挖掘例題的延伸價值 以點帶面提升數學素養

福建 盧秀敏 包 喜

“學習數學意味著解題”，解題教學是數學教學的重要組成部分.通過例題教學,鞏固知識，辨析概念，通過例題教學，提高分析問題、解決問題的能力，進而提高發現問題、提出問題的能力，通過例題教學，提升數學素養，都是例題教學的重要功能.但在教學實踐中，我們發現一些教師的教學存在著就題論題的現象，沒有充分挖掘例題的潛在價值，停留在淺層次的水平上，這是亟待改變的.本文就此展開探討，期望對教師如何挖掘例題的延伸價值，以點帶面提升數學素養有所幫助.

1.一題多變，提升數學應用素養

【例1】一個袋子中有5個大小相同的球，其中3個白球，2個黑球，現從袋中任意取出一個球，取出后不放回，然后再從袋中任意取出一個球，則第一次為白球，第二次為黑球的概率為

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本題屬于古典概型的基本題型，解答過程如下：

本題通過“舉一反三”，將古典概型的幾種命題方式逐一解析，通過教師的分析，幫助學生辨別不同的概率模型，橫向觸類旁通，使學生通過一道題演練這一個點，就能全面復習一個知識面.

2.一題多點，性質成串，提升數學探索素養

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知識點一：三角函數中，y=Asinωx,y=Atanωx是奇函數，y=Acosωx是偶函數，故“已知函數f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)是奇函數”這一條件指向函數的轉化，考查了三角函數的基本性質——奇偶性.

波利亞曾說：“豐富而有條理的知識儲備是解題者的至寶”.總結本題的研究過程，發現本題綜合考查了三角函數的基本性質：奇偶性、對稱性、周期性、最值、單調性及三角運算公式——誘導公式.通過本題的分析及補充延伸，可使學生將基本初等函數的代表之一“三角函數”的七個性質作逐一復習及區分，取得了良好的復習效果.而且本題中各個知識點之間的有效融合，可使學生在解題過程中提升邏輯推理、數據分析、數學建模、直觀想象的數學核心素養.

3.一理多用，提升數學文化素養

【例3】如圖,有8個村莊分別用A1，A2，…，A8表示.某人從A1出發,按箭頭所示方向(不可逆行)可以選擇任意一條路徑走向其他某個村莊，那么他A1從出發,按圖中所示方向到達A8(每個村莊至多經過一次)有________種不同的走法.

解析：可以從特殊情況出發，尋找變化規律：為方便計數，設從A1到Ai的走法有ai種，則容易看出a2=1，a3=2，a4=3，a5=5,發現a4=a2+a3，a5=a3+a4，所以a6=a4+a5=8，a7=a5+a6=13，a8=a6+a7=21，所以從A1出發，按圖中所示方向到達A8(每個村莊至多經過一次)有21種不同的走法.

也可以畫出樹狀圖來分析求解.本題實質是斐波那契數列的一部分，是世界名題在初等數學中的應用.所謂斐波那契數列指的是這樣一個數列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…，這個數列從第三項開始，每一項都等于前兩項之和.世界名題的特殊化，本來就是高考命題的一個熱點，不可忽視.

點評：有時挖掘隱含條件，就等于尋找規律，可鍛煉學生敏銳發現數學的能力.中國的數學文化以及世界的數學文化，都是塑造學生數學文化的重要素材，應在欣賞數學之美后，能夠應用于生活問題.

【例4】分形幾何學是美籍法國數學家伯努瓦B·曼德爾布羅特在20世紀70年代創立的一門新學科，它的創立，為解決傳統眾多領域的難題提供了全新的思路．如圖是按照分層的規律生長成的一個樹形圖，則第10行的空心圓的個數是________．

解析：由題意及圖形知，不妨構造這樣一個數列{an}表示空心圓點的個數變化規律，

令a1=1,a2=0,n≥3時，an=an-1+an-2,

本數列中的n對應著圖形中的第n行中空心圓點的個數．

由此知a10即所求．

故各行中空心圓點的個數依次為1，0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…，因此a10=21，

即第10行中空心圓點的個數是21.

點評：本題主要考查了數列的應用，解題的關鍵是構造這樣一個數列{an}表示空心圓點，可以看到第三行起每一行空心圓點的個數都是前兩行空心圓點個數的和，由此可以得到一個遞推關系，利用此遞推關系求解即可．本題實質是當n≥3時，an=an-1+an-2，是斐波那契數列.

再比如，斐波那契數列與臺階問題：小明走臺階，每次可選擇走1步或者2步，則只有一個臺階時，只有一種走法，F1=1；兩個臺階，走法有2種，一步上一階或者一步上兩個臺階，所以F2=2；三個臺階時，走法有一步一階，2階再1階，1階再2階，因此，F3=3；四個臺階時，走法有(1，1，1，1)，(1，1，2)，(1，2，1)，(2，1，1)，(2，2)，共5種方法，故F4=5.以此類推，如果有大于2級的n級臺階，那么假如第一次上一級臺階，剩下還有n-1級臺階，有f(n-1)種上法，假如第一次上2級臺階，剩下n-2級臺階，有f(n-2)種上法，這就表示f(n)=f(n-1)+f(n-2)，因此有數列：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….

斐波那契數列與自然、生活、科學上的聯系其實還有很多，但是僅僅從這幾個例子上我們就可以看出斐波那契數列應用的廣泛性，由此我們可以看到數學的美其實是無處不在的,它是一門科學，同時也是一種語言，一種藝術，它如同盛開的茉莉，潔白淡雅，總而言之，數學與自然、生活相伴相隨，共同發展.

4.一題多解或多題一解， 提升數學理性思維及數學運算素養

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令bn=(an-2)2，則bn+1+bn=4，

GE Ai-qing, ZHANG Dan-feng, CHEN Ji-gang, YU Ming-kun, HU Guo-han, HOU Li-jun, LU Yi-cheng, WANG Jun-yu

bn+2+bn+1=4，于是bn+2=bn，

b1=(a1-2)2,b2020=b2=(a2-2)2，

所以b1+b2020=b1+b2=4，

即(a1-2)2+(a2020-2)2=4.

方法一：

方法三：(a1-2)2+(a2020-2)2=4，

即(a1,a2020)在(x-2)2+(y-2)2=4上，

令z=x+y，即x+y-z=0，

本題是一個數列問題，得到(a1-2)2+(a2020-2)2=4需要配方法，換元法，還需要運用周期性質，是一個比較綜合的問題.在得到(a1-2)2+(a2020-2)2=4之后，可用三種思路，一個是三角換元，另一個是均值不等式的變形公式，再一個是應用直線與圓有公共點的性質，每一個思路就是一種方法，都需要數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算，即理性思維素養.事實上，一題多解，是培養發散思維，溝通知識間互相聯系的重要手段，也是以少勝多提升數學素養的有效策略.

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C．(1,+∞) D．(0,1)∪(1,+∞)

答案：B.

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C．(-∞，0) D．(0，1)

答案：B.

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A.7對 B.6對

C.5對 D.4對

答案：B.

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答案：B.

本題有四個問題，以題組的形式出現，其中前三個問題是含參數的分段函數存在關于原點、y軸對稱，求參數取值范圍的問題.它們有統一的解題策略：如問題(1)(2)首先將y軸一側的函數圖象作關于原點的對稱圖象，然后考慮此圖象與原函數在此側的函數圖象之間的交點問題，問題(3)將y軸一側的函數圖象作關于y軸的對稱圖象，問題(4)將x軸一側的函數圖象作關于x軸的對稱圖象，然后考慮此圖象與原函數在此側的函數圖象之間的交點問題，通常根據它們的位置關系可建立關于參數的不等式求解．通過如此呈現例題，可以提高學生收斂思維能力，達到由一道題會一類題的目的.