基于最優(yōu)收縮的傳聲器陣列部分相干噪聲去噪方法

余 亮，潘 錚，陳正武，高建正，蔣偉康

（1.上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240；2.上海交通大學(xué) 智能汽車研究所，上海 200240；3.中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心氣動(dòng)噪聲控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 綿陽(yáng) 621000）

0 引 言

背景噪聲抑制是波束形成技術(shù)的重要研究?jī)?nèi)容。經(jīng)典的波束形成方法中對(duì)于背景噪聲的假設(shè)為空間不相干噪聲，即陣列在空間的不同傳聲器中采集到的背景噪聲信號(hào)是互不相干的，在傳聲器陣列測(cè)量領(lǐng)域稱之為空間白噪聲[1-3]。在這個(gè)假設(shè)下發(fā)展了一系列空間白噪聲的去除方法：如以特征值濾波為代表的子空間法[4-5]、最小化空間噪聲功率的Capon方法[6]、將互譜矩陣的對(duì)角線去除的對(duì)角線移除方法（Diagonal Removal,DR）方法[7-8]等。

然而自20世紀(jì)90年代開始，波束形成方法開始逐漸應(yīng)用于環(huán)境惡劣、較低信噪比的工況下。其中一個(gè)典型的應(yīng)用就是水底聲源的探測(cè)，由于水下聲源不盡相同，水下聲源的傳播機(jī)理也不同于空氣傳播，海洋中更是存在著難以預(yù)測(cè)的干擾，因此提出了區(qū)別于傳統(tǒng)方法的去噪方式[9-11]。另一種典型的復(fù)雜工況存在于氣動(dòng)聲學(xué)領(lǐng)域，由于風(fēng)洞中的氣流誘導(dǎo)噪聲與安裝效應(yīng)，使得目標(biāo)聲源的探測(cè)受到嚴(yán)重干擾，也對(duì)傳聲器陣列去噪方法提出了新的要求[12-14]。因此，在實(shí)際測(cè)量中，尤其是存在強(qiáng)干擾的測(cè)量環(huán)境下，電子噪聲、環(huán)境噪聲或流致噪聲等噪聲的存在，使得背景噪聲變得復(fù)雜。此時(shí)背景噪聲在空間的分布并不滿足空間白噪聲假設(shè)，而趨近于空間部分相干，即陣列不同傳聲器采集到的背景噪聲部分相干[15]。此時(shí)傳統(tǒng)的去噪方法（對(duì)角線重構(gòu)，子空間法）在信噪比較高以及相干通道數(shù)較少時(shí)尚可取得不錯(cuò)的結(jié)果；而在強(qiáng)干擾的工況下，將導(dǎo)致聲場(chǎng)成像動(dòng)態(tài)范圍的減小以及對(duì)聲源強(qiáng)度的低估。

因此，針對(duì)傳聲器陣列接收信號(hào)中背景噪聲部分相干與聲源個(gè)數(shù)相對(duì)傳聲器個(gè)數(shù)較少的特點(diǎn)，提出了許多基于背景噪聲及聲源結(jié)構(gòu)化特征建模的去噪算法。文獻(xiàn)[16]考慮了背景噪聲與前向傳播模型的不確定性，引入了聲源的稀疏模型并使用貝葉斯方法進(jìn)行求解，增強(qiáng)了聲源成像的分辨率。文獻(xiàn)[17]最早提出了對(duì)聲源互譜矩陣的低秩建模：譜矩陣的秩數(shù)等于不相干聲源的個(gè)數(shù)，其提出的一種循環(huán)投影（Cyclic Projection,CP）算法，在聲場(chǎng)信號(hào)高度相干的情況下，能夠恢復(fù)傳聲器互譜矩陣中聲源信號(hào)的缺失信息。文獻(xiàn)[18]基于壁壓互譜矩陣的低秩特性與邊界層噪聲的稀疏特性，除了對(duì)聲源進(jìn)行低秩建模之外，還引入了背景噪聲的稀疏模型，并使用魯棒主成分分析（Robust Principal Component Analysis,RPCA）實(shí)現(xiàn)水動(dòng)力隧道邊界層去噪。文獻(xiàn)[19]提出了一種概率因子方法（Probabilistic Factorial Analysis,PFA）：使用復(fù)高斯分布對(duì)聲源及噪聲進(jìn)行建模以擬合傳聲器陣列的互譜矩陣，利用貝葉斯層次方法對(duì)模型未知參數(shù)求解。

在上述研究的基礎(chǔ)上，根據(jù)部分相干噪聲的機(jī)理，本文提出了背景噪聲互譜矩陣的稀疏建模；以及當(dāng)已知聲源個(gè)數(shù)小于傳聲器個(gè)數(shù)時(shí)，對(duì)聲源互譜矩陣進(jìn)行低秩建模，并以聲源與背景噪聲各自互譜矩陣的秩和0-范數(shù)作為兩者的度量準(zhǔn)則。通過(guò)使用最優(yōu)收縮和軟閾值操作對(duì)該度量準(zhǔn)則進(jìn)行近似和優(yōu)化求解，實(shí)現(xiàn)了互譜矩陣中聲源和背景噪聲成分的分離。將提取出的聲源互譜矩陣用于波束形成，可以很好地實(shí)現(xiàn)對(duì)空間不相干和部分相干背景噪聲的抑制。

1 問(wèn)題描述

若有S個(gè)不相干聲源信號(hào)，M個(gè)傳聲器組成的傳聲器陣列，假設(shè)聲源位于位置xs處，那么聲源經(jīng)自由場(chǎng)傳播至位置xm處的聲壓信號(hào)表示為[20]

將聲源信號(hào)的傅里葉變換表示為q（xs,f），那么在不相干聲源假設(shè)下兩個(gè)不同聲源的頻域信號(hào)之間關(guān)系為

背景噪聲會(huì)嚴(yán)重影響傳聲器陣列波束形成方法的成像效果，在傳統(tǒng)的波束形成方法中，陣列采集到的背景噪聲往往被認(rèn)為是互不相干的。傳聲器陣列采集到的頻域聲壓p可以一般性地表示為

2 部分相干噪聲的去噪方法

2.1 低秩稀疏假設(shè)

對(duì)于式（10）的求解，可以將其看成低秩子問(wèn)題與稀疏子問(wèn)題，如式（11）與式（12）所示：

2.2 稀疏子問(wèn)題

式（12）的解一般可使用對(duì)稀疏矩陣的軟閾值（Soft Thresholding）操作求解：

2.3 低秩子問(wèn)題

其中，I為單位矩陣，Tr（·）為矩陣的跡運(yùn)算。此時(shí)，式（17）可以寫為

2.4 算法求解過(guò)程

分別使用軟閾值操作和最優(yōu)收縮實(shí)現(xiàn)對(duì)式（10）的迭代求解，其中，第k次迭代過(guò)程為

值得注意的是，上述算法基于低秩/稀疏假設(shè)，假設(shè)聲源個(gè)數(shù)已知且遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于傳聲器個(gè)數(shù)，此時(shí)認(rèn)為每個(gè)迭代步長(zhǎng)的聲源的互譜矩陣都是低秩的，并使用最優(yōu)收縮求解；而部分相干噪聲的互譜矩陣是稀疏的，并使用軟閾值操作進(jìn)行求解。最終，基于最優(yōu)收縮的傳聲器陣列部分相干噪聲去噪算法的流程圖如圖2所示。

圖1 部分相干噪聲互譜矩陣Fig.1 Cross spectrum matrix of partially coherent noise

圖2 去噪算法的流程圖Fig.2 Flow chart of denoising algorithm

3 仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 仿真驗(yàn)證

利用仿真，生成不同相干通道數(shù)的背景噪聲，以驗(yàn)證所提去噪算法在不同相干通道數(shù)下的部分相干噪聲的表現(xiàn)。仿真中使用 56個(gè)通道的阿基米德螺線陣列，共有7個(gè)臂，如圖3（a）所示。設(shè)置兩個(gè)獨(dú)立聲源，聲源位置分別為（-0.2,-0.2,1.5）和（0.2,0.1,1.5），仿真布置如圖3（b）所示。在采樣頻率為16 384 Hz時(shí)，假設(shè)時(shí)域信號(hào)被分成1 600個(gè)采樣段，每段信號(hào)在時(shí)域利用256點(diǎn)FFT轉(zhuǎn)化到頻域。兩個(gè)聲源分別生成寬帶高斯白噪聲，背景噪聲采用相同參數(shù)的隨機(jī)序列。若以傳聲器陣列采集到所有聲源信號(hào)能量的平均值除以背景噪聲能量的平均值定義信噪比，噪聲信號(hào)設(shè)置的不相干背景噪聲信噪比為-20 dB，相干通道信噪比為-7 dB。對(duì)處理后的傳聲器陣列信號(hào)在分析頻率為2 432 Hz時(shí)，分別使用移除互譜矩陣對(duì)角線方法與本文提出的基于最優(yōu)收縮的去噪方法提取互譜矩陣低秩部分，對(duì)傳聲器陣列進(jìn)行去噪。成像網(wǎng)格為67×67個(gè)，網(wǎng)格大小為 0.015 m，比較原始信號(hào)與去噪后信號(hào)的互譜矩陣與波束形成成像結(jié)果，如圖4～6所示。

圖3 仿真環(huán)境設(shè)置Fig.3 Simulation environment settings

通過(guò)圖 4（d）～4（f）、5（d）～5（f）、6（d）～6（f）比較原始傳聲器陣列波束形成結(jié)果、對(duì)角線移除后結(jié)果以及本文提出的低秩部分提取方法去噪后的結(jié)果，以探究部分相干背景噪聲對(duì)聲源成像的影響（聲功率級(jí)）。由于背景噪聲不相干部分與部分相干部分的影響，對(duì)聲源成像結(jié)果造成較大的干擾。當(dāng)傳聲器陣列互譜矩陣相干通道數(shù)為0時(shí)，如圖4所示，傳聲器互譜矩陣非對(duì)角線的幅值較小，使用對(duì)角線移除和低秩部分提取均能獲得較好的成像結(jié)果，如圖4（e）～4（f）所示。如圖5（b）、圖6（b）所示，當(dāng)相干通道數(shù)逐漸變多時(shí)，互譜矩陣非對(duì)角線的噪聲幅值逐漸變大，僅使用對(duì)角線移除無(wú)法還原出聲源互譜矩陣的結(jié)構(gòu)化特征。而從圖5（c）、6（c）可以發(fā)現(xiàn)，所提出的方法在保證互譜矩陣的完整性（對(duì)角線）的同時(shí)，最大化地去除背景部分相干噪聲的影響。相比于圖 5（e）、圖 6（e）中對(duì)角線移除的聲源定位效果，所提出的方法實(shí)現(xiàn)更加精準(zhǔn)的聲源定位，如圖5（f）、圖6（f）所示。

圖4 不相干背景噪聲下原始陣列，對(duì)角線法去噪后陣列和低秩提取法去噪后陣列的互譜矩陣與成像結(jié)果對(duì)比Fig.4 Comparison between cross spectrum matrixes and imaging results of the original array,the DR denoising array and the low-rank extraction denoising array under incoherent background noise

圖5 10個(gè)相干通道下原始陣列，對(duì)角線法去噪后陣列和低秩提取法去噪后陣列的互譜矩陣與成像結(jié)果對(duì)比Fig.5 Comparison between cross spectrum matrixes and imaging results of the original array,the DR denoising array and the low-rank extraction denoising array under 10 coherent channels

圖6 25個(gè)相干通道下原始陣列，對(duì)角線法去噪后陣列和低秩提取法去噪后陣列的互譜矩陣與成像結(jié)果對(duì)比Fig.6 Comparison between cross spectrum matrixes and imaging results of the original array,the DR denoising array and the low-rank extraction denoising array under 25 coherent channels

為了定量比較不同相干通道數(shù)下對(duì)角線移除與基于最優(yōu)收縮的低秩提取方法的聲源重構(gòu)效果，定義互譜相對(duì)誤差為

雖然在極低信噪比及部分相干噪聲的工況下，所提出的低秩提取方法具有超過(guò)200%的互譜矩陣相對(duì)誤差，但依然可以根據(jù)互譜矩陣的結(jié)構(gòu)化信息實(shí)現(xiàn)聲源定位。

觀察圖7可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)相干通道數(shù)小于40時(shí)，基于最優(yōu)收縮的低秩提取方法相比對(duì)角線移除方法擁有更小的互譜矩陣誤差，并且在相干通道數(shù)小于8個(gè)、大于1個(gè)時(shí)，所提出的方法對(duì)比對(duì)角線移除方法，均減小了超過(guò)100%的互譜矩陣對(duì)角線誤差，驗(yàn)證了本方法的有效性。當(dāng)相干通道數(shù)為7個(gè)時(shí)，所提出的方法具有最好的去噪效果，而隨著相干通道數(shù)的增多，噪聲的互譜矩陣逐漸開始難以滿足稀疏的假設(shè)，去噪效果也逐漸變差。

圖7 不同相干通道數(shù)下互譜矩陣相對(duì)誤差對(duì)比Fig.7 Comparison of relative errors of cross spectrum matrix under different coherent channel numbers

另外，當(dāng)相干通道數(shù)到達(dá) 56個(gè)時(shí)，未去噪的互譜矩陣相對(duì)誤差與去噪后的互功率譜矩陣相對(duì)誤差出現(xiàn)了重合。此時(shí)所有通道上都出現(xiàn)了相干噪聲，聲源與噪聲的互功率譜矩陣的結(jié)構(gòu)化信息從低秩+稀疏，變?yōu)榱说椭?低秩，事實(shí)上此時(shí)已從傳聲器陣列去噪問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了聲源分離問(wèn)題。

3.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與分析

在封閉實(shí)驗(yàn)大廳中，安放障板并使用2個(gè)1 in（1 in=2.54 cm）揚(yáng)聲器作為標(biāo)準(zhǔn)聲源，障板遠(yuǎn)離陣列一側(cè)使用消聲棉包裹以避免另外一側(cè)聲場(chǎng)的影響。為了模擬出部分相干的背景噪聲，在聲源四周使用4臺(tái)工業(yè)風(fēng)扇同時(shí)運(yùn)轉(zhuǎn)產(chǎn)生背景噪聲，此時(shí)在正對(duì)聲源位置人耳無(wú)法聽到揚(yáng)聲器播放的聲音。利用與仿真中陣元布置方式一致的傳聲器陣列進(jìn)行采集，陣列直徑為1 m，如圖8（a）所示，傳聲器采用BSWA MA 231型號(hào)傳聲器前置放大器以及MP201傳聲器，數(shù)據(jù)采集模塊使用配套的BBM PAK MKII 采集系統(tǒng)。陣列放置于聲源（揚(yáng)聲器）的正前方，聲源-陣列距離為1.5 m，如圖8（b）所示。

圖8 強(qiáng)干擾環(huán)境下實(shí)驗(yàn)布置圖Fig.8 Experimental layout in strong interference environment

試驗(yàn)中揚(yáng)聲器播放白噪聲信號(hào)，傳聲器陣列進(jìn)行信號(hào)采集。采集設(shè)備的采樣頻率為16 384 Hz，并使用256點(diǎn)FFT在90%重復(fù)率下轉(zhuǎn)換到頻域，其他參數(shù)與仿真保持一致。在試驗(yàn)中，首先測(cè)量沒(méi)有聲源情況下的背景噪聲，然后添加聲源進(jìn)行信號(hào)采集，獲得信噪比約為-17 dB。對(duì)背景噪聲的測(cè)試結(jié)果中選擇兩個(gè)典型的分析頻率（2 432 Hz和4 416 Hz），此時(shí)背景噪聲的互譜矩陣相干性分別對(duì)應(yīng)較為典型的部分相干和不相干特性，如圖9所示，聲源定位結(jié)果如圖10所示。

圖9 不同頻率下各通道互譜矩陣的相干性Fig.9 Coherence of the cross spectrum matrix of each channel at different frequencies

對(duì)于聲源附近“光圈”的出現(xiàn)可以解釋為：使用未經(jīng)處理的傳聲器陣列互譜矩陣進(jìn)行波束形成，其主要貢獻(xiàn)量來(lái)自三部分：聲源、不相干噪聲和部分相干噪聲，如圖11（a）所示。可以發(fā)現(xiàn)，不相干噪聲對(duì)整個(gè)動(dòng)態(tài)范圍內(nèi)波束形成的都有影響；而部分相干噪聲在聲源附近能量較高，對(duì)背景噪聲的貢獻(xiàn)并不明顯，因此當(dāng)使用對(duì)角線移除的方法對(duì)陣列互譜矩陣進(jìn)行去噪，移除了不相干噪聲的貢獻(xiàn)量如圖11（b）所示，出現(xiàn)了如圖 10（e）所示的圓環(huán)。而使用基于最優(yōu)收縮的低秩提取方法，同時(shí)去除不相干噪聲與部分相干噪聲，如圖11（c）所示，所以獲得了更好的去噪結(jié)果。

圖10 部分相干噪聲的去噪實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.10 Results of denoising experiments for partially coherent noise

圖11 聲源、不相干背景噪聲和部分相干噪聲對(duì)波束形成的貢獻(xiàn)Fig.11 Contributions of sound source,incoherent background noise and partially coherent noise to beamforming

4 結(jié) 論

本文探究了部分相干背景噪聲的來(lái)源及其對(duì)聲源成像的影響。當(dāng)傳聲器個(gè)數(shù)大于聲源個(gè)數(shù)時(shí)，可認(rèn)為聲源互譜矩陣是低秩的；部分相干噪聲的不相干部分集中在背景噪聲互譜矩陣的對(duì)角線上，而部分相干部分則分布在互譜矩陣的非對(duì)角線上，因此是稀疏的。在低秩、稀疏假設(shè)下，提出了一種基于最優(yōu)收縮的互譜矩陣低秩提取方法以達(dá)到去噪的目的。通過(guò)仿真，對(duì)比了在不同相干通道數(shù)下所提出方法與傳統(tǒng)去噪方法（對(duì)角線移除）的去噪效果。通過(guò)實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了空間部分相干噪聲的存在與本文所提去噪算法相對(duì)于對(duì)角線移除方法的優(yōu)越性。