基于拓撲優化的泡沫填充點陣結構力學行為研究*

□ 方澤輝 □ 李鑫宇 □ 蔣鈺婷 □ 葉加健 □ 丁圓圓 □ 周風華

寧波大學 機械工程與力學學院 浙江寧波 315211

1 研究背景

點陣材料因微觀結構的可設計性而成為一種多功能輕量化材料,具有高比剛度、高比模量、隔聲、隔熱、吸能等特性[1-2]。通過對微觀結構進行重新編輯,多種具有重要功能的點陣材料被設計出來,如體心立方材料、面心立方材料、金字塔材料、八面體材料、十四面體材料等[3-10]。拓撲優化方法的發展對于點陣結構材料的設計而言,具有非常重要的作用。拓撲優化方法是一種可選擇對材料宏觀性能進行優化的結構設計方法,對于材料整體剛度優化問題的解決尤為方便和適用[11]。Yang Chengxing等[12]采用拓撲優化方法,設計了剛度最大的四種晶格材料,分別為面-邊立方體材料、邊-頂點立方體材料、面-頂點立方體材料、面-邊-頂點立方體材料。結果表明,四種晶格材料均表現出不同的變形方式,其中邊-頂點立方體材料的力學性能最優。Song Jian等[13]通過拓撲優化方法,成功設計了一種以剛度最大化為目標的類墨魚骨點陣結構。壓縮試驗結果表明,這一類墨魚骨點陣結構具有高比壓縮模量和良好的能量吸收效率。

泡沫填充的復合結構被廣泛應用于汽車、航天、航空等領域,用于提升結構在緩沖吸能方面的性能。泡沫填充材料自身具有穩定且較長的吸能平臺段,可以在一定程度上提高結構變形的穩定性。Reid等[14]通過靜動態試驗,分析了聚氨酯泡沫填充金屬薄壁圓管的軸向力學性能,發現當填充泡沫材料后,結構的變形模式由金剛石模式轉變為軸對稱圓環模式,這種轉變提高了結構變形的穩定性。文獻[14]還給出了泡沫填充管的平均力方程。泡沫填充材料和被填充結構之間的相互作用會提升整個結構的性能。王敏[15]對比泡沫填充管、夾芯管、雙管結構在準靜態軸向壓縮下的吸能特性,發現填充泡沫能極大提高圓管結構的吸能能力。薄壁外管在夾層泡沫的輔助下,變形模式趨于更加穩定的規整金剛石模式,成為良好的吸能構件,從而提高整體結構的吸能能力。

通過相關研究,可以發現基于拓撲優化可以很容易得到剛度優化的點陣結構[16-18],填充泡沫能夠在此基礎上使結構的力學性能得到進一步提高。為更好地促進多功能材料的發展,筆者研究泡沫填充點陣結構在準靜態加載條件下的壓縮行為,并分析泡沫填充點陣結構的應力-應變曲線、變形機理、吸能行為等力學性能。

2 泡沫填充點陣結構設計

變密度法作為目前主流的拓撲優化方法[19-20],常用于探索特定相對密度下材料的最大剛度。變密度法的過程可以總結如下:首先,將連續體結構模型離散為有限元模型,并假定各單元的密度是均勻的;然后,將結構中的單元密度作為設計變量,使問題轉化為求解結構在一定體積分數下的空間材料最優分布問題;最后,采用過濾函數刪除低密度單元材料,得到優化結構。假設結構中各單元的相對密度為xi,則基于固體各向同性材料懲罰模型,所對應的楊氏模量Ei為[21]:

(1)

式中:Es為基材楊氏模量;p為懲罰參數。

(2)

約束條件為:

(3)

式中:X為設計變量相對密度;xn為第n個設計變量相對密度;R為設計變量相對密度矩陣;C為結構柔度;F為加載向量;U為位移向量;K為結構剛度矩陣;ui為位移向量矩陣;k0為初始單元剛度矩陣;V為優化體積;V0為初始體積;f為體積分數;xmin為最小密度限制,接近于0。

結構的柔度和剛度是一對相反的物理量,這意味著式(2)中的結構柔度最小值等同于結構的最大剛度。由此,給定體積分數的結構剛度最大化問題可以采用式(2)和式(3)進行求解。

筆者應用ANSYS Workbench軟件中的拓撲優化模塊求解上述拓撲優化問題。

應用ANSYS Workbench軟件中的拓撲優化模塊設計單軸壓縮下剛度最大的點陣結構。設計時,最初建立一個簡單的長方體結構,長方體高、寬、深的比約為1.5∶1∶1[22-23]。為了開展拓撲優化,建立Solid186單元20節點初始三維周期單元及其有限元模型,如圖1所示。頂部和底部單元并未進行拓撲優化,便于設立邊界約束和施加載荷。對長方體結構的頂面施加壓力,設計區域的底層和底面四個角為約束面,以便后續拓撲優化。

▲圖1 初始三維周期單元及有限元模型

拓撲優化結構隨體積分數減小演化過程如圖2所示。由圖2可以看出,在軸向壓力的作用下,剛度導向的優化結構在不同體積分數下表現出相似的結構布局。這一拓撲優化結構以Z軸為對稱,由四個角上的傾斜立柱組成。隨著體積分數的減小,傾斜立柱變得越來越細,傾斜立柱上部逐漸向樹枝狀結構轉變,以保證拓撲結構在高孔隙率下能夠達到最佳的支撐剛度。需要指出的是,這些拓撲優化結構的上下底板不包括在拓撲優化過程中,因此上下兩個底板的尺寸與拓撲優化結構的體積分數無關。針對一般點陣材料的孔隙率特點,采用相對密度為0.1的拓撲優化結構,這種結構為剛度導向點陣結構。應用基于多射流熔融工藝的Jet Fusion 5200工業級三維打印機,制造剛度導向點陣結構試樣,基材采用PA12多功能熱塑性塑料,可以實現極高的尺寸精度。PA12多功能熱塑性塑料的參數見表1。

表1 PA12多功能熱塑性塑料參數

筆者通過三維打印技術獲得了剛度導向點陣結構試樣,如圖3所示。每個試樣準備兩組,尺寸、性能相同。需要注意的是,不考慮橫向板厚度,剛度導向點陣結構試樣的相對密度,即表觀密度與基材密度的比值在理論上應該等于拓撲優化中預先設定的體積分數。因此,剛度導向點陣結構試樣在考慮上下底板的質量后,相對密度為15%左右。選用F-193聚氨酯發泡劑對剛度導向點陣結構進行填充,獲得泡沫填充點陣結構試樣,如圖4所示。剛度導向點陣結構試樣進行泡沫填充后,質量增大了26.5%,密度提高了26.8%。聚氨酯泡沫結構試樣如圖5所示。

▲圖2 拓撲優化結構隨體積分數減小演化過程

所有試樣的主要參數見表2。

表2 試樣主要參數

▲圖3 剛度導向點陣結構試樣

▲圖4 泡沫填充點陣結構試樣

▲圖5 聚氨酯泡沫結構試樣

3 準靜態壓縮試驗

采用MTS810材料試驗機對剛度導向點陣結構、泡沫填充點陣結構、聚氨酯泡沫結構三種試樣進行單軸準靜態壓縮試驗,同時使用高分辨率攝像機對變形過程進行記錄。每次壓縮試驗均以特定的恒加載速度進行,得到相應的恒定名義應變率下的材料力學行為,恒定名義應變率由速率除以試樣高度得到。在整個壓縮過程中,實時監測和記錄載荷-位移數據。加載平臺及試樣放置如圖6所示。

在加載應變率為10-3s-1的條件下,由MTS810材料試驗機直接獲得三種試樣的準靜態壓縮應力-應變曲線,如圖7所示。由圖7可以看出,剛度導向點陣結構和泡沫填充點陣結構試樣的準靜態壓縮應力-應變曲線大致可以分為兩個階段。第一階段為彈性階段,應力以一定的斜率迅速增大到初始壓潰應力,應力-應變曲線的切線,即斜率對應試樣的楊氏模量。比較兩種試樣的彈性階段,可以發現這兩種試樣的楊氏模量基本相等,但初始壓潰應力有明顯差異,說明泡沫填充對材料的剛度影響不大,但對屈服應力影響很大。在第二階段,傾斜立柱的彎曲和斷裂行為使應力出現減小,并且斷裂時應力出現了瞬時減小,最后結構發生傾倒而不再具有承載的能力。聚氨酯泡沫試樣的準靜態壓縮應力-應變曲線大致可以分為三個階段。第一階段為彈性階段,應力以相對較小的楊氏模量增大到初始壓潰應力。在第二階段,應力基本維持為一個平臺應力。在第三階段,結構完全壓實,應力隨著應變的增大而增大。

第一組剛度導向點陣結構試樣準靜態壓縮應力-應變曲線如圖8所示,第二組剛度導向點陣結構試樣準靜態壓縮應力-應變曲線如圖9所示。雖然第一組剛度導向點陣結構試樣和第二組泡沫填充點陣結構試樣的應力-應變曲線具有相同的趨勢,但是由于填充泡沫的影響,在初始壓潰應力和初始屈服應變等細節上存在較大差異。泡沫填充點陣結構試樣的初始壓潰應力為2.6 MPa,剛度導向點陣結構試樣的初始壓潰應力為2.1 MPa,泡沫填充后初始壓潰壓力增大了近24%。值得注意的是,泡沫填充物自身的初始壓潰應力要遠遠低于增大的初始壓潰應力。與此同時,屈服應變由0.025左右增大至0.04左右。剛度導向點陣結構在壓縮過程中,傾斜立柱主要承受由豎直桿傳遞的力所引起的彎矩,當傾斜立柱無法承載彎矩時,發生脆性崩斷。泡沫填充點陣結構在壓縮變形過程中,泡沫填充物提供了側向支撐,使傾斜立柱可以承載更高的彎矩,從而影響試樣的初始壓潰應力和應變,提高試樣的力學性能。

▲圖6 加載平臺及試樣放置

▲圖7 試樣準靜態壓縮應力-應變曲線

泡沫填充點陣結構壓縮變形過程中,試樣吸收的能量主要表現為泡沫壓縮變形、傾斜立柱屈曲,以及斷裂所耗散的能量。因此,筆者引入能量吸收量Q,Q定義為:

▲圖8 第一組剛度導向點陣結構試樣準靜態壓縮應力-應變曲線

▲圖9 第二組剛度導向點陣結構試樣準靜態壓縮應力-應變曲線

(4)

式中:m為剛度導向點陣結構失效時的位移;L為實時位移;Fs為試樣實時載荷。

隨著壓縮的進行,三種試樣吸收能量隨位移的變化關系如圖10所示。結果表明,泡沫填充點陣結構試樣吸收的能量高于聚氨酯泡沫結構試樣和剛度導向點陣結構試樣吸收能量的總和,增大約25%。這是由于泡沫填充點陣結構在壓縮變形過程中,和泡沫填充物產生了相互作用,并且泡沫填充點陣結構的變形模式變得更加穩定。

4 結束語

筆者為了研究輕質、高剛度的泡沫填充點陣結構的力學性能,基于拓撲優化方法設計,并借助三維打印技術制備了相對密度約為0.15的剛度導向點陣結構試樣,結合聚氨酯泡沫結構試樣,研究泡沫填充點陣結構在準靜態載荷下的力學行為。

▲圖10 試樣能量吸收隨位移變化關系

根據試驗結果和相關分析,得出以下結論:泡沫填充點陣結構與剛度導向點陣結構的準靜態壓縮階段基本相同,都可大致分為兩個階段,即彈性階段和立柱屈曲到斷裂而引起失穩的階段;泡沫填充點陣結構的初始屈服強度與剛度導向點陣結構相比,提高近24%,并且提高的能力高于泡沫自身可提供的承載能力;在吸能方面,泡沫填充點陣結構能量吸收與剛度導向點陣結構和聚氨酯泡沫結構能量吸收的總和相比,增大25%左右。筆者還研究了泡沫填充點陣結構的變形機理,結果表明在壓縮變形過程中,泡沫填充點陣結構主要由立柱的抗彎行為來支撐縱向載荷,泡沫填充物在壓縮變形過程中提供了側向支撐,提高了立柱承載彎矩的能力,從而提高了結構整體的屈服強度和吸能能力。通過研究說明泡沫填充點陣結構力學性能的提高并不是簡單的泡沫性能與點陣結構性能的疊加,而是需要綜合這兩部分的相互作用。