從一道高考題談試題命制

山東 孫 浩

圓錐曲線問題是歷年高考的主力軍，也是高三復習備考的重頭戲.但是在高三復習備考中卻體現為用時多、收效低的特點，學生在歷次考試中都作答不理想，試題得分率極低.下面筆者基于多年參與統考試題命制工作，從試題命制的角度談談看法，期望能給讀者以啟迪.

1.高考試題為命制試題提供優秀藍本

命制試題經常會參考往年全國卷及各省市的高考試題，高考試題出題嚴謹，無論是考查的知識點、考查能力，還是命題角度都能給命制試題提供好的思路和想法，因此在命制試題時經常以高考試題為藍本進行改編命制.

(1)求橢圓E的方程；

(2)當直線l與x軸平行時，設直線l與橢圓相交于C,D兩點.

∴Q點在y軸上，可設Q點的坐標為(0,y0).

當直線l與x軸垂直時，設直線l與橢圓相交于M,N兩點，

∴若存在不同于點P的定點Q滿足條件，則Q點的坐標只可能為Q(0，2).

當直線l的斜率不存在時，由上可知，結論成立.

當直線l的斜率存在時，可設直線l的方程為y=kx+1，A,B的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2).

其判別式Δ=16k2+8(2k2+1)>0，

∴kQA=-kQB,

∴∠PQA=∠PQB.

過點A,B向y軸分別作垂線AM,BN，垂足分別為M,N，則Rt△QMA∽Rt△QNB，

又Rt△PMA∽ Rt△PNB,

從這道高考試題的分析和解答過程可以看出，本題設置了求橢圓方程和兩直線的斜率關系兩個落腳點，試題命制圍繞這兩個落腳點而展開.下面談談依據這兩個落腳點如何進行試題命制的.

2.以求橢圓的標準方程為落腳點進行試題命制

橢圓的標準方程含有a,b兩個量，這兩個量與c,e有直接關系，因此在試題命制中，一般是圍繞a,b,c,e四個量來建構兩個方程，思考這幾個量與哪些知識點有關聯，如何建立聯系，圍繞其中一個或幾個量進行問題設計、建構關系式，從而達到考查有關知識和能力的目的.

(1)求橢圓C的方程；

(2)略.

【詳解】(1)由題意可得,

∴a=2.

(1)求橢圓C的方程；(2)略.

解得c=1或c=2(舍去)，

∴b2=1，

通過上面兩道試題的命制，發現以求橢圓的標準方程為落腳點的試題命制，先確立要求的橢圓標準方程是什么，然后根據a,b,c,e的具體值，從這些值中選取兩個，圍繞這兩個值結合其他相關知識來設計問題，完成試題的命制.

3.以斜率為落腳點來命制考查直線與圓錐曲線位置關系試題

試題命制就是尋找一個問題有什么不同的說法，把這個問題延伸拓展一下，向前走幾步或者向后退一退，尋找合適的說法進行化歸與轉化，把舊問題轉化為新問題、新情境，實現新瓶裝老酒，靈活考查知識、能力和數學核心素養.

3.1 直接以斜率之間的關系來命制試題

命制試題時，考慮學生對知識掌握的程度，有時需要降低試題難度，直接給出斜率之間的關系，來考查學生的知識熟練度.

(1)略；

(2)在x軸上是否存在定點，使得直線TA與TB的斜率互為相反數？

【分析】(2)由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，先假設存在定點并設為T(x0,0)，用坐標直接表示出kTA,kTB，然后借助韋達定理就能求出滿足條件的x0.

【題目1(2)改編題1】(2)在y軸上是否存在與點P不同的定點Q，使得直線QA與QB的斜率互為相反數？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

題目1經過這樣改編，就成為一道直接考查兩直線斜率關系的基礎題.這種追根逐源，透過現象看本質的命題辦法，在命制試題時經常使用.

3.2 以角度關系為切入點來命制試題

直線的傾斜角與斜率有著密切的聯系，斜率問題向前走一步可以轉化為角的問題來呈現，進而考查學生的化歸與轉化能力.

3.2.1直接給出角度關系

【題目1(2)改編題2】(2)在軸上是否存在與點P不同的定點Q，使得∠PQA=∠PQB？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

3.2.2 用線段比值設置問題，暗含角度關系

如果兩個三角形相似，則對應角相等，對應線段成比例.因此，在命制試題時，可以以線段成比例為視角，通過恰當的化歸與轉化把問題轉化為對應角相等，在問題中經常以構建直角三角形實現轉化與溝通.

題目1第(2)問就是用線段比值的視角來命制的斜率問題.

3.2.3 借助面積比轉化為角度問題

3.3 以直線過定點為切入點來命制試題

直線過定點可以轉化為定點與兩個動點連線的斜率相等，因此在命制試題時，可以用直線過定點來變相考查斜率問題.

(1)略；

(2)過點A(-4,0)的直線l與橢圓C1交于M,N兩點，點M關于x軸的對稱點為E.當直線l繞點A旋轉時，直線EN是否經過一定點？請判斷并證明你的結論.

【分析】(2)當直線l的斜率為0時，直線l與橢圓C1交于M,N兩點，則M,N兩點為橢圓C1的左、右頂點，因此點M關于x軸的對稱點E是點M本身，所以直線EN與x軸重合，由此可得直線EN若經過一定點，定點一定在x軸上，可設為T(x0,0).由題意可知，kTM=-kTE，然后根據kTE=kTN，結合韋達定理求出x0的值.

4.結束語

以考查橢圓的標準方程為落腳點命制試題時，圍繞a,b,c,e四個關鍵基本量如何建構兩個方程上下功夫，通過建構不同的方程來考查學生對基本知識和基本方法的掌握程度，不斷變換考查角度，靈活設置問題，考查學生的數學核心素養.命制此類試題可以從以下幾個方面思考如何設置問題，建立方程式:

①從考查橢圓定義的角度來命制試題；

②從考查橢圓性質的角度來命制試題；

③從考查點與橢圓的位置關系的角度來命制試題；

④從考查直線與橢圓的位置關系的角度來命制試題；

⑤從與其他曲線相結合的角度來命制試題.

以斜率為落腳點來命制考查直線與圓錐曲線位置關系命制試題時，可以直接考、間接考、變換考，把斜率、傾斜角、線段成比例和三角形面積等知識有機結合，不斷變化命題角度，靈活設置問題考查學生知識的遷移度和數學核心素養.