2021年新高考Ⅰ卷第19題的多解探究與思考

廣東 蔡芝芝

一、試題呈現(xiàn)

(2021·新高考Ⅰ卷·19)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b2=ac，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.

(1)證明：BD=b；

(2)若AD=2DC，求cos∠ABC.

二、試題分析

本題是解三角形的解答題，題目題干簡潔，結(jié)構(gòu)清晰，知識點(diǎn)方面主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形問題中的應(yīng)用，考查的數(shù)學(xué)思想方法有化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想，涉及的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等.本題在學(xué)生的學(xué)習(xí)痛點(diǎn)處設(shè)置障礙，強(qiáng)化任務(wù)的梯度設(shè)計，突出對理性思維的考查是本題的主要特點(diǎn)，體現(xiàn)出基礎(chǔ)性，綜合性.試題難度方面比往年全國卷Ⅰ的解三角形試題略難一些，考查的載體和考查方式比較新穎，很多考生很不適應(yīng)，答題情況很不理想.

本題的解答主要有以下三個障礙，一是題中的三角形是不確定的，沒有具體的邊長數(shù)值，需要通過這樣一個三角形載體研究其邊角關(guān)系；二是題目涉及的變量多，題中有三個三角形，每個三角形有六個基本量，可供考生選擇的變量較多；三是構(gòu)建方程的方法多，求解難度大，解三角形問題的核心就是方程的構(gòu)建和方程的求解，很多考生無法正確構(gòu)建方程組進(jìn)行求解，第二問的解題過程中涉及數(shù)字及多符號的混合運(yùn)算，過程比較復(fù)雜，沒有扎實(shí)的運(yùn)算能力，很難求得正確結(jié)果.

三、解法分析

第(1)問的證明過程：

方法一：利用正弦定理邊角互化

△ABC中，由正弦定理得c=2RsinC，b=2Rsin∠ABC，

其中2R為△ABC的外接圓直徑.

代入BDsin∠ABC=asinC化簡得BD×b=ac，

又因為b2=ac，所以BD×b=b2，所以BD=b.

【評注】正弦定理可以實(shí)現(xiàn)邊與角互相轉(zhuǎn)化，是解決本問題的常規(guī)方法，也可以把邊化角再進(jìn)行化簡.在答題過程中應(yīng)該體現(xiàn)正弦定理的應(yīng)用過程，做到邏輯清晰，表達(dá)規(guī)范，避免不必要的丟分.

方法二：作高法

如圖所示，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，記AH=h，

代入BDsin∠ABC=asinC，

方法三：面積法

【評注】通過作高或三角形的面積邊角互化也是一種常見方法，此兩種方法均可用于證明正弦定理，實(shí)質(zhì)上與方法一異曲同工.

方法四：相似三角形法

代入BDsin∠ABC=asinC化簡得sin∠ABC=sin∠BDC，

若∠ABC=∠BDC，則△BDC∽△ABC，

若∠ABC=π-∠BDC，即∠ABC=∠BDA，

則△ADB∽△ABC，

綜上所述，BD=b.

【評注】通過已知條件得到∠ABC與∠BDC的關(guān)系是此解法的關(guān)鍵，也是本題條件中所蘊(yùn)含的幾何關(guān)系，再借助相似三角形的幾何關(guān)系證明.

第(2)問解答過程:

視角一：余弦定理視角

方法一：構(gòu)建邊的方程法

因為∠ADB=π-∠CDB，

故6a2+3c2-11ac=0，

方法二：構(gòu)建角的方程法

在△ABD中，由余弦定理得

在△BCD中，由余弦定理得

在△ABC中，由余弦定理得

b2=a2+c2-2accos∠ABC，

由第(1)問得sin∠ABC=sin∠BDC，

若cos∠ABC=cos∠BDC，

若cos∠ABC=-cos∠BDC，

【評注】此題中的三角形共有三個，對于這種多三角形的解三角形問題往往通過相關(guān)聯(lián)的角或邊進(jìn)行構(gòu)建方程組，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法在解題中的應(yīng)用.由∠ADB與∠BDC的互補(bǔ)關(guān)系得到a,b,c的數(shù)量關(guān)系是關(guān)鍵，也是解此類問題的通法通性，此處可以通過兩個三角形的公共角A或C的余弦定理來構(gòu)建方程組進(jìn)行求解.方法二與方法一在構(gòu)建方程的方法上是一致的，但是在解方程的過程中消元直接得到目標(biāo)角的方程，使得求解過程更簡潔.

視角二：平面幾何視角

方法三：補(bǔ)形法

如圖所示，過點(diǎn)C作CE∥AB交BD延長線于E，

(以下同方法一)

方法四：相似三角形法

由第(1)問得sin∠ABC=sin∠BDC，

若∠ABC=∠BDC，則△BDC∽△ABC，

若∠ABC=π-∠BDC，即∠ABC=∠BDA，

(以下同方法一)

【評注】解三角形問題也是一個平面幾何問題，通過挖掘圖形中的幾何關(guān)系，把幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化成代數(shù)關(guān)系再進(jìn)行求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想方法在解題中的應(yīng)用.方法三也可以用過A作BC的平行線的方法進(jìn)行補(bǔ)形.

視角三：平面向量視角

方法五：向量法

代入上式化簡得6a2+3c2-11b2=0.

(以下同方法一)

【評注】向量在高中數(shù)學(xué)中往往以工具的形態(tài)出現(xiàn)，在解決平面幾何中的很多問題都有著明顯的優(yōu)勢，把幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化成向量關(guān)系，再借助向量的運(yùn)算進(jìn)行求解是常用的方法.此解法體現(xiàn)了向量的工具屬性及化歸與轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用.

視角四：解析幾何視角

方法六：坐標(biāo)法

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC邊所在直線為x軸建立如圖所示直角坐標(biāo)系，

設(shè)∠ABC=θ，則B(0,0)，A(ccosθ,csinθ)，C(a,0)，

因為BD=b，

代入上式化簡得6a2+3c2-11b2=0.

(以下同方法一)

【評注】解析法在解決平面幾何的問題中應(yīng)用廣泛，解題的關(guān)鍵在于坐標(biāo)化，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

視角五：經(jīng)典幾何原理視角

方法七：斯特瓦特定理法

因為AD=2DC，所以由斯特瓦特定理知

即化簡得6a2+3c2-11b2=0.

(以下同方法一)

方法八：阿波羅尼斯定理法

如圖所示，取AD中點(diǎn)E，則D為CE的中點(diǎn).

設(shè)BE=t，則由阿波羅尼斯定理得

消去t并化簡得6a2+3c2-11b2=0，

(以下同方法一).

【評注】三角形中的中線長公式、斯特瓦特定理、阿波羅尼斯定理、斯庫頓定理等經(jīng)典的平面幾何定理在數(shù)學(xué)競賽問題中經(jīng)常涉及，這些定理對解決三角形中的特殊線段的長度問題有著明顯的優(yōu)勢，這些解法的應(yīng)用讓這一道題的背景更加豐富，幾何味更濃.

四、解后反思