基于最大相關熵準則的水下生物脈沖噪聲消除方法

高世杰，王 彪，朱雨男，陳 宇，徐千馳，王 武

（江蘇科技大學電子信息學院，江蘇 鎮江 212003）

0 引 言

近年來的研究表明，近海水下生物噪聲多以鰲蝦之類帶有前螯的生物，通過瞬間閉合前螯產生極高壓的沖擊噪聲為主[1]。這類脈沖噪聲不再符合高斯分布模型，持續時間短，沖擊幅度大，頻域占據2～300 kHz[2]，對近海水下通信造成了極大的困擾，因此，如何有效消除脈沖噪聲，有著重要的實際應用意義。

文獻[3]分析了由于脈沖噪聲的存在，可能會造成整個正交頻分復用（Orthogonal Frequency Division Multiplexing,OFDM）系統整體的通信性能的降低。因為脈沖噪聲造成的誤差遠大于高斯噪聲，干擾信號經過離散傅里葉變換后，會使得OFDM子載波分量具有大的方差，進而影響該子載波或者整個OFDM載波的符號。

關于脈沖噪聲的消除研究，一種常用的方法是進行閾值檢測即門限電平的選取，然后用減法器在接收端進行脈沖噪聲的消除，這類算法的核心問題是如何選取一個合適的閾值，閾值的選擇是目前該類方法的一個瓶頸[4-6]。隨著稀疏重構和壓縮感知的發展，利用脈沖噪聲的稀疏特性，對噪聲進行重構，在接收信號中減去重構的脈沖噪聲便完成了干擾消除工作[7-8]。但是壓縮感知的前提條件是需要知道信號的稀疏度，而這是脈沖噪聲不確定的點，因此，該方法的使用也受到了一定的限制。

基于自適應濾波器原理的自適應噪聲消除（Adaptive Noise Cancellation,ANC）方法不需要預先知道信號和噪聲的任何先驗知識就可以將噪聲信號從通信系統中消除[9]。基于最小均方誤差（Minimum Mean Square Error,MMSE）的最小均方（Least Mean Square,LMS）算法利用期望信號和濾波器輸出之間誤差的二階矩，來完成這一工作，但是基于 MMSE準則的算法在非高斯的脈沖噪聲情況下很難保持通信的性能[10]。存在脈沖噪聲干擾時，直接采用基于 LMS算法的自適應濾波算法會使得算法的收斂性能受到脈沖噪聲采樣位置的影響，進而噪聲消除效果較差[11]。針對這一類噪聲的處理，隨著信息學習理論（Information Theoretic Learning,ITL）的發展，信息量可以作為代價函數來完成自適應濾波系統的訓練[12]。最大熵準則（Maximum Correntropy Criterion,MCC）算法作為信息論中的一個熵準則，能夠利用誤差信號有效地消除脈沖噪聲的干擾[13]。本文根據水聲信道的稀疏特性，先是提出對自適應濾波器的代價函數添加了稀疏約束項，用來進行信道估計；然后提出了一種級聯濾波器的設計，第一級濾波器作為自適應噪聲消除器，借助于對脈沖噪聲的參數估計實現噪聲的近似估計，從而達到去噪的目的；最后將去噪后的信號通過基于稀疏約束項的第二級濾波器，實現稀疏信道估計，完成通信過程。

1 基本原理

1.1 最大熵原理

其中：E[·]表示進行期望運算，FXY（x,y）表示（X,Y）的聯合分布函數，κ（x,y）表示核函數。核函數有許多表達式，本文采用核函數的高斯形式：

其中：誤差e=x-y，定義從FXY中提取的N個樣本，σ＞0代表核寬度。圖1為不同核寬度下的核函數。

由圖1可以看出，在不同核寬度下的高斯核函數曲線的收斂速度不同。在自適應濾波算法當中，將核函數作為自適應算法更新的代價函數，對于突變型的誤差，核函數有著比 MMSE準則更好的魯棒性：MMSE準則對誤差比較敏感，因此在高斯環境下性能表現較好，因為在脈沖噪聲的干擾下，誤差信號會呈現較大的突變，這種突變會導致算法穩定性下降，甚至發散。使用高斯核函數作為代價函數，由圖1可知，將誤差映射到高斯曲線中，當誤差較大的時候，核函數對應為較小的甚至接近0的值，從而使得算法不受誤差突變的影響，在脈沖噪聲環境下有著較好的穩定性。

圖1 不同核寬度下的高斯核函數曲線Fig.1 Gaussian kernel function curves for different kernel widths

1.2 自適應濾波器原理

輸入信號通過一個受到脈沖噪聲干擾的未知系統時，有[16]：

其中：df（k）=uT（k）h0是無噪聲信號，u（k）=[u（k）u（k+1）…u（k-M+1）]T表示輸入信號，T代表轉置符號，h0=[h1,h2,...,hM]T代表未知系統的頻率響應，M代表h0的長度，η（k）代表脈沖噪聲，對于誤差信號有[16]：

其中：h（k）表示第k次迭代對h0的估計值。自適應算法的目標是通過不斷更新對h0的估計值，h能夠更好地逼近h0，使得誤差最小且趨于穩定，自適應算法的權值公式為[16]

MCC算法代的價函數為

式（6）屬于凸函數，要使得誤差函數最小，等價于求代價函數的最大值，通過代價函數對權值求偏導，由式（5）和式（6）得到 MCC 的權值更新公式[16]為

其中：μ是步長，也稱為收斂因子，μ的取值大小將直接影響到算法收斂速度的快慢。

1.3 脈沖噪聲模型及參數估計

關于近海環境噪聲的研究表明，單一的高斯噪聲模型無法滿足近海環境的表述，近海環境噪聲多表現為非高斯噪聲的脈沖噪聲[3]。通常用Alpha穩定噪聲模型來表示淺海脈沖噪聲，Alpha穩定分布噪聲是一類帶有線狀尖峰且具有重尾效應的隨機噪聲[4]。由于不存在顯式的概率密度函數，這里用特征函數[17]來進行描述，即

噪聲模型可以表示為N=（α,β,γ,δ）。其中：α∈（0,2]為特征指數，用來表示分布函數拖尾的厚度，α越小，重尾分布越嚴重。β∈[-1,1]是對稱參數，β=0時，穩定分布是關于α對稱的，在這種情況下的分布成為Alpha穩定分布。γ＞0是比例參數，也稱為分散系數，它表示的意義與高斯分布的方差類似。-∞＜δ＜∞是位置參數。

對脈沖噪聲進行參數估計，基本思想是通過采樣到的樣本序列估計特征函數，然后對特征函數的實部和虛部采用回歸的方法估計出參數值[17]。由特征函數可得：

2 基于稀疏約束的最大熵準則算法

其中：λ表示拉格朗日因子，在這里λ取正數，其作用類似于步長，也有控制收斂速度和維持穩態平衡的作用。式（12）右邊第二項對權值求偏導可得：

對公式（12）求偏導，得到權值更新公式：

本文將式（15）等號右邊最后一項稱作0吸引因子，因為它總是使得權值向0靠近。因為h（k）呈現出稀疏特性，每次迭代，當hm（k）為正數時，hm（k+1）則減少μλ；當hm（k）為負數時，hm（k+1）則增加μλ。總之，目的就是將h（k）向0迫近。

3 系統設計和仿真

3.1 信噪比函數

因為Alpha穩定分布二階及二階以上的矩為無窮量，所以高斯噪聲環境下的方差、相關函數等傳統統計方法不再適用于 Alpha穩定分布的隨機過程。因此，這里用另一種信噪比函數來衡量脈沖噪聲與有用信號的信噪比（Signal to Noise Ratio,SNR）[18]：

根據文獻[2-3]對淺海噪聲進行建模，普遍認為脈沖噪聲的α取值范圍在1.6～1.9之間，文獻[2]在不同近海地域檢測到的脈沖噪聲用Alpha穩定分布表示時，具體參數為N1=（1.86,0,0.089,0）和N2=（1.82,0,0.0317,0），具體脈沖形式如圖2和圖3所示。通過圖2、3可以看出，α值越小，脈沖效果越明顯。在脈沖噪聲為N1時，脈沖個數多且單個脈沖幅值較小；在脈沖為N2時，脈沖個數較少且單個脈沖幅值較大。本文選擇N1=（1.86,0,γ,0）和N2=（1.82,0,γ,0），用來表征不同信噪比下的脈沖噪聲。

圖2 參數為N1時的脈沖噪聲Fig.2 Impulse noise when the parameter is N1

圖3 參數為N2時的脈沖噪聲Fig.3 Impulse noise when the parameter is N2

3.2 數據幀設計

通信系統數據幀結構的設計如圖4所示。接收端在信號同步以后，先通過訓練序列和數據部分兩端均為0的保護序列得到脈沖噪聲n，然后采用參數估計，得到訓練序列和數據部分的脈沖噪聲n2（注意，這里通過參數估計得到的脈沖噪聲n2和訓練序列和數據部分真實的脈沖噪聲n1理論上不可能等同，只是同一個參數模型下的兩段噪聲信號）；訓練序列用來進行信道估計，具體的系統實現結合本文設計的級聯濾波器結構。

圖4 信號的發送序列設置Fig.4 Signal transmission sequence settings

3.3 系統結構設計

本文在接收端設計一個級聯的自適應濾波器結構。第一級濾波器完成對噪聲干擾的消除，第二級濾波完成對水聲信道的信道估計。兩個級聯的濾波器實際是應用了自適應濾波器的噪聲抵消和對未知系統頻率響應函數的估計兩個方面。

圖5 級聯濾波器系統圖Fig.5 Block diagram of cascade filter system

3.4 仿 真

依據經驗，將步長μ設置為0.005；在稀疏自適應算法中λ設置為0.01；核寬度σ設置為5；稀疏信道的長度設置為40，稀疏度設置為5。

本文采用OFDM的調制和解調，具體參數設置為：子載波個數200；每個子載波含符號數為12；采用16QAM映射，從而生成二進制序列的長度為9 600；考慮水聽器采用單發送單接收，為了使得送往發送端的信號為實數形式，在快速傅里葉逆變換（Inverse Fast Fourier Transform,IFFT）前，需要增加發送信號的共軛信號，傅里葉變換點數滿足大于兩倍的子載波數，這里設置為 512；保護間隔與OFDM數據的比例為1/4；后綴長度為20；同時為了加快信號功率譜邊沿的下降速度，添加窗函數滾降系數為1/32的矩形窗。發送幀按如下設置：根據OFDM參數設置，發送端生成的有用信號長度為12×（512+512×1/4）+20=7700；采用線性調頻做同步信號；將訓練序列長度設置為1 000；前后為0的保護序列長度各設置為1 000；從而推得所用的訓練序列僅占傳輸信號（有用數據信號和訓練序列）的11.5%。

噪聲采用N1=（1.86,0,γ,0）和N2=（1.82,0,γ,0）來比較不同脈沖噪聲參數下的算法性能，離散信號功率計算公式為

同時結合式（15）驗證提出算法及系統設計在脈沖噪聲下的誤碼率情況。

仿真部分采用四種方案設計，第一種為單一的最小二乘（Least Square,LS）信道估計，沒有添加任何自適應噪聲消除的設計；第二種為添加自適應噪聲消除后的最小二乘（Adaptive Noise Cancellation and Least Square,ANC-LS）方案設計，用來表征噪聲消除方案的優越性；第三種為單一的稀疏約束最大熵準則MCC方案設計，用于表征本文提出的稀疏信道估計算法比傳統LS算法的性能優越；第四種為本文設計方案，信號先是通過自適應噪聲消除濾波器，然后進行稀疏信道估計。接收端經解調后，當噪聲參數為N1時，在不同信噪比下二進制信號錯誤個數以及誤碼率曲線分別如表1和圖6所示；當噪聲參數為N2，在不同信噪比下二進制信號錯誤個數以及誤碼率曲線分別如表2和圖7所示。

表1 脈沖噪聲參數為N1時不同信噪比下解調后二進制信號錯誤個數Table 1 Number of binary signal errors after demodulation under different signal-to-noise ratios when the impulse noise parameter is N1

圖6 脈沖噪聲參數為N1時不同信噪比下誤碼率曲線Fig.6 Bit error rate curves under different signal-to-noise ratios when the impulse noise parameter is N1

表2 脈沖噪聲參數為N2時不同信噪比下解調后二進制信號錯誤個數Table 2 Number of binary signal errors after demodulation under different signal-to-noise ratios when the impulse noise parameter is N2

圖7 脈沖噪聲參數為N2時不同信噪比下誤碼率曲線Fig.7 Bit error rate curves under different signal-to-noise ratios when the impulse noise parameter is N2

從圖6和圖7可以得出，在不同的噪聲參數下，傳統LS算法在脈沖噪聲下的效果最差，性能受噪聲的干擾最為嚴重，同時驗證了文獻[3]中所提的脈沖噪聲，會因為經過離散傅里葉變換后進而影響整個通信系統的性能；在LS算法中添加自適應噪聲消除系統，能夠對噪聲起到一定的消除作用，通信系統的誤碼率整體比LS算法低；由于熵函數對脈沖噪聲或者說是對瞬間突變的誤差有著較好的魯棒性，本文提出的基于稀疏約束的最大熵準則信道估計算法有著比LS算法更好的性能；在進行信道估計前先進行噪聲消除，即本文提出的級聯濾波器結構，比前三種算法性能更好，誤碼率曲線最低。

分析圖6，噪聲參數為N1時，橫向對比，當誤碼率為10-2時，本文提出的級聯濾波器結構能夠在信噪比為10 dB左右時達到，單一最大熵信道估計在信噪比為13 dB左右時才達到，通過噪聲消除后的LS算法要在信噪比為17 dB時才能達到。在誤碼率縮小到10-3時，本文提出的級聯濾波器結構同樣優于其他三種方案。縱向對比，當信噪比相同時，LS算法性能最差，本文提出的級聯濾波器方案性能最好，能夠滿足通信的性能要求。圖7也表明本文提出的方案性能優于其他三種方案。

在不同噪聲參數下，通過對比表1和表2的具體二進制信號誤碼個數，可以看出表2整體上誤碼個數要比表1低。這是因為在分析圖2和圖3時得出關于不同噪聲參數下脈沖的個數多少以及幅值高低關系，在本文采用熵函數能夠很好地將較大的脈沖噪聲進行限制，從而保證算法能夠在不同脈沖噪聲參數下有著較好的性能。

4 結 論

為了消除脈沖噪聲，降低通信系統的誤碼率，本文提出了采用基于最大熵準則的級聯自適應濾波器結構來實現脈沖噪聲干擾的抵消，并且提出一種稀疏約束的最大熵準則代價函數，來實現脈沖噪聲消除后的水聲稀疏信道估計。仿真實驗表明，在訓練序列占傳輸信號比例為11.5%的情況下，提出的方法能夠在低信噪比的情況下產生較低的誤碼率，比傳統的方法有著更好的通信性能。