核心素養視域下的數學建模活動的開展
——以“家庭燃氣灶旋鈕的最佳角度”建模為例

安徽 王東旭 洪 亮

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《課程標準》)將數學建模上升到數學學科核心素養的高度，核心素養視角下的數學建模要求建模以“活動”的形式開展，包括選題、開題、做題、結題共四個環節.筆者緊扣數學建?；顒拥倪^程，以四個環節為主線，設計并實施了“家庭燃氣灶旋鈕的最佳角度”建模活動，以期提升學生的數學應用意識和創新能力，促進數學學科核心素養的形成和發展.

《課程標準》指出數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現.《課程標準》將數學建模納為數學核心素養之一，由此可見數學建模在學生發展中的重要地位.從核心素養視角提出數學建模是對數學建模教學的重新規劃，是新舊版《課程標準》關于數學建模的最大區別.

《課程標準》明確了數學建?；顒拥恼n程定位，指出數學建?；顒邮菍ΜF實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的過程.這句話表明數學建?；顒邮且粋€用數學知識解決實際問題的綜合類實踐活動，建模過程是“活動”的過程，而不是應用題教學，教師是建模活動的組織者、引導者、合作者.活動形式上，要求以課題研究的形式展開，課題研究包括四個環節：選題、開題、做題、結題.

按照《課程標準》的要求，以核心素養為視角，筆者精心設計并實施了一次數學建?；顒?，與學生共同經歷了建?；顒拥娜^程，深受啟發，筆者將課程設計思路、主要環節以及課程實施的主要過程、建模的感受，記錄下來，以饗讀者.

一、活動選題

《課程標準》要求在必修階段、選擇性必修階段各安排一次數學建?；顒?，2020年安徽省首次進入新課程改革序列，開始使用2019版新教材(人教A版).新教材的第一冊第四章章末要求開展一次數學建?；顒?根據《課程標準》關于選題的指導，結合實際，筆者自主選定了本次建模活動的課題——“家庭燃氣灶旋鈕的最佳角度”.

二、活動目標設置

(1)要求學生能對現實問題進行數學抽象，準確收集數據，正確分析數據，建立適當的函數模型，利用信息技術工具求解模型、檢驗模型、優化模型，最終達到解決實際問題的目的.

(2)經歷數學建?；顒拥娜^程，感知建立函數模型解決實際問題的一般方法，體會現實世界與數學知識之間的緊密聯系，在探究的過程中提升應用意識和創新能力.

(3)通過本次活動，培養學生的團隊合作精神，增強學生的集體榮譽感和責任感.

三、學情分析

(1)學生已經學習了指數函數、對數函數和冪函數的圖象和性質，掌握了函數模型應用的基本方法與步驟，具備了從圖象直觀獲取結論和根據數量關系進行推理論證的能力，這些為本節課建立函數模型解決實際問題做了鋪墊.

(2)學生的計算機課程已經初步學習了在Excel上進行繪圖、模擬函數圖象等知識，計算機基礎知識的習得對模型的建立和選擇起到技術支撐的作用.

(3)本次建模活動的對象是高一學生，他們還缺乏數據統計方面的知識，例如散點圖、線性回歸方程、相關指數R2等.因此在本次活動進行中，需要適時開展這方面知識的指導.

四、活動策略分析

1.活動資源

(1)為了使每組建模獲得的數據相對一致，每組的實驗需要在同等條件下進行.校園餐廳具有同一品牌型號的燃氣灶若干，同一大小的燒水壺若干，經與餐廳商量，決定在餐廳進行建模實驗.

(2)實驗獲取的數據需要在計算機上進行處理，因此做題的過程安排在校園計算機中心進行.

2.活動的組織與安排

(1)課題組的構成：本次活動的學生群體是安徽省滁州二中宏志班學生，他們思維活躍，有豐富的探究活動經驗.班級共有36人，筆者按組內異質、組間同質的原則將班級分成9組，每組4人．每組選定一位數學素養和組織協調能力相對較高的學生做組長，負責本組一切事務，包括組員的任務分工、方案實施、開題報告的撰寫與匯報等.

(2)由于這是學生初次開展數學建模活動，學生對數學建模的流程尚不熟悉，為此在樣本數據的收集上進行了統一.收集哪些樣本數據，如何收集數據，在開題、做題過程中，筆者以“問題串”的形式與學生共同探討，引導學生不斷探索前進.

五、開題——提出問題

開題時，讓學生通過自主學習、教師指導、實驗操作、查閱資料、復習回顧等形式，完成以下幾方面任務.

任務1.回顧已學函數的定義、圖象和性質，形成思維導圖.

【設計意圖】

本次建模屬于函數建模，是以學生剛學過的函數的概念與性質、基本初等函數為基礎的，是函數模型的實際應用.

任務2.由學生自學、教師指導相結合的方式，完成數據統計方面知識的學習，主要包括散點圖、線性回歸方程、相關指數R2等.自學材料(包括紙質、PPT等)由教師提供.

【設計意圖】

建模實驗收集的數據需要有一定的統計知識，高一新生雖有初中的統計知識，但對于數學建模還不夠.通過自學能鍛煉培養學生的自學能力和應用新知識解決問題的能力.

任務3.以小組為單位，帶著以下問題清單進行調查研究，研究的方式包括實驗操作、上網查詢、現場咨詢等.

問題1.影響燃氣使用率的因素有哪些，主要因素是什么？

問題2.用氣量與燃氣灶旋轉角度之間是什么關系？試簡要分析這種關系.

問題3.在收集不同旋鈕角度時的燃氣用量時，旋鈕角度應當如何選擇？隨機選擇還是角度等分？哪種方式更合理？

【設計意圖】

帶著問題去初探，能夠讓學生在實驗數據的收集時目標清晰，做到有的放矢，為后續正式做題打好基礎.

【匯報展示】

針對以上的問題，筆者組織了匯報展示，學生們的參與度很高，組別之間形成了競爭.由于篇幅所限，這里只整理最終的結論.

(1)問題1，同學們發現燒開一壺水的燃氣用量與燃氣灶旋鈕角度、燃氣灶支架高度、燃氣灶的品牌等因素都有關系.在此，引導學生我們只研究一個問題：燃氣用量與旋鈕角度的關系，從而突出課題研究的主題.

(2)問題2，燒開一壺水，對于每一個旋鈕角度都有唯一的燃氣用量與之對應，所以燃氣用量與旋鈕角度之間是函數關系.具體地說，當旋鈕轉角非常小時，燃氣流量也非常小，甚至點火后的熱量不足以將一壺水燒開，如果一直燒下去，燃氣用量將無止境.隨著旋鈕轉角增大，即燃氣流量漸漸增大，燒水用氣量則會有所減少.但是，旋鈕轉角很大時，燃氣不一定充分燃燒，過分的熱量也不能充分作用于水壺，會產生浪費，反而會使燒一壺開水的燃氣用量增大.

(3)問題3，旋鈕角度的選擇不一定要等分，但角度的選擇應該要具有較好的代表性，選取的角度應覆蓋0°～90°范圍.角度選擇越多，越能反映真實情況，但相應的實驗成本也會越高.經過師生的探討之后，決定選取五個有代表性的角度：18°，36°，54°，72°，90°.

通過以上過程，小組撰寫開題報告.之后，小組開始正式做題.

六、做題——建立求解模型

1.實驗、收集數據

每小組都獲得了一些具體的數據，實驗受各方面的因素影響較大，各組數據存在著較大差異，筆者帶領學生分析每組數據的優劣，并給出恰當評價.從中選取了一組較好的數據作為模型建立的依據，并將數據以表格的形式整理出來.

項目旋轉角度燃氣表開始時讀數/m3水開時燃氣表讀數/m3燃氣用量/m318°9.0809.2100.13036°8.9589.0800.12254°8.8198.9580.13972°8.6708.8190.14990°8.4988.6700.172

以x表示旋鈕角度，縱坐標y表示燃氣用量：

x(旋轉角度)18°36°54°72°90°y(燃氣用量/m3)0.1300.1220.1390.1490.172

【設計意圖】

數據以表格形式呈現清晰直觀，體現了用數學語言來表達實際問題的能力.

2.建立并優化模型

這一階段學生要完成以下幾項任務.

①利用Excel作出散點圖，增進幾何直觀；

②選擇函數模型，顯示擬合曲線及解析式；

③根據模型求解最少的燃氣使用量以及此時的旋鈕角度大小；

④檢驗模型是否與實際相符，并對模型進行優化.

以旋鈕角度x為橫軸、燃氣用量(單位m3)為縱軸，利用Excel繪制散點圖.

各小組選擇并建立了三種函數模型：一次函數、二次函數、對鉤函數，并對所得模型進行了優化.小組分別進行展示匯報和互動交流.

組1選擇一次函數，解析式為y=0.000 6x+0.109 1，從圖1看各點偏離較大，相關指數為0.820 7，相對較大.該函數是單調增函數，理論上當x為0°時，用氣量最小，顯然與實際情況不符，于是組1對該模型進行了優化.

組3得到散點圖之后，發現散點的分布規律與冪函數較為接近，于是他們選擇了冪函數模型，如圖所示.

3.模型比較

小組匯報展示了各自所得模型后，同學們開始了熱烈的討論、交流.他們通過實驗來驗證各自模型是否符合實際.經過驗證發現，組1和組3與實際情況相差較大，組2與實際情況相差較小.

對于組1的分段函數y=-0.000 4x+0.138用了兩個點坐標得到，不夠準確，可以通過實驗多得幾個點進行函數模擬，例如可以選取x=15°,21°,24°時的燃氣用量.組3的待定系數法，同樣可以多選取幾組值進行代入運算，可能會得到更準確的結果.由于實驗受客觀環境的影響，不能保證環境是穩定的.因此可以重復做幾次實驗，取幾次實驗數據的平均值來減小誤差.

對于組2的二次函數模型，當旋鈕角度非常小時,實驗發現用氣量與二次函數差距也比較大，二次函數只能用于解釋x在一定范圍內的情況.因為當旋鈕角度非常小，有一點點火時,其火力是不能夠將水燒開的，長時間燃火的燃氣量卻可以非常大,即圖中貼近縱軸的位置會非常高,那么整個圖象就不是二次函數圖象了.

七、結題

師生活動：學生完成建模報告，并安排結題答辯，教師指導并給予恰當的評價.