指向數學核心素養的任務設計
——以拋物線的性質為例

上海 宋 磊

《普通高中數學課程標準(2017版2021年修訂)》明確指出：“高中數學課程以學生發展為本，落實立德樹人根本任務，培育科學精神和創新意識，提升數學學科核心素養.”數學核心素養的理念一經提出，熱度一直不減.如何真正讓數學核心素養在課堂落地生根是一線教師關注的焦點，也是進行教學活動的出發點.在滲透數學核心素養的目標之下，“教什么”與“怎么教”是一線教師需要思考的熱點問題，也是進行教學活動的落腳點.理念沒擺正、問題沒弄清楚，結果還會與以往一樣，那基于核心素養的理念下的教學無疑是“新瓶裝舊酒”“穿新鞋走老路”.

為了使基于核心素養的課堂教學有效實施，史寧中教授認為：“應遵循兩個原則.一是把握數學的本質，二是設計并且實施合理的教學活動”.而教學設計是教學活動的先行者，有利于學生感悟、理解、形成和發展核心素養，筆者認為，唯有從描述核心素養水平的四個維度“情境與問題”“知識與技能”“思維與表達”“交流與反思”著手進行教學設計和教學實踐，才是正確的路徑和方法.本文以“拋物線的性質”為例來探討如何基于數學與核心素養進行有效的教學設計.

一、案例

課題：曲線的參數方程

設計目標：

1.認知目標：感受拋物線在實際生活中的廣泛應用，掌握拋物線標準方程的求法，會利用拋物線的性質解決實際問題.

2.能力目標：依據問題情境，嘗試數學建模過程，提高合情推理能力，體驗基本“科研”方法.

3.育人目標：通過“做數學”開展探究，感悟數學的魅力和力量，初步了解如何用數學思維去思考世界，用數學語言去表達世界，用數學工具去改變世界.

任務重點：

根據問題情境和題設條件引入合適的參數，建立拋物線的方程，體會學習數學的重要意義并激勵學生主動參與、相互協作、探索研究的精神.

任務難點：

從生活實際問題中抽象數學概念、建模并用數學的思維方式進行探究.

(一)情境與問題

情境：2020年4月20日00時30分，上海市普陀區真北路1531號，成功爆破四幢“爛尾樓”.這四幢主體均超過20層樓，其中兩幢高達106米，另外兩幢也有90多米高，爆破面積達18萬平方米.這次的爆破任務要將同一地點四幢高層于同一時間爆破，難度非常大，在國內尚屬首例.且由于緊鄰商業中心、高架和居民區，周邊環境復雜，對爆破行動有非常高的要求.據工作人員介紹，這次爆破使用了7噸炸藥，排布了5天.

問題：為了確保爆破的質量和安全，如何確定爆破的安全區和危險區？

(二)知識與技能

知識：

平面上與一個定點F和一條定直線l(F不在l上)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線.

技能：

【例1】求以坐標原點為頂點，焦點在坐標軸上且經過點M(-2,-4)的拋物線的方程.

解：若拋物線的焦點在x軸上，根據條件可設拋物線的方程為y2=-2px(p>0).因為點P(-2,-4)在所求的拋物線上，所以(-4)2=-2p·(-2).解得p=4.故拋物線的方程為y2=-8x.

即所求拋物線的方程為y2=-8x或x2=-y.

【例2】求過定點M(0,1)且與拋物線y2=2x只有一個公共點的直線的方程.

顯然，過點M(0,1)且垂直于x軸的直線x=0也滿足題意.

(三)思維與表達

1.整理思維

通過上述兩例的學習，我們掌握了如何求拋物線的標準方程，以及解決了直線與拋物線的位置關系的問題.在上述情境問題中，爆破物的運動軌跡是一系列不同的拋物線，它們構成一個拋物線系，這些拋物線不會越出一定的范圍.因此，在這樣的范圍以外是安全區，那么這個安全邊界如何來求？

2.數學建模

當給定θ的值后，M(x,y)隨著α的變化而變化.當sin(2α-θ)=1時，交點M的縱坐標y最大，對應的橫坐標x的絕對值也最大，此時交點坐標為M0(x′,y′)，即

3.問題解決

(1)信息收集

在爆破工程中確定安全區和危險區是一項非常復雜的工程，必須要考慮地質、地形及炸藥性能等因素，但是爆破點處炸開的礦石等爆破物的運動軌道是一系列不同的拋物線.

(2)基本假設

①不考慮地質、地形以及炸藥性能等因素，假設作業人員每個操作步驟都規范、安全.

②爆破作業有效防治爆破震動產生的巨大危害.

③爆破作業有效防治爆破產生的空氣沖擊、有毒氣體排放等危害因素.

(3)模型運用

(四)交流與反思

1.模型反思

(1)模型另解

化簡整理，得

上式α有唯一解，由b2-4ac=0，可得

整理得安全拋物線的方程為

(2)模型反思

由此可得，質點的軌跡是頂點為

將兩式平方相加消去參數α，可得

小結：本課題的設計是基于對生活實際問題的思考，是拋物線在實際生活中的應用.在體驗與感悟中學習知識、掌握技能、培育能力.通過對解題思維的整理，引發深度思考.在生活實際問題的解決過程中，滲透數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算和數據分析等核心素養.

二、結語