回歸基礎 突出能力 聚焦思想
——2021年新高考Ⅰ卷試卷分析與教學思考

江蘇 張朋舉

2020年是江蘇自主命制高考試卷的收官之年，2021年是江蘇高考使用新高考Ⅰ卷的元年；整份試卷以素養立意，原創為本，層次分明，亮點紛呈，體現出試題有效性、導向性、公平性和創新性的和諧統一；但這份試卷和去年的山東卷和八省聯考卷相比變化還是比較大，首先試卷的閱讀量有所下降，原有的開放題、結構不良題沒有出現(但全國卷甲、乙卷及新高考Ⅱ卷均有出現)，總體感覺試卷更平和，試題基本上按照由易到難的順序推進；其次題目更顯中規中矩，易中難比例真正做到了5∶3∶2，但很多試題需要學生對數學本質有所理解，要關注方法的選擇，方法選擇不好，耗時費力，得高分難；其實，針對新一輪的課程改革，教育部考試中心早就出臺了《中國高考評價體系》，該體系明確了“一核”“四層”“四翼”的概念，明確了高考主要以“立德樹人、服務人才、引導教學”為核心功能，并從“一核”“四層”“四翼”三個方面回答了“為什么考、考什么、怎么考”的考試本源性問題，給出了“培養什么人、怎樣培養人、為誰培養人”這一教育根本問題在高考領域的答案.縱觀這份試卷較好地體現了新高考評價體系要求，契合了學科的培養目標，引導了今后高考數學試卷的方向，對今后的教學起到正面的積極的引導作用.以下筆者結合具體試題，談談體會.

1.試卷特征

1.1 突出數學主干知識的考查

高中階段，數學的主干知識主要有預備知識(集合、簡易邏輯、不等式等)、函數、幾何與代數、概率與統計、數學建模活動與數學探究活動等內容，試題突出主干知識的考查,同時考查考生的數學思維能力，靈活運用所學知識解決問題的能力.這也啟示我們平時要重視教材的使用，尤其高三的后期，回歸教材顯得尤為重要；筆者按照新課標四大主題內容，對該試卷進行了簡單匯總，預備知識占5分，函數占52分，幾何與代數占71分，概率與統計占22分，主干知識占135分，占全卷的90%，基本實現主干知識全覆蓋；另外，也有部分試題涉及多個知識點，比如試卷第5題以橢圓為載體，不僅考查了橢圓的定義，也很好地考查了基本不等式、求函數最值等知識點；具體分布如表：

主題單元涉及知識點考題號分值預備知識集合集合交集運算15常用邏輯用語相等關系與不等關系從函數觀點看一元二次方程和一元二次不等式函數函數概念與性質偶函數135冪函數、指數函數、對數函數三角函數三角函數單調性、求值4,610函數應用數列錯位相減求和、等差數列通項、數列求和16,1715一元函數導數及其應用利用導數研究切線、求最小值、單調性討論、極值點偏移7,15,2222

續表

【例1】(2021·新高考Ⅰ卷·8)有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球．甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則

( )

A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立

C．乙與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立

評注：本題主要考查概率與統計模塊中兩個隨機事件A，B相互獨立的定義，課標中要求學生了解該定義；近些年，高考試卷中主要考查利用獨立性計算概率，很少涉及對判斷兩個事件相互獨立的知識點考查，其實判斷方法主要有三種：1.直觀感覺(觀察)；2.定義判斷；3.充要條件：P(AB)=P(A)P(B)；其中充要條件P(AB)=P(A)P(B)比較常用.

1.2 側重數學思想的運用

思想是方法的升華，解決數學問題的靈魂就是思想；學數學知識需要數學思想，數學基本思想方法主要涉及數形結合、化歸與轉化、分類討論、方程、建模、類比、歸納推理、極限等思想方法.基于重要的數學思想方法命題是命制高考試題最基本方式之一，隨著課改的深入，這種命題不僅考查學生的數學思維及解決問題的能力，還體現了數學學科的本質，引領教學的方向.數學思想方法的形成和發展是需要長期的過程，需要教師在教學中，經常性的滲透數學思想方法；比如2021年數學新高考Ⅰ卷第11題涉及數形結合，第15,17題涉及分類討論，第16題涉及歸納推理，第21題涉及基本活動經驗，第二問涉及條件|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|的等價轉化等.

【例2】(2021·新高考Ⅰ卷·11)已知點P在圓(x-5)2+(y-5)2=16上，點A(4，0)，B(0，2)，則

( )

A．點P到直線AB的距離小于10

B．點P到直線AB的距離大于2

評注：數形結合就是在解決數學問題時，由數思形、以形思數、數形結合考慮問題，本題是數形結合思想體現的典范.

1.3 關注數學核心素養的體現

高中數學課程標準對培養學生能力的要求，由開始的“四基”到“四能”，演變到現在的“六大核心素養”；高考試題不僅可以很好地考查“四基”“四能”，更是數學六大核心素養的集中展示；要檢驗學生核心素養高低，必須通過解決數學問題來體現；事實上，學生可以通過解決數學問題，實現用數學的眼光觀看客觀世界(數學抽象、直觀想象)，用數學的思維思考現實世界(邏輯推理、數學運算)，用數學的語言表達現實世界(數學建模、數據分析)等.比如2021年數學新高考Ⅰ卷第7題考查了直觀想象、邏輯推理核心素養,第9題考查了數據處理、數學運算核心素養,第12題考查直觀想象、邏輯推理核心素養，第21題考查邏輯推理、數學運算等核心素養.

【例3】(2021·新高考Ⅰ卷·7)若過點(a，b)可以作曲線y=ex的兩條切線，則

( )

A．eb

C．0

解析：過(a，b)可以作曲線y=ex的兩條切線，則點(a，b)在曲線y=ex的圖象下方，且在x軸上方，所以0

評注：數學學科的核心素養是數學課程目標的集中體現，是在數學學習和應用中逐步形成和發展起來的，核心素養該怎樣考？本題給出了答案，其很好地考查了學生的直觀想象能力，幾何直觀的本質是將相對復雜、抽象的問題“圖形化”，讓學生形成數學直觀，在具體試題解決中感悟數學的本質.

1.4 重視數學知識本質的把握

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》在課程基本理念中指出：“把握數學本質，啟發思考，改進教學”.本質語出晉代劉智《論天》：“言闇虛者，以為當日之沖，地體之蔭，日光不至，謂之闇虛.凡光之所照，光體小於蔽，則大於本質.”數學是一門研究規律的學科，有其內在的根本屬性和規律，而這個根本屬性與規律就是數學本質.學生通過對高考試題，一題多解，體會和認識問題的數學本質，探究數學問題解決的基本規律，理解數學、感受數學研究的“味道”，學會 “數學思維”；比如數列問題的本質是歸納、猜想、推理，16，17兩題正是考查這點，解決解析幾何問題的方法本質是圖形問題代數化，14，21兩題也正考查了圓錐曲線的核心方法，其中21題以雙曲線為背景，更是要求學生運用解析幾何的基本思想和方法分析和解決問題.

(1)求C的方程；

解析：(1)略

故設TA，TP的斜率分別為k1，k2，(k1≠k2)．

由|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，

又k1≠k2，故k1+k2=0．

整理得(17cos2θ-1)t2+(16cosθ-2msinθ)t-12-m2=0,

設t1,t2是這個方程的兩個根，

設直線PQ的傾斜角為α，α∈(0，π)，

由|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，

則17cos2θ-1=17cos2α-1，cosθ=±cosα，

又由α，θ∈(0，π)，且α≠θ，

所以cosθ=-cosα，θ+α=π，

直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

所以A,B,P,Q四點的坐標滿足方程

又由A,B,P,Q四點還在曲線C上，所以由曲線系方程得，A,B,P,Q四點在曲線

由|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，根據圓的雙割線定理的逆定理可知，A,B,P,Q四點共圓，所以曲線

所以x2，y2的系數相等，且xy系數為0，即k1+k2=0．

評注：學生抓不住“|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|”的本質，不會對其進行多元表征，易出現思維混亂；實際上，設過點T的直線方程(方法1)，利用弦長公式化簡，對計算能力要求較高，若引入直線參數方程(方法2)或利用曲線系(方法3)，可以很好地回避了繁瑣的運算，而且利用二次曲線系方程，也很好地揭示了A，B，P，Q四點共圓這一隱藏本質.

2.對教學的幾點思考

2.1 關注精準教學，落實教學評一致

精準教學包括兩個方面，一方面指基于課標分解，即將《課程標準》中的內容標準具體細化為學期或模塊目標、單元或課時目標．課標分解的基本特點是將抽象的內容標準分解為具體可操作的教學目標，將長時段需要達成的大目標分解到短時間如單元或課時可以達成的小目標，將隱性的素質目標顯化為可以觀察和評價的行為目標．讓子目標引領課堂教學活動設計和學生活動，使課堂教學活動設計更具有針對性.另一方面指基于目標達成情況的評價分析，即制定每一個子目標達成情況的標準，依據標準對目標的達成情況進行精準分析，反饋課堂教學，指導教師及時調整教學策略.

筆者認為，平日教學中，教師應以新課標、新高考評價體系為指導，通過對高中數學課程標準的逐級分解，形成以新高考評價體系為依據的教學設計方案(包括制定目標、實施路徑、實施方法、反饋練習)與教學評價方案，對方案進行課堂實踐和效果評估，進而提高課堂的教學質量，落實教、學、評一致.

2.2 關注作業設計，落實教、學、評一致

作業一詞由來已久，在不同場合使用其意義不同，《辭海》認為，作業是為了完成生產學習等方面的既定任務而進行的活動.作業問題歸根到底就是設計什么、多少作業問題.當下，在高中數學教學實踐中，由于教師普遍存在“題海戰術”的認識，導致學生的作業繁重、難度偏大，甚至出現課后作業的內容與學生所學內容不一致的情況，教師對作業有效度的輕視幾乎是個致命傷，總以為只要多做練習就能提高教學質量；批改的少，反饋的少，取而代之的是午練、晚練，及千人一面的“一課一練”.

新高考的命題主要圍繞數學內容主線，考查學生的數學思維和素養，注重體現數學本質和通性通法；盲目通過增多作業量已經不能起到應有的效果；實際上，教什么、學什么、考什么三者應該具有高度的相關性；教到什么程度、學到什么程度、考到什么程度是一致的；教學設計、教學實施、教學效果是一致的.為了充分發揮高考引領教學，筆者倡導作業設計應基于不同授課類型精準指向基本知識、基本思想方法、認知結構、數學探究等.

2.3 關注解題教學，落實教授學生學思考