關(guān)聯(lián)代數(shù)上Lie中心化子的刻畫

周 斯 名

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 吉林 長(zhǎng)春 130000)

0 引言

關(guān)于Lie中心化子及其等價(jià)形式的研究一直深受研究人員的關(guān)注.對(duì)于任意環(huán)R，以及線性映射φ：R→R，如果滿足對(duì)任意的x,y∈R，都有φ(xyx)=xφ(y)x,文獻(xiàn)[1]證明了φ是中心化子.設(shè)U是可交換環(huán)R上的三角代數(shù)，對(duì)任意的x,y∈R以及線性映射φ:U→U,當(dāng)xy=0時(shí),滿足φ([x,y])=[φ(x),y]=[x,φ(y)],則存在a∈Z(U)及線性映射τ∶U→Z(U),使得對(duì)任意x∈U,文獻(xiàn)[2]證明了φ(x)=ax+τ(x),其中τ作用在滿足xy=0的交換子[x,y]為零.如果存在正整數(shù)m，n使得(m+n)φ([A,B])=m[φ(A),B]+n[A,φ(B)]對(duì)所有A,B∈B(X)成立，則存在λ∈F及在換位子為零的可加映射h∶B(X)→F使得對(duì)任意A∈B(X),文獻(xiàn)[3]證明了φ(A)=λA+h(A)I.相關(guān)結(jié)論見文獻(xiàn)[4-9].受上述結(jié)論的啟發(fā)，本文刻畫關(guān)聯(lián)代數(shù)I(X,R)上中心化子的表達(dá)形式.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1.1設(shè)R是環(huán)或代數(shù).如果一個(gè)可加(線性)映射φ∶R→R滿足對(duì)任意A,B∈R,有φ(AB)=φ(A)B(φ(AB)=Aφ(B)),則稱φ是左(右)中心化子;若φ既是左中心化子又是右中心化子,稱φ是中心化子.

定義1.2設(shè)R是環(huán)或代數(shù).如果一個(gè)可加(線性)映射φ∶R→R滿足對(duì)任意A,B∈R,有φ([A,B])=[φ(A),B]=[A,φ(B)],則稱φ是Lie中心化子.

關(guān)聯(lián)代數(shù)的概念最早由Ward[12]引出，之后人們對(duì)關(guān)聯(lián)代數(shù)上的映射進(jìn)行了研究(參考文獻(xiàn)[13-22]).

定義1.3若集合X中的二元關(guān)系≤滿足以下兩個(gè)條件：

(1)?x∈X有x≤x,

(2)?x,y,z∈X,若有x≤y和y≤z?x≤z,

則稱X是一個(gè)預(yù)序集，記作(X,≤).

定義1.4取預(yù)序集X中的任意兩個(gè)元素x、z,區(qū)間[x,z]定義為{y∈X|x≤y≤z}.若預(yù)序集X中的所有區(qū)間都是有限的，則稱X是局部有限預(yù)序集.

定義1.5設(shè)R是含單位元的交換環(huán)(X,≤)是一個(gè)局部有限預(yù)序集，即≤滿足自反性、傳遞性對(duì)任意的x,y∈X,且x≤y，至多存在有限個(gè)元素z∈X滿足x≤z≤y，由此可在R上定義關(guān)于x的關(guān)聯(lián)代數(shù)I(X,R)∶={f∶X×X→R|f(x,y)=0,若x≤y不成立}.

代數(shù)運(yùn)算如下：

其中乘積fg在函數(shù)論中被稱為卷積.

引理1.1若δ[16]滿足δ(x,y)=δxy，x≤y其中δxy∈{0，1}是Kronecker符號(hào)……