立足通性通法 探尋背景本質 發展核心素養
——2021年高考數學全國乙卷第12題的多視角探析及教學啟示

廣東 閆 偉

2021年全國高考數學試題繼續保持著以“一核四層四翼”的《中國高考評價體系》為依托，遵循《考試大綱》，聚焦學科主干知識，突出考查關鍵能力，凸顯基礎性、綜合性、應用性和創新性，彰顯學科核心素養的命題導向，對今后的數學教學和復習備考有很好的借鑒意義.下面以2021年高考數學全國乙卷理科第12題為例，進行評析,并提出合理的復習備考建議，啟發學生在實踐中反思，在反思中體驗，在體驗中感悟，在感悟中提升.

1.試題呈現

( )

A.a

2.試題評析

2.1 聚焦關鍵能力 落實素養考核

本題以對數式和根式為載體，考查實數的比較大小.這類題型往往題干簡潔，但綜合性強，綜合考查對數的運算性質，函數的單調性，不等式的性質等知識.能力層面突出考查學生的推理論證能力、運算求解能力以及綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力；邏輯推理、數學運算是學生發展所需要的兩大重要核心素養，本著“核心內容重點考查”的命題指導思想，命題者在這方面有所側重，突出對學生的數學思想方法、運算能力、數學應用能力等數學素養的考核，作為壓軸題，凸顯了區分甄選功能.

2.2 鼓勵學生多視角思考

本題入手較寬，不同的考生可以有不同的切入點，不同的解法體現不同的思維，下面列舉5種解法，僅供參考.

視角1：基于函數單調性的視角

視角2：基于函數模型增長差異的視角

評注：視角2根據a,b,c三個式子的結構特征，分別構造了三個函數，根據三個函數的圖象增長程度的差異來確定a,b,c的大小關系，解題過程簡潔、直觀，需要學生熟悉各類函數圖象的變化規律.

視角3：基于定積分的視角

評注：解法3在本質上和解法2是一致的，前者是根據三個函數圖象的增長快慢來確定a,b,c的大小關系，直觀形象，本解法則是通過構造函數將a,b,c轉化為定積分，被積函數在所給區間上的關系是確定的，再利用定積分的保號性質確定結果，實現了由圖象到數學語言的精確表達.

視角4：基于“高觀點”的視角

先給出高等數學中兩個常見函數的泰勒展開式：

由②式可以估算得

對比三個式子顯然可得a>c>b，故選B.

評注：視角4是利用高等數學中兩個常見的泰勒展開式直接對a,b,c進行估算確定結果，作為壓軸小題，具備高等知識背景，我們可以適當借助高等數學的有關結論進行求解，在“高觀點”下會使得解答過程一目了然，實現高效解題.

視角5：基于放縮的視角

先由1.012=1.020 1>1.02，可以確定a>b，根據選項排除A,D選項，只需比較a和c即可.

2.3 探尋背景 總結提升

因此，在平常學習中，我們要有意識地加強對常用結論的推導與證明，對試題進行深度地發散研究，探索隱藏在題目背后的奧秘，將研究的問題引向深入，挖掘題目的真正內涵，能夠找到解決這個問題與解決其他問題在思維上的共性；這樣我們才能領會到試題的本質，真正做到觸類旁通，舉一反三，從而達到做一題會一類，甚至通一片的目的.

3.延展應用 拾級而上

對數均值不等式在近些年的各類試題中應用非常廣泛，熟練掌握這些結論并合理運用在導數與不等式相關的問題上，可以極大簡化推理運算過程，實現高效解題，下面舉例說明.

評注：在本題中運用對數均值不等式左側部分的變形，把含有lnx的超越不等式化成多項式的形式，有效避免了對參數a的討論，極大地簡化了推理論證過程.

例2.已知函數f(x)=ex-mx，設x1,x2是函數f(x)的兩個不同零點，證明：x1+x2>2.

評注：此題也可以利用極值點偏移問題解決，但借助指對互化及對數均值不等式證明更簡明扼要.

4.教學啟示

高考全國卷對指、對、冪函數值的比較大小問題的考查，重點是作差(作商)比較法、指數對數的運算性質、函數的單調性、函數的圖象分布規律以及放縮法等知識與技能，以及與導數、不等式等交匯知識 ，對于此專題的教學及備考，需要關注以下幾點：

4.1 重視指、對、冪函數的性質以及函數值大小比較的通性通法

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》指出: 在數學高考命題中，考查內容應圍繞數學內容主線，聚焦學生對重要數學概念、性質、方法的理解和應用，強調基礎性; 注重數學本質和通性通法.近些年來全國各套高考試卷對指、對、冪函數值大小比較的考查, 主要集中在指對互化，指、對、冪函數的運算性質、圖象、單調性以及不等式性質等內容，難度有加大的趨勢，偶爾作為壓軸題出現.因此，在日常教學中，應重視指、對、冪函數的性質、圖象的掌握以及常見的大小比較方法如作差、作商、單調性法、圖象法、放縮法等方法的訓練，用以夯實基礎知識，掌握基本技能，方能在考試中“行穩”.

4.2 適當增加二級結論的訓練以快速靈活地解題

從本題的幾個主要思路可以看出，若利用視角4中的方法解題，學生會較為快速比較a，b，c的大小，也就是利用高等數學中的泰勒展開式這一結果來解題，類似這樣的結果在我們高中階段統稱為二級結論，如對數均值不等式,指數均值不等式,ex≥x+1，lnx≤x-1(x>0) 及其變形結論等都是常用的二級結論；在平常的解題教學中，如果我們能引導學生，提高綜合分析能力，規范好常用二級結論的應用條件和應用范圍，那么這些常用結論能幫助學生解題尤其是壓軸小題時會更加得心應手，在時間非常緊湊的高考考試當中占據極大的優勢.

4.3 重視對歷年高考試題的研究，凸顯真題價值