立足基礎(chǔ) 穩(wěn)中求新 凸顯素養(yǎng) 導(dǎo)向教學(xué)
——2021年新高考Ⅰ卷第22題多解探究

山東 張 彬

2021年全國高等學(xué)校統(tǒng)一招生考試已硝煙散盡，但是關(guān)于2021年數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷的討論卻沒有停息，作為全卷壓軸的導(dǎo)數(shù)題更是引人關(guān)注，不同的老師有不同的看法.本文以此題為研究對象，首先對問題的解題思路與方法進(jìn)行分析，然后對問題進(jìn)行深入探究，指出其命題根源．

1.試題

(2021·新高考Ⅰ卷·22)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx)．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

2.解法分析

問題(1)：由題意可知f′(x)=-lnx，

故當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

故當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

對于問題(1)我們不再贅述，著重分析問題(2)．

2.1.1 分析一：

證法一(對稱化構(gòu)造)：

證明：由blna-alnb=a-b,

不妨設(shè)x1

由(1)知0

②若1

構(gòu)造g(x)=f(x)-f(2-x)，1

則g′(x)=f′(x)+f′(2-x)=-lnx-ln(2-x)

=-ln(2x-x2)>0，

故g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，所以g(x)>g(1)=0，

故f(x2)>f(2-x2)，

故f(x1)=f(x2)>f(2-x2)，

又0

而函數(shù)f(x)=x(1-lnx)在(0,1)上單調(diào)遞增，

故x1>2-x2，即x1+x2>2，

注：從前面的解題過程可以看到，我們采用構(gòu)造函數(shù)的方式證明了x1>2-x2，從而得到x1+x2>2的結(jié)論.事實(shí)上，我們也可以采用構(gòu)造函數(shù)的方式先證明x2>2-x1，從而得到x1+x2>2的結(jié)論.

2.1.2 分析二：

從代數(shù)層面來看，問題的實(shí)質(zhì)可以認(rèn)為是在等量條件f(x1)=f(x2)約束下，尋求二元函數(shù)G(x1,x2)=x1+x2的最值問題.能否通過減元的方式，將二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)來研究，進(jìn)而尋求其最值呢？答案是肯定的！

證法二(比值代換)：

則x1(1-lnx1)=x2(1-lnx2)．

不妨設(shè)x1

由x1(1-lnx1)=x2(1-lnx2)，

可得1-lnx1=t(1-lnt-lnx1)，

要證明x1+x2>2，

只需證ln(x1+x2)>ln2，

即證ln(x1+tx1)>ln2，

即證ln(1+t)+lnx1>ln2，

整理得(t-1)(1-ln2)+(t-1)ln(1+t)-tlnt>0．

構(gòu)造函數(shù)g(t)=(t-1)(1-ln2)+(t-1)ln(1+t)-tlnt(t>1)．

故g′(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，且g′(1)=0，

故g′(t)>g′(1)=0．

故g(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，且g(1)=0，

故g(t)>g(1)=0．

2.1.3 分析三：

則x1(1-lnx1)=x2(1-lnx2)，

欲證明x1+x2>2，

證法三(構(gòu)造函數(shù))：

則x1(1-lnx1)=x2(1-lnx2)，

不妨設(shè)x1

欲證明x1+x2>2，

構(gòu)造函數(shù)g(x)=x2-2xlnx，x∈(0,+∞)，

則g′(x)=2x-2-2lnx=2[(x-1)-lnx]≥0，

(利用lnx≤x-1)

故g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，又x1

故g(x2)>g(x1)，

2.2.1 分析一：

即證x2

證法一(對稱化構(gòu)造)：

則f(x1)=f(x2)，不妨設(shè)x1

則0

構(gòu)造g(x)=f(x)-f(e-x)，0

則g′(x)=f′(x)+f′(e-x)=-ln(ex-x2)．

當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈(x0,1)時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減．

又f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減，故f(1)>f(e-1)，

故g(1)=f(1)-f(e-1)>0．

故g(x)>0，即f(x)>f(e-x)，(0

故f(x2)=f(x1)>f(e-x1)，

因?yàn)?

函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減，

故x2

2.2.2分析二：

證法二(比值代換)：

則x1(1-lnx1)=x2(1-lnx2)．

不妨設(shè)x1

由x1(1-lnx1)=x2(1-lnx2)，

可得(1-lnx1)=t(1-lnt-lnx1)，

要證明x1+x2

只需證ln(x1+x2)<1,

即證ln(x1+tx1)<1，

即證ln(1+t)+lnx1<1，

整理得(t-1)ln(1+t)-tlnt<0．

構(gòu)造函數(shù)g(t)=(t-1)ln(1+t)-tlnt(t>1)，

(利用ln(1+x)≤x)

故g(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞減，且g(1)=0，

故g(t)

2.2.3分析三：

微積分中有一種重要思想——以直代曲.分析此函數(shù)的圖象：如圖，當(dāng)x2距離點(diǎn)(e,0)處較近時(shí)x1+x2較大，此時(shí)我們可以利用點(diǎn)(e,0)處的切線g(x)=e-x來代替點(diǎn)(e,0)處的曲線，對x2對應(yīng)的函數(shù)值進(jìn)行放縮.

證法三(切線放縮)：

則x1(1-lnx1)=x2(1-lnx2)．

不妨設(shè)x1

函數(shù)f(x)=x(1-lnx)在(e,0)處的切線方程為g(x)=e-x．

不難證明當(dāng)x∈(0,e)時(shí)，g(x)>f(x)．

證明如下：設(shè)h(x)=g(x)-f(x)=xlnx-2x+e，x∈(0,e)，

則h′(x)=lnx-1<0，

故h(x)單調(diào)遞減，h(x)>h(e)=0，

故g(x)>f(x)．

故f(x1)=f(x2)

即x1-x1lnx1=x2-x2lnx2

故x1-x1lnx1

故x1+x2-x1lnx1

因?yàn)閤1lnx1<0，

2.2.4 分析四：

在處理函數(shù)中的不等關(guān)系時(shí)，我們還常常用到一些函數(shù)不等式，如ex≥x+1，lnx≤x-1(x>0)，x>sinx(x>0)等等，借助于這些不等式研究其他函數(shù)中的不等關(guān)系，常常事半功倍.

證法四(常用不等式放縮)：

則x1(1-lnx1)=x2(1-lnx2)，

不妨設(shè)x1

由x1(1-lnx1)=x2(1-lnx2)，

(利用lnx≤x-1)

故x1

3.問題根源

如圖，二次函數(shù)圖象是比較典型的軸對稱圖象，當(dāng)x1和x2對應(yīng)的函數(shù)值相等時(shí)，顯然有x1+x2=2x0(x0是二次函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn))．

但是二次函數(shù)僅是我們的研究對象中的一種特殊函數(shù)，其圖象是軸對稱圖形.大部分函數(shù)不是這個(gè)情況.比如本題中涉及的函數(shù)，觀察其圖象可以發(fā)現(xiàn)，在極值點(diǎn)x0的左側(cè)，函數(shù)單調(diào)遞增，增長速度較快；在極值點(diǎn)x0的右側(cè)，函數(shù)單調(diào)遞減，減小速度較慢；此時(shí)必然造成極值點(diǎn)x0處于x1，x2的中點(diǎn)的左側(cè)，這種情況，我們稱為極值點(diǎn)左偏.在這種情況下，顯然x1+x2>2x0，對于我們研究的函數(shù)f(x)=x(1-lnx)來講，極值點(diǎn)x0=1，所以有x1+x2>2.

同樣，當(dāng)x2距離極值點(diǎn)x0=1較近時(shí)，x1距離極值點(diǎn)x0=1也較近，此時(shí)x1+x2的值與2比較接近；而當(dāng)x2距離點(diǎn)(e,0)較近時(shí)，x1距離點(diǎn)(0,0)較近，此時(shí)x1+x2的值與e比較接近.且x2由x0向點(diǎn)(e,0)運(yùn)動(dòng)的速度顯然要比x1向點(diǎn)(0,0)運(yùn)動(dòng)的速度要快，這就不難理解為什么有x1+x2

當(dāng)然，我們分析的是函數(shù)圖象開口向下的情況，此種情況下函數(shù)中極值點(diǎn)右偏的情況與左偏類似，不再贅述.函數(shù)圖象開口向上的情況下，也存在極值點(diǎn)偏移的情況，也不再一一分析.

4.小結(jié)

基于以上分析，筆者認(rèn)為2021年數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第22題題干部分沒有冗繁的文字描述，十分簡潔，能讓考生把注意力很快集中到數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)上，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育應(yīng)有的務(wù)實(shí)作風(fēng).

試題的第一問，考查考生利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，立足基礎(chǔ)，起點(diǎn)低、入口寬，面向全體考生，注重通性通法和對數(shù)學(xué)思想的考查，淡化了特殊方法、技巧解題，這對高中數(shù)學(xué)的教學(xué)有積極的導(dǎo)向作用.