，坐標系來解決”.通過在原有圖形的基礎上構建直角坐標系，將圖形的抽象的線與線的概念具象化為點與點的關系，會有助于我們更加清晰地了解并解決數學問題.

三、“圍魏救趙”法解決復雜元素

4.如圖3，ABCD是邊長為10海里的正方形海域.現有一架 飛機在該海域失事，兩艘海事搜救船在A處同時出發，沿直線AP、AQ向前聯合搜索，且∠PAQ=（其中點P、Q分別在邊BC、CD上），搜索區域為平面四邊形APCQ圍成的海平面.設∠PAB =θ，搜索區域的面積為S.

（1）試建立S與tanθ的關系式，并指出θ的取值范圍.

點評：當你看到一系列復雜的數字，諸如“tanα+1”“a3+1”是否眉頭一皺，發現事情不那么簡單？這時與數字硬碰硬，往往沒什么好下場，不妨另辟蹊徑，選擇用簡單的字母替換復雜的元素，不僅能使計算更簡單，還能一定程度上提高準確率，這一招“圍魏救趙”助你一臂之力.

四、返璞歸真，基本不等式性質別忘記

5.上海報改建一座大型足球場，其設計方案側面的外輪廓線如圖4.曲線AB是以點E為圓心的圓的一部分，其中E（0，t）（0<t≤25），曲線BC是拋物線y=-ax2+50（a>0）的一部分.CD⊥AD，且CD恰好等于圓E的半徑.現在擬改建足球場的高OB = 50米.

點評：在建立直角坐標系的基礎上來觀察這道問題.問題要求我們求出“范圍”和“最大值”，看到這兩個詞，我們應該自然而然跟基本不等式聯系在一起，運用基本不等式的性質，我們很容易就能求解.在學習了上述多種方法后，也別忘了返璞歸真，回歸本質.會用最簡單的武器解決最難的問題，才能真正稱得上掌握.

由上觀之，解決問題的數學方法多種多樣，遨游在數學知識的海洋中，不僅能使我們豐富精神涵養，也能使我們多角度看待生活中的問題，想出與眾不同的奇思妙想.將數學與語文融合在一起，縱向拉伸知識層面，做一個理性的“詩人”.

參考文獻：

[1]張榮欣.構建數學模型 把握問題策略——以“基本不等式的應用”教學為例[J].中學數學教學參考，2019（003）：10-13.