數學建模中的最優化方法探討

余 璟 岳振軍 賈永興

（陸軍工程大學通信工程學院，江蘇 南京210000）

1 數學建模

1.1 數學建模的含義

數學建模（Mathematical Modeling）是近幾十年來出現的新詞匯，但是運用數學方法解決那些數量規律的實際問題，卻是始終伴隨著人類社會的產生和發展的[1]。運用數學方法解決實際問題的首要一步是建立研究對象的數學模型，再借助計算機加以計算求解。數學模型，是對于現實世界的一個特定對象，為了一個特定目的，根據特有的內在規律，做出一些必要假設，運用數學符號、數學公式、程序、圖形等對問題本質屬性做出抽象而又準確的刻畫，便于人們更深刻地認識所研究的對象[2]。

針對某一對象或問題建立數學模型，能夠對客觀規律進行量化的準確描述，或根據已有信息估測某特定參數的變化趨勢，以便于做出合理決策。

1.2 數學建模的方法與過程

數學建模，一般待解決的都是有著實際應用背景的問題，往往還需要相關的詳細資料。建立數學模型的方法多種多樣，常見方法包括機理分析方法、構造分析方法、直觀分析方法、數值分析方法等[3]。

數學建模的一般過程如圖1所示，其中，問題分析指的是分析待解決的實際問題和已知信息，明確要解決的問題是什么；模型假設指的是對問題進行合理的簡化，抓住問題中的主要矛盾，合理地忽略次要矛盾，能夠提高建模的效率和成功率；模型建立指的是綜合運用數學方法建立實際問題的數學模型；模型求解指的是采用數學知識求解數學模型中的變量，對于較為復雜的模型，模型求解往往需要借助計算機來實現；求解模型后，還需要對求解的物理內涵和實際意義做出必要解釋，并說明該模型的適用條件、分析解的誤差，等等；最后，還要將所建立模型以及求解結果應用到實際問題中，進行檢驗和修正，建模工作才算基本完成。

圖1 數學建模的一般過程

2 最優化方法的概念

“優化”是生活中經常使用的詞：坐出租車時希望司機不繞彎路、走優化路線；逛超市時考慮各種優惠活動，希望獲得最大優惠；企業推出新產品要綜合考慮成本與市場吸引力，對資金進行優化配置，等等。這些問題都是“最優化問題”，也是數學建模中的典型問題，解決最優化問題的數學方法就是“最優化方法”。最優化方法的出發點是系統思維，最優化方法的基本思路是在一定的約束條件下，保證各方面資源的合理分配，最大限度地提升系統某一性能或系統整體性能，最終實現最理想結果。

運用最優化方法建立并求解數學模型，主要包括以下步驟：

（1）明確目標，分析問題背景，確定約束條件，搜集全面的客觀數據和信息；

（2）建立數學模型，構建變量之間的數學關系，設立目標函數；

（3）分析數學模型，綜合選擇最適合該模型的優化方法；

（4）求解模型，通常借助計算機和數學分析軟件完成；

（5）對最優解進行檢驗和實施。

3 最優化方法在數學建模中的應用

3.1 梯度下降法

梯度下降法是經典的最優化方法之一[4]，其核心思想是高等數學中的導數理論。梯度下降法實現最優化的原理是，每次迭代更新目標函數時，都以該變量導數（即梯度）的反方向作為更新參數的方向，最終解一定會收斂于最優解。這個原理類似于走下坡路時，總是沿著最陡峭的方向向下走，最后就一定會走到坡底。

梯度下降法的實現簡單，但是求解計算時間長，因此基于梯度下降法發展了很多改進算法，包括隨機梯度下降法、小批量梯度下降法等，能夠有效改善計算成本高的問題。

3.2 懲罰函數法

懲罰函數法，指的是引入懲罰因子和懲罰函數的最優化方法[5]。具體來說，懲罰函數的思想是：將最優化問題中的約束條件視為圍墻，而迭代更新的解視為在圍墻內運動的粒子，一旦粒子靠近圍墻，對應的懲罰因子數值就會增大，導致懲罰函數值增大，反之，粒子遠離圍墻時，懲罰函數值就減小。建立了這種懲罰機制后，在每次迭代過程中，模型為了“避免被懲罰”，逐漸趨近于約束邊界，從而找到了最優解。

懲罰函數法對模型的訓練雖然“簡單粗暴”，但是原理直觀、實現門檻低，是實際工程中備受青睞的最優化方法。

3.3 遺傳算法

不同于梯度下降法和懲罰函數法，遺傳算法并非依據導數理論提出的算法[6]，而是一種模擬生物在自然屆中進化規律的一種智能算法。自然界的生物進化遵循適者生存和優勝劣汰，即能夠適應環境變化或基因變異的個體才能夠參與到進化。遺傳算法的優化原理與之類似：每一次迭代時，通過計算各個個體的適應度，從中隨機地選擇兩個個體作為父母，繁殖后代，同時誘發子代的染色體變異，重復迭代，當出現最大適應度的子代時，即認為獲得了最優解，循環結束。

與梯度下降法、懲罰函數法相比，遺傳算法以生物進化為原型，收斂性較好，在計算精度要求時，具有計算時間少、魯棒性高的優勢。

3.4 蟻群算法

與遺傳算法類似，蟻群算法也是受啟發于生物的一種最優化方法[7]。生物科學家發現螞蟻經過的路上都會有一種特殊物質，并且蟻群中的螞蟻對該物質高度敏感，由于該物質濃度越高，代表著路途長度越短，想要走“捷徑”的蟻群們都會選擇濃度較高的道路行走，“捷徑”經過的螞蟻越多，特殊物質的濃度就越高，物質濃度積累到一定程度，所有螞蟻都會被吸引到最佳捷徑上來，都能以最快速度找到食物了。蟻群算法解決最優化問題，就是利用了其分布計算和信息正反饋的特點。

蟻群算法適合解決參數多、緯度高等復雜問題，但同時容易陷入局部最優解，因此針對該方向的改進算法也是近年來的研究熱點。

4 結語

最優化問題是實際應用中常見的一類問題，關于最優化方法的討論與研究也一直是相關領域的熱點。為不同的數學模型選擇合適的最優化方法，是數學建模領域最有價值的研究方向，不僅促進了數學方法的深入探究，也推動了科學和工程的進步。