基于ZMNL的Pareto雜波功率譜仿真改進方法

傅俊滔，陸 宇，劉慶林，何玉潔，桑宏偉，呂 勇

(95859部隊，甘肅酒泉 735018)

0 引言

在復雜環境下，雷達回波中的背景雜波直接影響雷達的工作性能[1-2]，對其特性進行研究具有重要意義。隨著雷達分辨率的提高，雜波模型已經與早期提出的Rayleigh分布等模型[3]不符，K分布和Pareto分布模型的出現，在理論層次和與實際雜波的擬合程度上都更具有優勢[4-5]。

雜波仿真的方法一般有球不變隨機過程(spherically invariant random process, SIRP)法和零記憶非線性變換(zero memory nonlinearity, ZMNL)法兩種[6-7]。Pareto分布的結構變量可以通過倒數變化得到K分布的結構變量[8]，因此Pareto分布的雜波模擬研究可以借鑒K分布的雜波模擬方法。文獻[9]利用SIRP法產生K分布的雜波，優點是其幅度分布能夠獨立控制，但是計算量較大。文獻[10]和文獻[11]采用的是ZMNL法，在生成K分布雜波時需要將形狀參數進行近似處理或者拆分處理。文獻[12]解決了ZMNL法中形狀參數取值受限的問題，利用逆Gamma分布和逆Beta分布的乘積來生成任意形狀參數值的Pareto分布，但是沒有對Pareto分布雜波的功率譜特性進行研究。

海雜波的自相關函數可以表示功率譜特性，一般采用高斯模型進行建模，功率譜呈現出對稱的特點[13-14]。由于實際海雜波的功率譜不一定是對稱的，該方法無法模擬非對稱形狀的雜波功率譜，從而使雜波功率譜的仿真受到了限制。文中針對ZMNL法中功率譜模型受限的問題，在文獻[12]解決了形狀參數取值的基礎上，提出了一種產生功率譜為非對稱形狀的雜波模擬方法，該方法在頻譜泄漏水平滿足要求的前提下，能夠得到非對稱形狀功率譜的Pareto分布雜波。

1 雜波模型及模擬方法

1.1 Pareto分布雜波模型

服從Pareto分布的海雜波X是復合高斯模型，其概率密度函數(probability density function，PDF)可視為結構分量與散斑分量作用的結果，其表達式為[15]：

(1)

其中，pY(y)是結構分量的PDF?？杀硎緸椋?/p>

(2)

式中：Γ(·)為Gamma函數；a為形狀參數，其值決定PDF的形狀；b為尺度參數，其值決定支撐域的起點。

pX|Y(x|y)是散斑分量的PDF，可表示為：

(3)

1.2 ZMNL方法

假設兩個獨立隨機變量z～IG(z;p+q,1)，τ～IBe(τ;p-r,q+r)，那么隨機變量γ=zτ～IG(γ;p-r,1)[12]。其中，p和q為整數，0

(4)

(5)

文獻[12]中沒有對雜波模擬的功率譜特性進行分析，如果依然采用傳統的方法對海雜波的功率譜進行仿真，不僅計算復雜，而且只能得到對稱的功率譜模型。對于實際采集得到的海雜波來說，其功率譜不一定是對稱的，因此，雜波功率譜的模擬存在限制，需要進一步研究。改進的Pareto雜波模擬框圖如圖1所示。

圖1 改進的Pareto分布雜波模擬框圖

2 改進的Pareto雜波模擬方法

為了簡化表達式，設圖1中的p+q為v，2a2為ε，那么圖1中y服從平方根逆Gamma分布，其PDF為：

(6)

假設yi和yj相互獨立，那么y的自相關函數R(yi,yj)為：

(7)

E[y]表達式為：

(8)

令t=ε/y2，代入式(8)可得：

(9)

E[g]表達式為：

(10)

令t=ε/g，代入式(10)可得：

(11)

Ry(τ)為：

(12)

由維納欽欣定理可得，y={y1,y2,…,yN}的功率譜Sy(w)是對Ry(τ)進行傅里葉變換：

(13)

對式(13)進行分析，可得：

(14)

Sy(w)的值可以近似表示為：

(15)

此時，圖1中的輸出γ={γ1,γ2,…,γN}的功率譜Sγ(w)為：

(16)

其中，Sz(w)為圖1中復高斯序列z={z1,z2,…,zN}的功率譜。令K為一個足夠大的系數，那么，可以將式(14)改寫為式(17)：

(17)

當N和K為定值時，式(14)成立的條件是v值需要達到臨界值，并且當v值足夠大后，v值的增加對式(14)的影響很微弱。當v值沒有達到臨界值時，Sγ(w)便不滿足式(16)，式(13)中的第二項便不能忽略不計，功率譜將出現頻譜泄漏的現象。此時，圖1中Sγ(w)為：

Sγ(w)=ASz(w)+B

(18)

式中，A和B分別為：

(19)

(20)

圖2 y序列的自相關估計

當v=2.25，ε=3，理論值由式(12)可得：

(21)

對比圖2中的3個點，可以發現估計值與理論值的大小幾乎相等。因此，可以證明式(10)和式(11)理論推導的正確性。

圖3 仿真數據的功率譜

Sy(0)=(8000-1)×1.97+2.4=15760.43

(22)

通過以上計算可知，假設v值大小恰當，y的功率譜是沖擊響應函數，那么復高斯序列z的功率譜形狀決定了模擬雜波功率譜Sγ(w)的形狀，而復高斯序列z的功率譜形狀是由圖1中的成形濾波器|H(w)|的形狀決定的。因此，只要成形濾波器|H(w)|的形狀不是對稱的，那么模擬雜波功率譜Sγ(w)的形狀就可以是不對稱的。而在設計時，對濾波器|H(w)|的形狀是沒有硬性要求的，所以濾波器|H(w)|在理論上能夠為任意的形狀。

3 仿真性能分析

為了檢驗輸出的功率譜是否具有非對稱性，在MATLAB中進行仿真和驗證。首先給出仿真數據的參數，如表1所示。

表1 仿真參數表

表1中的形狀參數取值為非整數，這是為了區別于傳統的ZMNL法的形狀參數不能為非整數的情況。用MATLAB設計一個功率譜具有非對稱形狀的成形濾波器，這也是最終輸出功率譜期望得到的形狀，其曲線如圖4所示。

圖4 成形濾波器

根據周期圖法，可以生成模擬的輸出功率譜圖像。圖5為形狀參數v1=3.75時，通過成形濾波器的功率譜形狀。

由圖5可知，模擬的輸出功率譜與其相應的成形濾波器在形狀上非常相似，即滿足功率譜不對稱的特點。此外，仿真的功率譜形狀存在一定程度的頻譜泄漏，這是由于式(18)中存在的B項引起的，與理論推導的結論一樣。

圖5 模擬功率譜與成形濾波器1對比

圖6為形狀參數v1=1.05時，通過成形濾波器的功率譜形狀。

圖6 模擬功率譜與成形濾波器2對比

觀察可知，圖6仿真的輸出功率譜存在一定的頻譜泄漏，與其對應的成形濾波器的形狀相似，具有不對稱的特點，與圖5中得出的結論一致。

觀察形狀參數取不同值時通過同一成形濾波器的圖像，即圖5和圖6。對比發現，形狀參數v1=3.75對應圖像的頻譜泄漏程度要低于形狀參數v1=1.05對應圖像的頻譜泄漏程度。這是因為當形狀參數取大值時，式(18)中的B項對輸出功率譜的影響很小。而隨著形狀參數值的減小，B項對輸出功率譜的影響越來越大，造成的頻譜泄漏程度也越來越高，這與前面的理論推導一致。因此，在Pareto雜波模擬的仿真中，形狀參數的取值要合適，而且不能太小，這樣生成的雜波才能既滿足幅度分布，又滿足功率譜非對稱性的要求。

4 結束語

研究了ZMNL方法中Pareto雜波的功率譜仿真問題。得出如下結論：只要形狀參數選擇恰當值，其頻譜泄漏水平在要求的范圍內，那么就能夠生成形狀參數為非整數、功率譜為非對稱形狀的Pareto分布雜波。