基于數學建模的高中數學教學策略探究

張芝悅

[摘? 要] 數學建模是深化數學概念、原理、定理等知識的理解和應用數學知識解決實際情境問題的基本手段. 文章在分析基于數學建模的高中數學教學原則的基礎上，以《三角函數的應用》為例探究了基于數學建模的高中數學教學策略.

[關鍵詞] 數學建模;高中數學;策略

高中數學教學不僅要注重相關概念和數學方法的深度理解，培養學生從日常生活中發現問題、分析問題的意識，而且也要理論聯系實際，有效提高學生應用所學知識解決實際問題的能力. 而作為高中學生必備的數學核心素養之一，數學建模素養不僅能夠培養學生應用數學語言表達實際問題的能力，而且也能反過來利用模型思想鞏固所學知識，深化相關概念、原理、定理等知識的理解. 因此，以提高數學建模素養為核心，探究高中數學教學方式具有重要的意義.

[?]基于數學建模的高中數學教學原則

1. 激發興趣原則

在高中數學建模素養培養中，教師應最大限度地讓學生了解數學建模的魅力，使學生具有強烈的意愿自主地開展探究性學習. 例如，在教學《三角函數的應用》時，教師請學生扮演船長，并詢問“船長”面對如下問題時該如何處理：“當貨船航行到九江港時，你最想獲得哪方面信息”“如何調查港口水深與日期時間的關系”“面對貨船被擱淺的風險，如何選擇合理的港口進出時間”，由此激發學生探究的興趣，促使學生嘗試解決實際問題中所蘊含的數學信息.

2. 聯系實際原則

為了更加真實地刻畫現實世界是高中數學建模的核心，因此，在設計和選擇數學建模主題時，教師應從學生熟悉的日常生活場景著手，有效促使學生感受數學建模的真實性. 同時，教師還應及時引導學生發現問題，求解和驗證所建立的數學模型，從而將教學中所學習到的知識與實際生活相聯系. 例如，貨船吃水深度是實際生活中經常所聽到的概念，因此，教師應結合航行安全問題，設計了“實際水深≥吃水深度+安全間隙”這一貨船進出港條件（詳見教學策略部分問題（7）），并將其抽象轉化為2.5sin+5≥4+1.5三角不等式模型，引導學生利用數形結合思想得出問題求解范圍，如圖1所示，并針對三角不等式存在多個解這個實際，引導學生探討船體被擱淺后，即使水位再次上漲也面臨被擱淺的實際風險，從而合理取舍，獲得問題答案.

3. 適應發展原則

數學建模案例的選取不能為了形式而選取案例，在案例具體選擇中，除了要滿足學生的心理發展特征和智力發展水平外，還應遵循因人而異、適時發展的原則，在合理的教學階段選擇適當的現實問題. 例如，對于初次接觸數學建模思想的學生，教師應重點培養學生應用數學知識描述現實問題的能力，注重將教材中的例題或習題進行改編;對于已經具備數學建模意識的學生，教師應將教學的重點放置在真實情景中抽象出數學概念和數學模型的能力;對于已經熟悉建模過程的較高階段的學生，教師應選擇較為完整的實際問題，及時引導學生經歷數據收集、模型建立、模型驗證、模型對比等過程，不斷提升學生的數學建模素養.

[?]基于數學建模的高中數學教學策略

1. 創設問題情境，培養數學化能力

數學核心素養的提高必須借助數學化過程，并且缺乏問題情境的教學是空洞的，因此，教師應從學生實際生活出發，結合教學目標和所授內容，創設學生感興趣的問題情境，促使學生找出現實情境與數學知識之間的規律與聯系，并從數學的視角出發，應用數學知識和方法將其轉化為數學問題加以分析.

例如，在組織學生學習完三角函數知識時，教師應根據所授內容，利用視頻播放九江港碼頭漲潮時貨船駛入航道停靠碼頭進行裝卸，落潮時及時返回的生活場景. 在此基礎上，設計如下問題串要求學生應用已學知識發現問題情境中所蘊藏的數學規律.

（1）貨船為什么在漲潮時駛入航道，為什么在落潮時返回？

（2）假如你就是船長，你最想了解該港口哪方面的信息？

（3）如果讓你調查港口水深與日期時間的關系，你會采用哪些方式？

（4）假如表1所反饋的是某一日九江港時間與水深之間關系，你能從中獲取哪些有用信息？

2. 滲透建模思想，促進實踐應用能力

思維品質與關鍵能力是數學核心素養的本質，而模型思想可以有效幫助學生理解數學概念、原理的本質與規律，解決現實生活中的某一類問題，并且，數學的實踐應用能力正好體現了數學建模素養的關鍵能力，因此，教師應按照“生活問題—建立模型—求解模型—解釋結果”的思路，不斷滲透建模思想和方法，促使學生有效體驗完整的數學建模過程. 值得強調的是，由于課時的有限性，教師應將數據的收集等過程最大限度地留置在課外交流合作中完成.

例如，在上述問題情境創設和實際問題數學化之后，教師應及時通過如下教學方式滲透建模思想與方法.

（5）我們學習過的函數模型有哪些，能否應用相關數學模型描述九江港水深與時間的變化關系？

（6）在直角坐標系中畫出以上數據的散點圖，并計算相關函數模型.

3. 注重回顧反思，提升創造遷移能力

數學的學習是理解與反思的過程，學生有了疑惑才能主動深入地探究和思考，并且數學建模還是一個循序漸進的過程，因此，教師應及時引導學生反思建模過程，鼓勵學生大膽地提出自己的猜想和疑惑，啟發學生提出新的問題.? 同時，教師還應幫助學生通過思維導圖等方式組織學生及時進行歸納總結，有效培養學生的知識遷移能力. 仍以上述案例教學為例，在上述相關函數模型獲得之后，為了研究的深入，教師還應設計如下問題及時引導學生不斷回顧反思，促進學生數學建模素養的提高.

（7）由于每艘貨船的吃水深度是不同的，并且根據安全規定船只航行時其船底與河道之間的距離必須大于1.5米，若有一艘吃水為4米的貨船，試問該船什么時間才能駛入港口，在港口最多能停留多長時間才能不被擱淺？

（8）已知某一貨船14：00開始裝卸貨物，若吃水深度以0.3 m/h的速度下降，并且其他條件同上述問題（7），為了防止該船被擱淺，試問這艘貨船必須在何時之前停止裝卸駛向更深水域？

4. 多元化過程性評價，提高合作探究能力

簡單的應用題測試無法激發學生數學建模探究的興趣，也無法在數學建模教學中起到良好的教學效果，并且，學生對同一問題的理解是不同的，因此，教師應摒棄以成績為唯一標準的評價體系，實施多元化和多樣化教學評價，注重學生自評、互評、開放題的測試、小論文等形式，有效掌握數學建模中學生思維品質、關鍵能力以及存在的不足. 特別是對于學生數學建模過程中暫時找不到問題解決思路和方法的學生教師應及時給予鼓勵和指導，幫助其樹立信心;對于學生數學建模過程中呈現出的創造性建議教師應及時給予肯定.

例如，在上述案例中，教師可以從以下幾個方面進行多元化的過程性評價：

①學生討論發言、結果匯報中的表現;②數據收集、分析的方法是否合理;③模型的建立是否符合案例實際;④建模過程中解決困難的機制和辦法;⑤模型反思，或提出新的探究問題;⑥小組合作和計算過程中學生的狀態.

總之，教學活動中，教師應充分發揮學生這一數學建模活動的主體作用，通過創設問題情境、引導學生建立和求解數學模型、貫穿過程性評價、注重回顧反思等策略，有效提升學生的數學化、合作探究、實踐應用等能力.