基于三角覆蓋MF-DFA的環(huán)形零件圖像種類特征研究

盛文婷，王幸，賴科學(xué)，何濤

（1.湖北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，湖北武漢430068；2.湖北工業(yè)大學(xué)現(xiàn)代制造質(zhì)量工程湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北武漢430068）

我國(guó)是制造業(yè)大國(guó)，零件作為制造域中最基本的組成單元，在制造域中具有舉足輕重的地位[1]。有效地進(jìn)行零件種類識(shí)別是制造域中不可或缺的環(huán)節(jié)。近年來(lái)，快速發(fā)展的圖像識(shí)別技術(shù)正好可以解決這一問(wèn)題[2]。零件圖像種類特征提取作為零件種類圖像識(shí)別的關(guān)鍵步驟，在制造域中極其重要。

目前，常用的零件圖像特征提取方法是利用圖像處理算法從圖像中獲取零件的幾何與紋理特征[1,3]。然而，近幾年新興的多重分形可以考慮物體在形成過(guò)程中各種不同層次的特征，能夠更加全面有效地對(duì)物體進(jìn)行描述[4-5]。在多重分形算法中，MF-DFA 能較好地反映非線性與非平穩(wěn)對(duì)象不同尺度的特性[6]，但存在過(guò)度覆蓋的缺點(diǎn)。

因此，文中對(duì)MF-DFA 略作改進(jìn)，提出一種可以減少過(guò)度覆蓋的三角覆蓋MF-DFA，用于描述具有分形特性的環(huán)形零件圖像的種類特征，并利用SVM 對(duì)所得的種類特征進(jìn)行識(shí)別驗(yàn)證。驗(yàn)證結(jié)果表明該方法可以準(zhǔn)確表達(dá)環(huán)形零件圖像的種類特征。

1 三角覆蓋MF-DFA

1.1 MF-DFA算法

多重分形是由多個(gè)標(biāo)量指數(shù)的奇異測(cè)度所組成的集合。它使用一個(gè)譜函數(shù)從對(duì)象的部分出發(fā)，根據(jù)自相似性質(zhì)，來(lái)研究其最終的整體特征[7]。MFDFA 是Kantelhardt 等人在(Detrended Fluctuation Analysis,DFA)的基礎(chǔ)上提出的一種非平穩(wěn)時(shí)間序列多重分形特征分析方法。該方法能快捷地計(jì)算出一維數(shù)據(jù)的多重分形譜，并進(jìn)行有效的多重分形特征分析[8-9]。

隨著MF-DFA 應(yīng)用域的拓展，MF-DFA 已被推廣至二維以及高維數(shù)據(jù)中[10]。該次研究對(duì)象為環(huán)形零件圖像，因此選用的算法為二維MF-DFA。二維MF-DFA 對(duì)于大小為M×N的矩形序列x(m,n) (m=1,2…,M,n=1,2…,N)進(jìn)行分析的具體流程如下：

1）對(duì)x(m,n)構(gòu)造去均值的和序列Y(i,j)。其中，i=1,2,…,M,j=1,2,…,N，為序列x(m,n)的平均值。

2）如圖1所示，使用邊長(zhǎng)為s的正方形模塊，對(duì)Y(i,j)從其左上角開(kāi)始，從左至右、從上至下進(jìn)行覆蓋，將序列Y(i,j) 分成Ms×Ns(Ms=[M/s],Ns=[N/s]) 個(gè)互不重疊的小正方形區(qū)域，每個(gè)區(qū)域均包含s×s個(gè)數(shù)據(jù)。由于M與N不一定被s整除，為防止數(shù)據(jù)的遺漏，需從序列Y(i,j)其他3 個(gè)角開(kāi)始再次進(jìn)行覆蓋，共得到4Ms×Ns個(gè)小正方形區(qū)域(w,v)(w=1,2,…,2Ms,v=1,2,…,2Ns)。

圖1 二維MF-DFA覆蓋

3）依次對(duì)4Ms×Ns個(gè)小區(qū)域(w,v)內(nèi)的s×s個(gè)數(shù)據(jù)使用最小二乘法進(jìn)行二元多項(xiàng)式擬合，如式（2）所示。其中，i=1,2,…,s,j=1,2,…,s。

4）計(jì)算均方誤差F2(s,w,v)。

5）對(duì)于4Ms×Ns個(gè)區(qū)域，計(jì)算q階測(cè)度波動(dòng)函數(shù)Fq(s)。

Fq(s)是關(guān)于模塊邊長(zhǎng)s與分形階數(shù)q的函數(shù)，隨著s的增大，F(xiàn)q(s) 呈冪律關(guān)系增加，即Fq(s)∝sh(q)。h(q)為Hurst 指數(shù)。它與奇異指數(shù)α、奇異譜f(α)之間存在以下關(guān)系：

6）重復(fù)步驟5），不斷改變正方形模塊的邊長(zhǎng)s，獲得一組不同尺度s下的測(cè)度波動(dòng)函數(shù)Fq(s)，對(duì)s和Fq(s)取對(duì)數(shù)得到log(s)和log(Fq(s)) 。將兩者進(jìn)行線性擬合得到h(q)，并代入式(5)中計(jì)算，即可獲得x(m,n)的多重分形譜α-f(α)。

1.2 三角覆蓋MF-DFA算法

根據(jù)1.1 節(jié)可知，在二維MF-DFA 中，通常使用正方形模塊對(duì)二維序列進(jìn)行覆蓋。這樣會(huì)使得圖像中圖形輪廓占據(jù)正方形模塊區(qū)域不夠充分，造成過(guò)度覆蓋。因此，文中使用三角形模塊進(jìn)行覆蓋。

此外，二維MF-DFA 通常使用二元多項(xiàng)式擬合計(jì)算測(cè)度波動(dòng)函數(shù)Fq(s)。二元線性擬合運(yùn)算的時(shí)間復(fù)雜度遠(yuǎn)大于一元線性擬合。因而，三角覆蓋MF-DFA 選用一元線性擬合來(lái)計(jì)算Fq(s)。三角覆蓋MF-DFA 對(duì)于大小為M×N的二維矩形序列x(m,n)(m=1,2,…,M,n=1,2,…,N)進(jìn)行分析的流程如下：

1）根據(jù)式(1)對(duì)x(m,n)構(gòu)造去均值的和序列Y(i,j)。

2）取邊長(zhǎng)為r的正方形模塊(r為偶數(shù)，4 ≤r≤W，W=min(M,N))。如圖2中的陰影部分所示，對(duì)正方形模塊進(jìn)行分塊，分成4 個(gè)大小相同，方向不同的等腰三角形模塊。模塊1 位于正方形模塊的右上方。將模塊1 分別順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°、180°、270°即可獲得模塊2、3、4。其中h為三角形模塊的高度，h=r/2(2 ≤h≤W/2)。每一個(gè)模板面積占正方形模塊面積的1 4。

圖2 三角形覆蓋模塊與序號(hào)標(biāo)注

3）如圖3所示，用這4 種模塊對(duì)Y(i,j)從其左上角開(kāi)始，從左至右、從上至下進(jìn)行覆蓋，獲得4Mr×Nr(Mr=[M/r],Nr=[N/r]) 個(gè)互不重疊的小區(qū)域。每個(gè)區(qū)域均包含s(s=h×h)個(gè)數(shù)據(jù)。由于M與N不一定被r整除，為防止數(shù)據(jù)遺漏，從Y(i,j)其他3 個(gè)角開(kāi)始再次進(jìn)行劃分，共得到Ns(Ns=16Mr×Nr)個(gè)小三角形區(qū)域?(v)(v=1,2,...,Ns)。如圖2所示，將每個(gè)小區(qū)域內(nèi)的s個(gè)像素點(diǎn)依次進(jìn)行序號(hào)標(biāo)注。

圖3 二維三角MF-DFA覆蓋

4）分別對(duì)Ns個(gè)小區(qū)域?(v)內(nèi)的s個(gè)像素點(diǎn)的灰度值與其對(duì)應(yīng)的序號(hào)k(k=1,2,…,s)使用最小二乘法進(jìn)行一元一次多項(xiàng)式擬合。

5）計(jì)算均方誤差F2(s,v)

6）對(duì)Ns個(gè)區(qū)域，計(jì)算q階測(cè)度波動(dòng)函數(shù)Fq(s)。

7）重復(fù)步驟6），不斷改變?nèi)切文K的高h(yuǎn)，獲得一組不同尺度s下的測(cè)度波動(dòng)函數(shù)Fq(s)，對(duì)s和Fq(s)取對(duì)數(shù)并進(jìn)行線性擬合得到h(q)，代入式(5)中計(jì)算即可得到x(m,n)的多重分形譜。

為了清楚顯示三角形模塊覆蓋優(yōu)于正方形模塊覆蓋。該文設(shè)計(jì)了一個(gè)驗(yàn)證性對(duì)比實(shí)驗(yàn)。如圖4所示，對(duì)一條不規(guī)則且具有一定自相似的二維圖形，分別用正方形模塊和三角形模塊進(jìn)行覆蓋。并分別計(jì)算出覆蓋該圖形所需正方形模塊面積S1與所需三角形模塊面積S2占整幅圖像面積S的比率η1與η2(η1=S1/S,η2=S2/S)。

經(jīng)計(jì)算得η1=73.44%,η2=61.33%(η1＞η2) 。因此，三角形覆蓋方法在保證圖像完全覆蓋的情況下，解決了過(guò)度覆蓋的問(wèn)題，提高了圖像覆蓋的精度。

2 環(huán)形零件圖像種類特征研究

2.1 研究對(duì)象選擇

如圖5所示，在常見(jiàn)環(huán)形零件中齒環(huán)、齒輪、軸承與螺母都由自身的結(jié)構(gòu)單元重復(fù)組成，并且存在突出的不規(guī)則和一定自相似性的特征，即分形特性。因此選用這四類環(huán)形零件的圖像作為研究對(duì)象。在圖6所示的環(huán)形零件圖像采集系統(tǒng)中，采集四類環(huán)形零件圖像，它們的原始圖像如圖7所示。

圖5 環(huán)形零件自相似性質(zhì)

圖6 環(huán)形零件圖像采集系統(tǒng)

2.2 環(huán)形零件圖像種類特征分析

如圖7所示，原始環(huán)形零件圖像中背景區(qū)域偏白，零件區(qū)域偏黑，零件區(qū)域內(nèi)像素點(diǎn)的灰度值遠(yuǎn)小于背景區(qū)域內(nèi)像素點(diǎn)的灰度值。此外，受拍照環(huán)境的影響，原始環(huán)形零件圖像中存在少量噪音光斑。它們均會(huì)對(duì)多重分形譜的計(jì)算結(jié)果造成影響。所以在計(jì)算前需對(duì)圖像進(jìn)行預(yù)處理。預(yù)處理分為4 個(gè)步驟，分別是二值化、面積濾波、零件區(qū)域灰度值還原與零件區(qū)域灰度值取反。

圖7 環(huán)形零件原始圖像

環(huán)形零件預(yù)處理圖像如圖8所示。此時(shí)，圖像中無(wú)噪音光斑，零件區(qū)域偏白，背景區(qū)域偏黑，零件區(qū)域內(nèi)像素點(diǎn)的灰度值遠(yuǎn)大于背景區(qū)域內(nèi)像素點(diǎn)的灰度值。圖像零件區(qū)域的特征被完美保留并且非常突出。至此，圖像預(yù)處理工作結(jié)束。

圖8 環(huán)形零件預(yù)處理圖像

由于單張環(huán)形零件圖像的多重分形譜無(wú)法完美詮釋環(huán)形零件圖像的整體特征。分別將四類環(huán)形零件在圖6所示系統(tǒng)中以不同的位置形態(tài)各采集100張圖像，使用1.2 節(jié)中的三角覆蓋MF-DFA 計(jì)算它們的多重分形譜，用于環(huán)形零件種類特征研究。

計(jì)算過(guò)程中，理論上分形階數(shù)q的取值范圍越大越好，但是隨著取值范圍的加大，所需的計(jì)算量與運(yùn)算時(shí)間均會(huì)增加。綜合考慮，q的取值范圍是-10.5～10.5，取值間隔為0.2。因此，每張圖像的多重分形譜上有106 個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)具有橫縱兩個(gè)坐標(biāo)，共包含212 個(gè)數(shù)據(jù)。

將計(jì)算好的齒環(huán)、齒輪、軸承與螺母圖像的多重分形譜分別以不同形狀的譜線繪制于圖9(a)中。觀察圖9(a)可知，在四類環(huán)形零件圖像譜線頂點(diǎn)的右側(cè)，四類環(huán)形零件圖像譜線交錯(cuò)重疊，雜亂無(wú)章，種類特征不明顯。而在譜線頂點(diǎn)的左側(cè)，如圖9(a)中黑色虛線框所示，同類環(huán)形零件圖像的譜線各自成束，非同類環(huán)形零件圖像的譜線雖有少許相交但大致錯(cuò)開(kāi)，種類特征較為明顯，易于區(qū)分。

如圖9(b)所示，選擇四類環(huán)形零件圖像的每根譜線中位于各自譜線頂點(diǎn)左側(cè)區(qū)域的數(shù)據(jù)作為環(huán)形零件的種類特征數(shù)據(jù)。在環(huán)形零件種類特征數(shù)據(jù)中，每張環(huán)形零件圖像對(duì)應(yīng)一根短譜線，每根短譜線上均有53 個(gè)點(diǎn)，共包含106 個(gè)數(shù)據(jù)。

2.3 環(huán)形零件圖像種類特征值提取

根據(jù)圖9(b)可知，環(huán)形零件種類特征數(shù)據(jù)呈非線性，來(lái)自400 張環(huán)形零件圖像，每張圖像均有106個(gè)數(shù)據(jù)。即特征數(shù)據(jù)的維度為106，可以組成一個(gè)大小為400×106 的矩陣A。由于A的維度較高，不利于識(shí)別驗(yàn)證，需進(jìn)行降維處理。

圖9 種類特征分析

在降維算法中KPCA 既可以達(dá)到數(shù)據(jù)降維的目的又兼顧了非線性的問(wèn)題，適合非線性特征提取[11]，選用KPCA 用于降維。

2.3.1 KPCA

KPCA 的基本思想是利用核函數(shù)，將原始低維空間數(shù)據(jù)通過(guò)非線性變換映射到高維特征空間F。在F中使用線性主成分分析(Principal Component Analysis,PCA)提取數(shù)據(jù)的特征值[11-13]。

KPCA 對(duì)于樣本數(shù)據(jù)集X={x1,x2,...xm},xk∈RN（N為樣本維度，m為樣本數(shù)量）的降維步驟如下：

1）計(jì)算X的核函數(shù)K(Kij=?(xi)·?(xj))。由于高斯徑向基RBF 核函數(shù)計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單，并且預(yù)測(cè)速度和精度通常優(yōu)于其他核函數(shù)[11]，選用RBF 核函數(shù)。其表達(dá)式如下所示。

2）根據(jù)式（10）中心化處理K獲得。其中，

3）對(duì)進(jìn)行特征向量分解，獲得?的特征值λi與特征向量?。其中，

4）將特征值按降序排序得λ′1＞…＞λ′m，并以此調(diào)整特征向量的順序得v1′,…,v′m。

5）將v′1,…,v′m使用施密特正交法獲得單位正交化特征向量a1,…,am。

6）計(jì)算特征值的累計(jì)貢獻(xiàn)率B1,…,Bm，當(dāng)Bt＞0.96 時(shí)，則提取前t個(gè)特征向量a1,…,at。

7）計(jì)算前t個(gè)特征向量的投影Y=·a。a由特征向量ai(i=1,…,t)構(gòu)成，Y即為通過(guò)KPCA 求取的X的主成分。

2.3.2 環(huán)形零件圖像種類特征值

使用前面所述的KPCA 對(duì)A進(jìn)行降維處理即可提取出環(huán)形零件的種類特征值Y。經(jīng)過(guò)KPCA 處理后A的特征值的累計(jì)貢獻(xiàn)率Bi如圖10(a)所示。A在第三個(gè)特征值處的累計(jì)貢獻(xiàn)率B3超過(guò)了0.96，因此Y是一個(gè)大小為400×3 的矩陣。

圖10 種類特征提取

為直觀表現(xiàn)環(huán)形零件的種類特征，將Y以三維圖像的方式展示在圖10(b)中，每個(gè)三維數(shù)據(jù)點(diǎn)的位置坐標(biāo)為每張圖像的3 個(gè)特征值分量。數(shù)據(jù)點(diǎn)根據(jù)它們對(duì)應(yīng)的環(huán)形零件種類組成了4 個(gè)群簇，表明環(huán)形零件圖像種類特征值提取成功。

3 環(huán)形零件圖像種類識(shí)別驗(yàn)證

為證實(shí)環(huán)形零件圖像種類特征值Y能夠精確表達(dá)環(huán)形零件圖像的種類特征，在此對(duì)Y進(jìn)行了識(shí)別驗(yàn)證。在常用的分類識(shí)別方法中，SVM 具有扎實(shí)的理論基礎(chǔ)和良好的泛化性[14]，選擇SVM 用于識(shí)別驗(yàn)證。

3.1 Lib-SVM

Lib-SVM 是臺(tái)灣的林智仁(Chih-Jen Lin)教授于2001年開(kāi)發(fā)的一套操作簡(jiǎn)單且易于使用的SVM 庫(kù)。此軟件包能夠非常方便地對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分類與回歸，在物聯(lián)網(wǎng)與醫(yī)療等領(lǐng)域均得到了廣泛的應(yīng)用[15-17]。因此選用Lib-SVM 作為識(shí)別驗(yàn)證工具。Lib-SVM 的使用步驟如圖11 所示。在第3 步中Lib-SVM 共提供了線性、多項(xiàng)式、高斯徑向基(RBF)與Sigmoid 這4 種核函數(shù)，選擇其一即可，文中選擇應(yīng)用最廣的RBF，RBF表達(dá)式如式（14）所示。其中σ＞0 為高斯核帶寬。

圖11 Lib-SVM使用流程

3.2 驗(yàn)證結(jié)果

環(huán)形零件種類特征值Y來(lái)自400 張圖像。從Y中每類環(huán)形零件100 張圖像的種類特征值內(nèi)各隨機(jī)抽取50 張圖像的種類特征值，將它們整合后作為環(huán)形零件圖像種類訓(xùn)練數(shù)據(jù)集D。其余環(huán)形零件圖像的種類特征值則整合后作為環(huán)形零件圖像種類測(cè)試數(shù)據(jù)集E。D與E經(jīng)歸一化得到環(huán)形零件圖像種類標(biāo)準(zhǔn)訓(xùn)練集train_chq 與標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試集test_chq。train_chq 與test_chq 均是大小為200×3 的矩陣，如圖12 所示。

圖12 標(biāo)準(zhǔn)訓(xùn)練集與測(cè)試集

train_chq 經(jīng)進(jìn)行交叉驗(yàn)證獲得的最佳懲罰因子c與最佳核函數(shù)參數(shù)g(g=1/σ2)的值均為2-7。將c、g、train_chq 與test_chq 代入Lib-SVM 中進(jìn)行訓(xùn)練與分類運(yùn)算所得的環(huán)形零件圖像種類識(shí)別驗(yàn)證結(jié)果如圖13 所示。 test_chq 中200 張環(huán)形零件圖像有199 張圖像的零件種類被準(zhǔn)確識(shí)別[18]。識(shí)別預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確率(Accuracy)較高為99.5%。證實(shí)了三角覆蓋MF-DFA 可以良好表達(dá)環(huán)形零件圖像的種類特征。

圖13 種類驗(yàn)證結(jié)果

4 結(jié) 論

文中針對(duì)MF-DFA 具有過(guò)度覆蓋的缺點(diǎn)，對(duì)其略作改進(jìn)提出三角覆蓋MF-DFA。使用三角覆蓋MF-DFA 從全局和局部?jī)煞矫娉霭l(fā)[19]，深層次發(fā)掘環(huán)形零件圖像的種類特征，并得到以下結(jié)論：1）根據(jù)對(duì)比實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了三角覆蓋MF-DFA 相較傳統(tǒng)MF-DFA 的圖像覆蓋精度更高，解決了過(guò)度覆蓋問(wèn)題。2）選用常見(jiàn)且分形特性較好的齒環(huán)、齒輪、軸承與螺母這四類環(huán)形零件為研究對(duì)象，利用三角覆蓋MF-DFA 與KPCA 從它們的圖像中獲取環(huán)形零件種類特征值Y。使用SVM 對(duì)Y進(jìn)行識(shí)別驗(yàn)證，所得識(shí)別準(zhǔn)確率為99.5%。證實(shí)三角覆蓋MF-DFA可以準(zhǔn)確表達(dá)環(huán)形零件圖像的種類特征，具有工程應(yīng)用價(jià)值，可應(yīng)用于工業(yè)生產(chǎn)中的環(huán)形零件圖像的種類識(shí)別。