遞推關系an+1=qan+p在概率中的應用舉例

江蘇 郭建華

數列中連續兩項的遞推關系an+1=qan+p(其中p，q為常數，pq≠0，q≠1)是一種常用的數學模型．該模型在概率中也有著其獨特的用法，常常以選擇題的形式出現，其綜合性強，求解難度較大，重點考查化歸與轉化，分類討論等數學思想．對于選擇題，可以從選項的描述中獲取解題思路，也可以先從特殊化入手，再研究其一般情況，即先猜后證(利用數學歸納法證明)，最后結合求數列的通項公式的手段和方法求解．

下面，通過兩道多項選擇題談談an+1=qan+p在概率中的應用.

1.摸球問題

【例1】甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球．現從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復n(n∈N*)次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數為Xn，恰有2個黑球的概率為pn，恰有1個黑球的概率為qn，則下列結論正確的是

( )

B．數列{2pn+qn-1}是等比數列

【解析】重復n次這樣的操作，記甲口袋的黑球個數為Xn，其取值為0，1，2，恰有2個黑球的概率為pn，恰有1個黑球的概率為qn，此時，甲口袋的球為以下三種情況之一，即2個黑球和1個白球，1個黑球和2個白球，3個白球和0個黑球，所對應的概率分別為pn，qn，1-pn-qn．

從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋為一次操作．

(1)若重復(n+1)次這樣的操作，甲口袋中黑球個數Xn+1恰好為2，即甲口袋裝有2個黑球和1個白球，則重復n次這樣的操作時，甲口袋中黑球的個數Xn為1或2，包含以下兩個互斥事件，即

①當Xn=2時，此時，甲口袋裝有2個黑球和1個白球，乙口袋裝有3個白球，進行一次操作(甲給乙一個白球，同時乙給甲一個白球)后Xn+1=2，于是甲口袋裝有2個黑球和1個白球，乙口袋裝有3個白球，其交換過程如圖所示：

②當Xn=1時，此時，甲口袋裝有1個黑球和2個白球，乙口袋裝有1個黑球和2個白球，進行一次操作(甲給乙一個白球，同時乙給甲一個黑球)后Xn+1=2，其交換過程如圖所示：

(2)若重復(n+1)次這樣的操作，甲口袋中黑球個數Xn+1恰好為1，此時，甲口袋裝有1個黑球和2個白球，則重復n次這樣的操作時，甲口袋中黑球的個數Xn為0，1或2，包含以下三個互斥事件，即

Xn的概率分布為

4月17日，青海省水利廳抗震救災指揮部迅速部署啟動了玉樹地震水利工程災后重建規劃編制工作，要求重建規劃于5月1日前編制完成。

Xn012P1-pn-qnqnpn

【評注】四個選項的形式多樣，考查了概率和數列的重要知識點，達到了交匯考查的目的.從選項中可以猜想pn與qn之間存在一定的聯系．如何厘清它們之間的關聯，就要分析從第(n-1)次操作到第n次操作會產生怎樣的變化．為了將抽象的問題具體化，更易于學生理解，把從第(n-1)次的操作到第n次的操作過程采取思維導圖的形式呈現，即采取先一般化再研究特殊化的問題探究方式．也可以從特殊化入手，尋找概率變化的規律，進而猜想pn與qn的一般化形式，再結合概率的知識求解．另外，學生還要熟練掌握具有遞推關系an+1=qan+p(其中p，q為常數，pq≠0，q≠1)的數列的通項的求法，再結合數列的知識求解．

2.爬行問題

【例2】設一個正三棱柱ABC-A1B1C1，如圖，每條棱長都相等，一只螞蟻從上底面ABC的某頂點出發，每次只沿著棱爬行并爬到另一個頂點，算一次爬行.若它選擇三個方向爬行的概率相等，當螞蟻爬行n次，仍然在上底面的概率記為Pn，則下列選項正確的是

( )

【解析】若螞蟻爬行n次時，仍然在上底面的概率記為Pn，則螞蟻爬行(n-1)次時，仍然在上底面的概率記為Pn-1．Pn的大小決定于以下兩個互斥事件，即

故選項A，C正確，選項B錯誤．

對于D選項，用數學歸納法證明如下：

故選ACD．

3.總結