經歷建構過程，深挖概念本質內涵

翟娟 張秀愛

[摘 要]數學概念是數學知識的重要組成部分。以“比例尺”的概念課為例，通過核心問題的引領，使學生經歷一個自主建構概念、自主理解概念本質內涵的過程，從而對比例尺的概念有一個全面的深層次的認識和理解。

[關鍵詞]比例尺;概念;小學數學

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）29-0051-04

數學概念是學生學習數學知識的基礎，要想讓概念課教學有效發揮它應有的作用，教師就要準確把握概念的核心，教會學生思考和探究，幫助學生自主建構概念。

“比例尺”是一節重要的概念課，涉及的知識面廣，下面就談談如何在這節課中引領學生有效建構概念，深刻理解概念的本質和內涵。

【教學過程】

一、創設情境，提出問題

師：今天我們就從貼在黑板上的這個長方形開始研究。如果要把這個長方形按照它的實際大小畫在你的本子上，你的本子能畫得下嗎？

生（齊）：畫不下。

師：要想在你的本子上畫得下，得把這個長方形怎么樣呢？

生（齊）：縮小。

師：非常聰明！怎么縮小才能不改變這個長方形的形狀？請動腦想想，在小組內討論討論。

【評析：“怎么縮小才能不改變這個長方形的形狀？”這個問題直指比例尺的發明和創造，把學生的思維引到了思考按怎樣的標準將圖形縮小。】

二、解決問題，探究新知

1.探究將圖形縮小的比例尺

師：? 說說怎么把這個長方形縮小就不會改變它的形狀？

生1：將長縮短到原來的[12]，寬也要縮短到原來的[12]。

師：很好，也就是將長和寬都縮短到原來的[12]。

師：還可以怎么縮小？（生答略）

【評析：學生思考得出的結論“將長和寬都縮短到原來的[14]或[15]或[16]”，就是比例尺的雛形。給學生一個探究的空間，學生就會有所“發明”和“創造”。】

師：試著將它們概括為一句話，只要怎么縮小就能讓長方形的形狀不改變？

生2：只要將長和寬縮小的倍數相同，形狀就不改變。

師：“倍數”是描述擴大的，縮小不能用“倍數”描述，是不是只要將長和寬縮小相同的比例，長方形的形狀就不改變？

生（齊）：對。

師：把長和寬縮小相同的比例后，形狀到底有沒有改變呢？請大家仔細觀察這5個縮小后的長方形，把它們分別和原來的長方形比較一下，形狀變了沒有？

生（齊）：沒有。

師：為什么把長和寬縮小相同的比例后，圖形的形狀不發生改變？

【評析：“為什么把長和寬縮小相同的比例后，圖形的形狀不發生改變？”這個問題意在讓學生理解比例尺產生的依據，搞清楚知識的來龍去脈，深刻理解知識背后的道理。】

師：想一想，長和寬縮小相同的比例，也就是把長和寬都除以相同的數，長和寬的什么不變才讓形狀也不發生改變呢？

生3：長和寬的比值不變。

師：對，長和寬都除以相同的數，長和寬的比值是不變的。現在算一算原來這個長方形的長和寬的比值是多少。這個長方形的長是36厘米，寬是24厘米，長和寬的比值是多少？這個比值表示長和寬之間的什么關系？

生4：? [32]。長是寬的[32]，寬是長的[23]。

師：長和寬都縮小相同的比例后，也就是長和寬都除以相同的數后，長還是寬的[32]。你們怎么想到長和寬都除以相同的數后，長和寬的比值不變的？

生5：根據比的基本性質，比的前項和后項都除以相同的數，比值不變。

【評析：比的基本性質就是比例尺產生的依據，搞清楚了知識的來龍去脈，就為理解比例尺的意義奠定了知識基礎。】

師：非常聰明，長和寬的比值不變，也就是長和寬之間的關系沒有發生改變，所以形狀也不會發生改變。老師還有一個問題需要大家幫忙解決，這5個圖形都是把原來的圖形縮小后畫出來的，怎么才能讓人知道這些縮小的圖形是把原來的圖形如何縮小后得出的呢？

生6：在圖中注明長和寬都縮小到原來的幾分之幾。

師：比如說這第一個縮小的長方形在圖中注明什么？

生7：長和寬都縮小到原來的[12]。

師：寫上這么長的一行字太麻煩，如果把字省去，只留下數怎么樣？

師：大家說得對。[12]在這里表示的是兩個數之間的關系，如果在圖中只標注上[12]很容易讓人把[12]當成一個數。想一想，[12]寫成什么形式才不會讓人把它當成一個數，而只表示兩個數之間的關系？

生8：寫成一個比1∶2。

師：很聰明，所以只在圖中注明1∶2就知道是怎么縮小的了。

【評析：通過討論，學生認識到了比例尺寫成比的形式的道理，也體驗到了比例尺產生的必要性。】

師：人們知道了這幅圖是縮小后畫出的圖，也就知道了這個比是誰和誰的比。那1∶2這個比是誰和誰的比？

生8：所畫的長方形的長和原來的長的比是1∶2。

師：還有誰和誰的比也是1∶2？

生9：所畫的寬和實際寬的比也是1∶2。

師：? 還有誰和誰的比也是1∶2？（學生答不上來）

師：想一想，除了所畫圖形的邊長與實際圖形的邊長的比是1∶2，還有什么長度的比也是1∶2？

生10：所畫的長方形的對角線和實際長方形的對角線的比也是1∶2。

師：對角線長度的比到底是不是1∶2？我們請電腦博士驗證一下。（播放課件）

師：下面再任意取兩個點，比如在所畫的長方形上端的長邊的[34]處取一個點，再在右端的寬的[23]處取一個點，然后在實際長方形相對應的地方取兩個點。所畫長方形中這兩點之間的距離與實際長方形中相對應的兩點之間距離的比是幾比幾？

生11：1∶2。

師：是不是1∶2呢？也請電腦博士來驗證一下。（播放課件）

師：現在你有什么想說的？

生12：所畫長方形中任意兩點之間的距離與實際長方形中相對應的兩點之間距離的比都是1∶2。

師：是不是這樣呢？我們在兩個長方形中其他相對應的地方任意取兩個點，看看距離的比是不是也是1∶2。

播放課件（驗證得出）：比都是1∶2。

師：果真跟大家想的一樣，所畫長方形中任意兩點之間的距離與實際長方形中相對應的兩點之間的距離的比都是1∶2，我們就把這個1∶2叫作圖上距離和實際距離的比（在1∶2的上面板書：圖上的距離∶實際距離）。

【評析：通過“逼迫”學生充分地思考“1∶2是誰和誰的比？”，就能讓學生對比例尺的意義有一個全面深刻的理解和認識。】

師：現在我們知道了在第一個縮小的長方形中要標注上1∶2，那第二個縮小的長方形中應標注上什么？

生13：1∶3。

師：1∶3是誰和誰的比？

生14：圖上距離和實際距離的比。

師：圖上距離是幾份的數，實際距離是幾份的數？

生15：圖上距離是1份的數，實際距離是3份的數。

師：圖上距離和實際距離的比有一個名字，叫作比例尺（板書比例尺的概念）。請大家一起讀一讀比例尺的定義。

【評析：有了豐富感知、抽取本質屬性的過程，比例尺概念的構建水到渠成。】

師：大家說比例尺是一把尺子嗎？

生（齊）：不是 。

師：那比例尺是什么？

生16：是一個比。

師：這個比的前項是誰，后項是誰？

生17：前項是圖上距離，后項是實際距離。

師：既然比例尺是一個比，為什么還帶個“尺”字呢？ 我們知道尺子是用來測量的標準，“比例尺”帶著個“尺”字，說明什么？

生18：說明比例尺也是一個標準。

師：對，說說比例尺是用來干什么的標準。

生19：將圖形縮小的標準。

師：對，比例尺是用來將圖形縮小或放大的標準，比如1∶2這個比例尺就是把原來長方形按什么標準縮小？

生20：把所有的邊都縮小到原來長度的[12]。

師：這個1∶3是把實際的長方形按什么標準縮小？

生21：把所有的邊都縮小到原來長度的[13]。

師：說得很對，所有的邊都按統一標準縮小或放大，圖形的形狀才不會改變。

【評析：通過思考“比例尺是一個比，為什么還帶個‘尺字”這個問題，學生體會到比例尺的本質屬性——是一個將圖形縮小或放大的標準。】

師：觀察你們“發明”的這些比例尺，它們有什么相同的地方？

生22：前項都是1。

師：比例尺的前項是1有什么好處？

生23：能一眼看出實際距離是圖上距離的多少倍，圖上距離是實際距離的多少分之一。

師：說得對！比例尺描述的就是圖上距離和實際距離之間的倍比關系，比例尺的前項是1，能一眼看出圖上距離是實際距離的幾分之一，實際距離是圖上距離的多少倍，很方便我們計算和解決問題。

【評析：通過思考和分析“比例尺的前項是1有什么好處？”這個問題，學生體會到了比例尺所表示的是一種關系，是圖上距離和實際距離之間的倍比關系。】

師：比例尺在生活中有著廣泛的應用，生活中什么地方會用到比例尺？

生（齊）：地圖上。

師： 對！在繪制地圖或繪制一些建筑和場所的平面圖時要用到比例尺。我們學校足球場長100米、寬70米，如果要在本子上畫出足球場的平面圖，應該用1比幾的比例尺？請小組討論。

生24：我們通過計算得出應該用1∶1000的比例尺將操場進行縮小。

師：說說怎么得出了1∶1000這個比例尺的。

生25：先把100米和70米化成以厘米為單位，100米=10000厘米，70米=7000厘米，如果把10000厘米和7000厘米都縮小到它們的[1100]，那么所畫的長就是100厘米，所畫的寬就是70厘米，100厘米和70厘米在本子上都畫不下，就想到了應該把10000厘米和7000厘米都縮小到它們的[11000]，這樣所畫的長和寬分別是10厘米和7厘米，就能在本子上畫得下了，所以應該用1∶1000的比例尺。

師：你們很善于思考和分析問題。我們在選擇比例尺時必須根據實際圖形的邊長和所用圖紙的邊長來確定比例尺的大小，選擇的比例尺算出的圖上距離必須能在圖紙上畫得下。

師：想一想，如果要在本子上繪制山東省的地域版圖，應該按1比幾的比例尺進行縮小？（生答略）

師：到底按1比幾的比例尺進行縮小呢？

師（出示圖1）：從圖中標注的比例尺中，你一眼就看出了什么？（生答略）

師：根據大家說的，當圖上兩點之間的距離是1厘米的時候，代表的實際距離是多少厘米？

生26：8000000厘米。

師：為什么是8000000厘米，怎么不是8000000米呢？

生27：因為比的前項和后項單位相同，前項單位是厘米，后項單位也必須是厘米。

師：把8000000厘米化成用千米作單位是多少千米？

生28：80千米。

師：怎么想到是80千米的？

生28：因為1千米=1000米，1米=100厘米，所以1千米=100000厘米，8000000厘米÷100000=80千米。

師：根據圖上1厘米代表實際距離80千米，就可以把這一比例尺轉化成圖的形式（如圖2），它也是比例尺，它叫線段比例尺，這里面的每一小段的長都是1厘米，從這個線段比例尺中，你一眼就能看懂什么？

生29：圖上1厘米代表實際距離80千米。

師：對，從線段比例尺中一眼就能看出圖上1厘米代表的實際距離，這就是線段比例尺的優點。

【評析：有了對數值比例尺的充分認識和理解，線段比例尺對學生來說已不是難點，只是形式上的一種轉化。】

師：帶線段的比例尺叫線段比例尺，那由數字組成的比例尺叫作數值比例尺。

2.探究將圖形放大的比例尺

師：有了把圖形縮小的比例尺，你還能想到什么比例尺？

生1：還有把圖形放大的比例尺 。

師：非常聰明，的確有把圖形放大的比例尺，縮小的比例尺前項是1，放大的比例尺呢？

生2：后項是1。

師：說說什么時候會用到放大的比例尺。

生3：繪制一些很小的機器零件的時候。

師：對，一般在繪制一些微小的、精密的零件結構圖時，為了讓工人能看清楚零件的內部結構，要用到放大的比例尺來把零件放大畫出來。比如圖4就是把一個零件放大后畫出來的結構圖，這幅圖的比例尺是5∶1。看到這個比例尺你立刻就知道什么了？（生答略）

三、課堂回顧，總結提升（略）

四、實踐應用，拓展延伸（略）

【反思】

本節課以核心問題為引領，讓學生在解決問題中經歷了一個自主建構概念、自主理解概念本質內涵的過程，在這個過程中學生對比例尺的概念有了一個全面的、深層次的認識和理解，具體表現在以下兩點：

一、經歷比例尺產生和形成的過程，認識比例尺的本質屬性

從本質屬性上講，比例尺就是一個標準，是一個將圖形進行縮小或擴大的標準。為了讓學生認識到這一點，教師提出了一個引領性的探究問題：“怎么縮小才能不改變這個長方形的形狀？”這一問題就把學生的思維指向了比例尺的發明和創造，指向了將圖形縮小的標準。學生經過思考初步得出“長縮短到原來的[12]，寬也要縮短到原來[12];長縮短到原來的[13]，寬也要縮短到原來[13]……”至此，學生初步感知到長和寬縮短的標準必須相同，圖形的形狀才不會改變。在引導學生把分數化成比，揭示比例尺的概念后，教師又提出問題：“比例尺既然是一個比，為什么還帶個‘尺字呢？”這一問題就讓學生對比例尺是一個“標準”的認識明晰和深刻了：將實際圖形所有的邊長都按照同一個比進行縮短，所有邊縮短的標準就都相同了，這樣圖形各邊之間的關系就不會改變，圖形的形狀也就不會發生改變了，圖形縮小或擴大后的形狀不發生改變才能方便人們進行測量、計算和解決問題，這正是比例尺作為一個標準的價值所在。

二、經歷比例尺意義的探究過程，感悟比例尺的本質內涵

這節課引導學生探究了比例尺兩方面的本質內涵：

內涵之一：比例尺表示的是圖上距離和實際距離之間的關系。

為了讓學生理解比例尺表示的是一種關系，首先引導學生“創造”出比例尺的雛形——把長和寬都縮短到原來的[12]或[13]或[14]，這時的[12]、[13]、[14]都是比例尺的雛形，在此基礎上讓學生思考“怎么才能讓人知道這些縮小的圖形是把原圖形怎么縮小后畫出來的？”。學生思考得出：如果在圖中標注[12]、[13]、[14]這樣的分數，很容易讓人誤認為是個數，不容易看出所畫圖形與實際圖形之間的關系，只有轉化成比的形式后標注在縮小的圖形中，才能讓人清楚地看出所畫圖形與實際圖形之間的關系。至此，學生就初步體會到了比例尺表示的是所畫圖形與實際圖形之間的關系。接下來，在得出比例尺的概念，學生發現了得出的比例尺前項都是1之后，教師再讓學生思考“比例尺的前項是1有什么好處”，學生就能深刻體會到比例尺所表示的關系是“圖上距離是實際距離的幾分之一，實際距離是圖上距離的多少倍”。

內涵之二：比例尺所表示的比是所畫的圖和實際的圖中相對應的任意兩點間距離的比。

如果僅僅讓學生認識比例尺表示的關系是所畫圖形與實際圖形的邊之間的關系，那學生對比例尺意義的理解是不夠全面的。為了讓學生深刻理解比例尺的意義，教師借助1∶2這個比，“逼迫”學生充分思考1∶2是誰和誰的比，學生通過思考和驗證，最終認識到所畫長方形中任意兩點之間的距離與實際長方形中相對應的兩點之間距離的比都是1∶2。這樣學生就對比例尺的本質意義有了透徹的理解。

三、經歷選擇確定比例尺大小的過程，深化對比例尺意義的認識和理解

在充分理解比例尺意義和內涵的基礎上，教師提出“如果讓你在本子上畫出長100米、寬70米的足球場的平面圖，應該用1比幾的比例尺？”，這一富有挑戰性的問題激起了學生的探究熱情。學生通過分析得出要在圖紙上畫得下圖形，就必須根據實際圖形的邊長和所用圖紙的邊長這兩個重要因素來確定比例尺的大小。這是一個應用比例尺概念的過程，學生不僅學會聯系實際選擇和確定大小合適的比例尺，同時在運用概念解決問題的過程中再一次深化了理解。

弗賴登塔爾說：“學習數學的唯一正確的方法是實行‘再創造，也就是由學生本人把要學的東西，自己去發現或創造出來。”只有這樣，學生對知識的認識和理解才會更加深刻。整節課上，教師不暗示、不牽引，所有的問題和知識都讓學生自己去探究和發現，教師在其中只是一個參與者和關鍵處的點撥者。通過解決一個個富有挑戰性的問題，學生對概念的理解不斷深化，學生的思維也在不斷向縱深處發展，智慧和能力也得到了有效的促進和提升。“在做數學中學數學”，唯有此，數學課堂才會充滿生機和活力。

（責編 金 鈴）