撒克遜碗在液體中下沉運動的理論與實驗研究

◇咸陽師范學院物理與電子工程學院 李 君 華雪俠 邱少琴 張妮妮 張凱峰 高 燕

本文利用Tracker軟件的自動追蹤功能，對撒克遜碗在液體中下沉運動進行分析，得到撒克遜碗運動的數據及圖像。在考慮粘性力與突擴管道的流動損失的情況下，從浮力，流動阻力，流體中黏性力等方面對撒克遜碗分析受力，在用孔口出流，伯努力方程物理關系構成可解的運動微分方程組分析研究撒克遜碗下沉運動原理，利用Tracker軟件捕捉到的數據，通過控制變量法進行定量分析撒克遜碗下沉時間的影響因素，與理論分析計算出來的數據進行對比分析，從而給出具體求解不同撒克遜碗在液體中的下沉時間。

一個底部有洞的碗放在水中會下沉，撒克遜人用這個裝置來計時，所以底部有洞的碗稱為撒克遜碗。撒克遜碗在液體中下沉運動可以看作豎直方向的阻尼振動，在考慮粘性力與突擴管道的流動損失的情況下，通過對撒克遜碗在液體下沉運動的受力分析以及撒克遜碗小洞的伯努利方程流動損失修正進行分析，列出撒克遜碗在液體下沉的運動方程，并且通過實驗的初始條件進行MATLAB數值求解得出撒克遜碗下沉時間及運動軌跡。在利用Tracker 軟件通過建立坐標軸、定標桿，結合形象直觀的圖像、表格進行定量分析準確地追蹤撒克遜碗在液體中下沉運動中的位置，并得到其運動的相關數據。對比分析理論數據與實驗數據分析理論計算得可靠性，從而具體求解不同撒克遜碗在液體中的下沉時間。

1 撒克遜碗下沉過程的實驗原理分析

以最理想的狀態分析。假設水槽足夠大，撒克遜碗進行下沉的過程中，水面高度不發生變化。流體在撒克遜碗小洞中運動狀態忽略，以撒克遜碗小洞上方的速度為洞中水流速。假設撒克遜碗底面的水流速為0，局部損失為靜壓下的。撒克遜碗質心與洞的位置都集中在碗中心，入水時撒克遜碗與水面無傾。

1.1 撒克遜碗進入液體的的運動狀態分析[1-2]

撒克遜碗的小洞上下受壓差作用力，使液體不斷壓入撒克遜碗中，壁面附近的流體受粘性作用不斷減速，無粘核心區的不斷加速度。這個小孔進水運動狀態與速度形式比較復雜。但對于不可壓流體，等截面，可知任一截面上的平均流速度不變。

液體進小洞上方運動形式，如圖1所示，一側先進水受一個力矩作用下傾斜，在重力作用下另一側在進水，從而進入以上以下的周期運動下沉。

圖1 液體進孔上方運動形式圖

當碗完全進入水后，由于撒克遜碗本身的重力影響下，進水液面高度永遠小于液面高度，水最后會灌入撒克遜碗中，使撒克遜碗的下落的速度更大。

1.2 撒克遜碗進入液體的條件

撒克遜碗在液體中的模型及參數以及下沉運動過程圖如圖2和圖 3所示。

圖2 撒克遜碗模型參數圖

圖3 撒克遜碗在液體中下沉運動原理圖

撒克遜碗能否在液體中下沉運動取訣于撒克遜碗的重力能否大于小洞所產生表面張力與液體浮力，撒克遜碗的重力大于時，撒克遜碗進行下沉運動，撒克遜碗的重力小于時，撒克遜碗在液體表面懸浮不發生運動。

1.3 碗水中下沉撒克遜過程力學運動模型

首先對撒克遜碗受力分析以撒克遜碗為坐標系，對撒克遜碗進行受力分析，以豎直向下為正方向設撒克遜碗在液面速度，底部在液面加速度

由牛頓第二定律可得：

構建速度微分方程，設撒克遜碗底部在進水液面速度為由流體連續方程

由假設可知碗底下方的水靜止的，流速為0，使用符合伯努利方程可得：

在緩慢下落的前提下，碗的下沉加速度遠遠小于重力加速度得：

突擴管道的流動損失：當流體從小尺寸管道突然進入大尺寸的管道時，會發生突變式分離，進而產生大量的損失[2]。

可得撒克遜碗下沉運動微分方程組為：

然后利用MATLAB軟件進行數值求解。

在第2部分數據分析中通過解微分方程組，求解出撒克遜碗的運動狀態與碗中的水的運動狀態，并與實驗作對比。

2 實驗操作及數據處理

為了方便捕捉的撒克遜碗在液體中下沉運動，在撒克遜碗下端部位用馬克筆畫畫上黑點作為質點對象。將撒克遜碗從入液體高度位置平衡釋放，讓撒克遜碗開始自由的做下沉運動，拍攝視頻。將拍攝的視頻導入Tracker，建立適當的坐標軸，選取合適的參照物，確定水面深度為定標桿長度，本實驗以撒克遜碗自身為參照物，設置定標桿長度為0.48m。創建用馬克筆畫畫上黑點作為質點，在視頻中確定好質點對象，點擊搜索，軟件將自動搜索質點對象運動過程的位置時間圖像和速度時間圖像，并描繪相應的圖像，如圖4、圖5、圖6、圖7。

圖4 時位移時間 h-t 圖

圖5 時位移時間 H-t圖

圖6 時速度時間v-t圖

圖7 時速度時間v-t圖

本文通過控制變量法由多個不同大小的撒克遜碗進行初步實驗，我們發現對撒克遜碗下沉時間的影響因素為撒克遜碗底部半徑，撒克遜碗底部孔半徑，撒克遜碗高度，撒克遜碗質量。

（1）控制其他條件不變，改變碗底部孔半徑大小，如圖8所示。在質量為66 g，高度為4.8 cm，底部半徑為4.35cm(R)的撒克遜碗中進行實驗可得實驗數據，再由數值求解理論數據為：

圖8 不同撒克遜碗底部孔半徑

（4）在其他條件相同下，改變撒克遜碗質量，如表4所示是在高度為8.98 cm，底部孔半徑為r=0.77 cm，底部半徑為R=4.35 cm的撒克遜碗中進行實驗可得實驗數據，再由數值求解理論數據為：

表4 不同撒克遜碗質量下沉與實驗時間理論時間表

由數據分析圖9和表1可看出來對于不同孔半徑的碗的波動曲線不同，運動的行式與阻尼運動行式相近。對于孔半徑小的，碗底半徑大的所產生的振動次數比較多，下沉的也比較慢；對于孔半徑大的，碗底半徑小的所產生的振動次比較少，下沉快。隨著碗的底部孔的變大，碗下落時間逐漸變小，隨著孔的變大振動的次數不斷的變少。

圖9 不同孔半徑下沉曲線對比圖

表1 不同撒克遜碗底部孔半徑與下沉實驗時間理論時間表

（2）控制其他條件不變，改變撒克遜碗底部半徑R。在質量為73 g，底部孔半徑R為0.3 cm，高度為4.9 cm的撒克遜碗中進行實驗可得實驗數據，在由數值求解理論數據如表2和圖10為：

表2 不同撒克遜碗底部半徑與下沉實驗時間理論時間表

圖10 碗底部半徑半徑不同的下沉曲線對比圖

隨著碗的底部面積變大，碗下落時間逐漸變長。當面積達到一定時，碗無法進入水中，在水表浮著，隨著底部半徑的變大振動的次數不斷的變多。

（3）其他條件相同下，控制撒克遜碗高度不同。在質量為60.3 g，底部孔半徑為0.38cm(R)，底部半徑為3.15cm(R)的撒克遜碗中進行實驗可得實驗數據，再由數值求解理論數據如表3和隨著的高度變大，碗下落時間逐漸變長。圖11所示：

圖11 撒克遜碗高度8.24；9.64；13.38cm下沉曲線對比圖

表3 不同撒克遜碗高度下沉與實驗時間理論時間表

由于改變質量比較困難，實驗數據比較不精確沒有呈現出來，但觀察可得隨著質量的變大，碗下落時間逐漸變短，理論數據也是如此反應的。

3 結論

綜上所述，我們從撒克遜碗在液體下沉運動的受力分析與撒克遜碗小洞的伯努利方程流動損失修正入手，建立起了物理意義明顯的理論方程，通過數值模擬和相關實驗驗證了方程組式的正確性，發現對撒克遜碗下沉時間的影響因素之間的關系，分析了隨著孔的變大振動的次數不斷的變少，隨著底部半徑的變大振動的次數不斷的變多等各各因素對下沉曲線的影響，并且可以計算出不同撒克遜碗下沉時間的確定數值。但由于撒克遜碗在液體下沉運動系統的復雜性，我們寄希望于未來可以更好的算法解決這個技術問題。