新高考視域下全國卷等差數列分析及備考建議

陳煥濤

[摘? 要] 等差數列是高中數學的重要內容之一，高考全國卷等差數列是必考內容，分析、研究高考全國卷等差數列內容對高考備考具有重要意義.文章主要通過對比分析近五年全國卷等差數列考點（包括核心考點歸納、題型分布、考點分布、難度分析），分析等差數列考查目標、典型考題，總結命題的一般規律，最后給出備考建議，為新一輪復習備考提供參考.

[關鍵詞] 新高考;全國卷;等差數列;分析;備考建議

等差數列是高中數學的重要內容之一，承載著培育學生個體發展和適應社會進步所必需的數學運算、邏輯推理、數學抽象等核心素養的重要作用. 新課標全國卷重視對等差數列的定義、基本性質、通項公式、前n項和公式等基礎知識的考查，基于等差數列考查裂項相消法、錯位相減法在求數列前n項和中的應用;考查方式相對固定，重點突出對等差數列定義的理解和通項公式及前n項和公式的運用. 文章基于近五年新課標全國卷等差數列的考點對比分析，總結命題的一般規律，為新一輪復習備考提供參考.

[?]近五年全國卷等差數列考點對比分析

1. 核心考點歸納

新課標全國卷對等差數列相關知識點的考查主要集中于通項公式和前n項和公式，基于等差數列定義研究數列的通項公式，再根據等差數列的基本性質處理數列中項與項之間的關系，最后利用前n項和公式研究某一項或是某幾項的和. 考查頻率很高，幾乎每年必考，與文理科沒有相關性.

2. 題型分布

等差數列在全國卷中多以選擇題的形式出現，基于等差數列的基本性質重點考查學生對通項公式和前n項和公式的理解與掌握情況. 如果以客觀題的形式出現，必然會出現兩個難度有明顯差異的客觀題，可能都是選擇題，也有可能是一個選擇題和一個填空題，分值固定為10分，選擇題多分布在前8題，屬于基礎題，填空題多出現在15題或者16題，屬于中等難度偏上的題目;如果以解答題（新高考解答題必考）的形式出現，一般出現在前3題的位置，分值固定為10或12分，不論是文科還是理科，這是新課標高考近五年考查數列知識點所遵循的規律.

3. 考點分布

選擇題一般只考查單一知識點，以等差數列的基本性質或通項公式為主;解答題通常設置兩個問題，第一問重點考查等差數列的定義及通項公式，第二問重點考查求和公式，往往與等比數列融合構造新數列，考查利用錯位相減法、裂項相消法、分組求和法計算數列的前n項和. 將等差數列隱藏于遞推關系中，考查學生在研究數列遞推關系的過程中發現并識別等差數列，從而借助數列的通項公式與前n項和公式解決一些實際問題，遞推關系一般只局限于最基本的形式，難度不會太大，重在突出思想性和方法性.

4. 難度分析

新課標全國卷對等差數列相關知識點的考查形式單一，突出對基礎知識與基本技能的考查，為發展學生數學抽象、邏輯推理及數學運算核心素養服務，整體難度不大;部分在知識交匯點處命題或以數列為背景的創新題難度相對較大，屬于客觀題的壓軸題或是次壓軸題，具有一定的選拔功能，得分率普遍不高且分值比重較小.

[?]近五年全國卷等差數列考查目標對比分析

1. 考查內容穩定

從近五年課標全國卷等差數列試題看，等差數列的試題考查目標和涉及的內容近5年幾乎沒有變化，而且文理科要求也基本一致，這與文理不分科趨勢一致，試題難度也比較穩定.

2. 試題凸顯考查素養

尤其這兩年的等差數列試題，問題呈現綜合化、情景化，還以結構不良試題形式呈現，與中國高考體系的發展要求吻合，凸顯素養立意，具有很好的選拔和引導教學的作用.

[?]典型考題分析

1. 考查單一知識點

例1：（2020全國2卷文14）記S為等差數列{a}的前n項和.若a=-2，a+a=2，則S=________.

例2：（2021全國2卷文18）記S為數列{a}的前n項和，已知a>0，a=3a，且數列{}是等差數列，證明：{a}是等差數列.

命題立意：例1與例2都單一考查等差數列內容，例1題設條件給出數列的某幾項的關系，突出基本量的求解和方程思想，最后利用公式求前10項的和. 例2已知數列{}是等差數列，再根據a與S的基本關系，結合等差數列定義，經過運算推理完成證明，試題難度中等，但試題的求解過程需要對等差數列概念本質的理解，邏輯推理、數學抽象、數學運算等核心素養的要求較高.

2. 綜合考查通項公式與前n項和公式

例3：（2018全國1卷理4）設S為等差數列{a}的前n項和，若3S3=S2+S4，a1=2，則a=（? ）

A. -12 B. -10 C. 10 D. 12

例4：（2019全國1卷理9）記S為等差數列{a}的前n項和，已知S=0，a=5，則（? ）

A. a=2n-5 B. a=3n-10

C. S=2n2-8n D. S=n2-2n

例5：（2019全國3卷理14）記S為等差數列{a}的前n項和，若a≠0，a=3a，則=________.

例6：（2021全國新高考1.17）已知數列{a}滿足a=1，a=

a+1，n為奇數，

a+2，n為偶數.

（1）記b=a，寫出b，b，并求數列{b}的通項公式;（2）求{a}的前20項和.

例7：（2021全國2卷理18）已知數列{a}的各項均為正數，記S為{a}的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立. ①數列{a}是等差數列：②數列{}是等差數列;③a=3a. 注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

命題立意：例3、例4、例5考查等差數列通項公式與前n項和公式的綜合應用，例3、例4主要是根據題意運用相關公式列有關基本量的方程，進而得出通項公式、前n項和公式，這兩題都屬于簡單題;例5主要利用通項公式化簡條件，用前n項和公式轉化問題并將化簡后的條件代入即可得出答案，屬于簡單題;例6結合奇偶項給出遞推關系，需要分析、推理后得出等差數列，有一定的靈活性，真正體現對數學素養的考查，有很好的區分度，屬于中檔題;例7更是以結構不良試題形式出現，主要考查等差數列的概念以及通項公式和a與S的基本關系，本題的求解需要學生掌握數列的本質，熟練數列基本知識，具備一定的推理論證能力和解題策略等，屬于中檔題.

3. 等差數列與等比數列的簡單綜合

例8：（2017新課標3卷理9）等差數列{a}的首項為1，公差不為0. 若a，a，a成等比數列，則{a}前6項的和為（? ）

A. -24 B. -3 C. 3 D. 8

例9：（2017新課標2卷文17）已知等差數列{a}的前n項和為S，等比數列{b}的前n項和為T，a=-1，b=1，a+b=2.

（1）若a+b=5，求{b}的通項公式;

（2）若T=21，求S.

例10：（2019年全國2卷理19）已知數列{a}和{b}滿足a=1，b=0，4a=3a-b+4，4b=3b-a-4. （1）證明：{a+b}是等比數列，{a-b}是等差數列;（2）求{a}和{b}的通項公式.

命題立意：例8、例9綜合考查等差數列與等比數列的基礎知識，題目涉及定義、基本性質、通項公式和前n項和公式，考查學生對數列基礎知識的理解和掌握情況，題目屬于簡單題;例10題設已知兩個遞推關系式，需要通過分析、推理完成等差、等比的證明，進而求得通項公式，有一定的綜合性，該題求解對分析能力、解決問題能力，邏輯推理、數學抽象、數學運算等素養要求較高，屬于中檔題.

4. 基于等差數列考查裂項相消法和錯位相減法

例11：（2017新課標2卷理15）等差數列{a}的前n項和為S，a=3，S=10，則=________.

例12：（2020全國1卷理17）設{a}是公比不為1的等比數列，a為a，a的等差中項. （1）求{a}的公比;（2）若a=1，求數列{na}的前n項和.

例13：（2021全國1卷文19）設{a}是首項為1的等比數列，數列{b}滿足b=. 已知a，3a，9a成等差數列.

（1）求{a}和{b}的通項公式;（2）記S和T分別為{a}和{b}的前n項和，證明：T<.

命題立意：基于等差數列考查一類新數列求前n項和的一般方法，重點考查學生的數學抽象和數學運算核心素養;裂項相消法是求解一類由不同等差數列構造而成的新數列前n項和的重要思想方法;錯位相減法是求解一類由等差數列乘以等比數列構造而成的新數列前n項和的重要思想方法，也是等比數列前n項和公式的推導方法之一. 兩種思想方法對優化計算和培養學生探究并解決實際問題的能力具有重要意義.

5. 考查等差數列與函數、不等式等綜合應用

例14：（2018全國2卷文理17）記S為等差數列{a}的前n項和，已知a=-7，S=-15. （1）求{a}的通項公式;（2）求S，并求S的最小值.

命題立意：例14考查利用等差數列的首項與前n項和公式求解數列的基本量，進而考查前n項和的最值問題，滲透數列與函數的邏輯關系，類比函數的單調性研究數列的增減性，從而解決前n項和的最值問題;例13的第（2）問將數列與不等式融合在一起，體現綜合性，意在考查學生的數學抽象和邏輯推理核心素養，突出轉化與化歸的數學思想，使得題目更具思想性和方法性.

[?]備考建議

1. 夯實雙基，控制難度

等差數列客觀題主要考查等差數列的定義、基本公式及其基本性質，突出了“小、巧、活”等特點;解答題主要考查數列的運算，即用有關公式和性質求解基本量或通過簡單遞推式求通項，一般出現在第17題，多以簡單題和中檔題的形式呈現，在等差數列與函數、不等式交匯處命制的綜合題難度也不大，重點對基礎知識、基本技能與基本思想方法的考查.

2. 結合高考題研究課本例題及習題

新課標高考全國卷注重對基礎知識與基本技能的考查且試題難度整體不大，對等差數列相關知識點的復習備考要重點關注等差數列的定義、基本性質、通項公式、前n項和公式等核心考點，吃透概念本質，會推導通項公式和前n項和公式，能基于實際問題情境利用公式和性質解決實際問題. 回歸課本對開展等差數列的復習備考具有重要意義，對課本典型例題或是習題結合高考真題進行深度研究與二次開發是高考一輪復習備考的重要方式，給出一個案例供參考.

題源（人教A版必修5 P例3）已知數列{a}的通項公式為a=pn+q，其中p，q為常數，那么這個數列一定是等差數列嗎？

設計意圖：一輪復習時學生已經了解了等差數列的定義，會根據首項和公差求通項公式，但是對等差數列的證明很多學生只是停留在了解的認知水平，還達不到考綱要求，解決這個課本例題一方面可以幫助學生經歷等差數列的證明過程，另一方面加深對等差數列通項公式的認識，清楚地認識到p為公差，p+q為首項，也經歷了一個二級結論的產生過程，為后期引導學生總結歸納數學問題的特征與結論奠定認知基礎.

變式1：（情境遷移）（人教A版必修5 P例3）已知數列{a}的前n項和為S=n2+，求這個數列的通項公式.這個數列是等差數列嗎？

變式2：（改變條件）已知數列{a}的前n項和為S=n2++1，求這個數列的通項公式.這個數列是等差數列嗎？

變式3：（總結歸納）已知數列{a}的前n項和為S=pn2+qn+r，其中p，q，r為常數，且p≠0，數列{a}在何種情況下是等差數列？

設計意圖：變式1、2、3在于引導學生基于元認知水平挖掘前n項和之間的邏輯關系，總結一般方法;經歷問題解決的過程，總結問題解決活動經驗，挖掘數學問題的本質.

變式4：（改變條件）已知數列{a}是等差數列，請證明2a=a+a=a+a.

變式5：（一般化）已知數列{a}是等差數列，2a=a+a（n>1）是否成立？2a=a+a（n>k>0）是否成立？據此你能得出什么結論.

設計意圖：變式4、5意在引導學生利用等差數列通項公式證明等式成立，體會并總結等差數列的基本性質，在引導學生利用已有知識經驗解決實際問題的過程中還原知識的發生與發展過程，對等差數列相關知識點的復習要從機械的解題訓練中解脫出來，注重變式教學挖掘問題的本質，發展學生的數學抽象和邏輯推理核心素養.