對人教版《數學選修2-3》二項分布與超幾何分布的幾點探討

摘 要：超幾何分布和二項分布是人教2003版《數學選修2-3》中兩個重要的離散型隨機變量的分布，教材對該兩個分布的研究主要是分布的認識與應用，由于受教學難度的制約，未對兩個分布的內在聯系與區別做深入的探討。本文從兩個分布期望與方差的計算揭示兩個分布的區別與聯系，旨在加深學生對這兩個分布的認識與理解。

關鍵詞：二項分布;超幾何分布;期望;方差

在人民教育出版社2003課標版《數學選修2-3》的課本中分別介紹了服從超幾何分布（Hyper-Geometric Distribution）與二項分布（Binomial Distribution）兩種離散型隨機變量的概率分布。教材從應用角度構建實例，從具體情境中讓學生認識模型，理解模型所描述的隨機變量的特點，通過模型的理解來解決一些實際問題。課本中對超幾何分布的模型這樣來描述：若有N件產品，其中有M件是廢品，無返回地任意抽取n件，設其中恰有的廢品件數為X，則X服從超幾何分布。而對二項分布模型的描述是舉了射擊問題，通過獨立重復的射擊問題來建立服從二項分布的隨機變量模型。教材沒有對這兩個分布的期望與方差的得出給出明確的說明，也未對兩種分布的聯系與區別加以辨析。本文從這兩個角度對這兩個分布進行再研究。

一、兩個分布的期望與方差

為更好的求解兩個隨機變量的期望與方差，先來看一個引理。

引理：DX=EX2-（EX）2.

）

命題1：如果，那么，，這里。

證明：因為

所以

=np（p+q）n-1=np

由引理得

而

（注：）

所以

。

命題2：如果隨機變量ζ服超幾何分布，且，其中，則，.

證明：（1）期望的證明

1.若n≤M，則X的分布列為：

X 0 1 2 …… k …… n

P …… ……

則

因為，

所以

又

所以

。

2.當n>M，同理可證。

（2）方差的證明

因為

所以

。

二、兩個分布的區別與聯系

從式子特點上來分析，兩種分布的概率密度求取有截然不同方式，表達式也完全不同，但我們知道，若隨機變量服從超幾何分布與二項分布，它們的取值都是取自然數值的離散分布，且從其的概率分布表，也能夠發現在構造上有相似的特點，如：隨機變量X的取值都從0中間不間斷即連續變化到m，m是n和M中的較小值，即，顯然每個值對應概率和M，n，m三個值密切相關……從而可以發現兩種分布之間除了表面形式上的區別外，內豐一定有著密切的聯系。

我們將超幾何分布的概率模型做如下修改：在含有M件是次品的N件產品，任意抽取1件，抽取以后計算其概率，將產品放回，連續的抽取n次。則在這n次中，次品的數量X是服從二項分布的。從而可以看出，要具體描述兩種分布的差別的話，就在于“有”或者“無”的差別，只要將概率模型中的“無”和“有”進行修改，兩種分布在一情境中就可以實現轉化。而其中的關鍵就是“返回”和“不返回”。

例如：某校高一（3）班的元旦晚會設計了一項摸球游戲：在一個口袋中裝有15個紅球、25個白球，這些球只有顏色不同，其他外完全相同。一次從中摸出6個球，摸到5個紅球1個白球就是一等獎，求獲一等獎的概率.顯然本題中摸的球沒有放回，則摸出球中的紅球個數X服從超幾何分布。但是如果將“一次從中摸出6個球”修改改為“摸出一球記下顏色，重新放回后再摸一球，重復5次”，則在5次摸球中摸出球中的紅球個數X將不再服從超幾何分布，而應是服從二項分布。

我們分別按公式來計算這兩種分布所對應的概率：

從上述概率分布表中，我們可以發現兩種分布的概率差別并不大。若將題中的條件擴大為100個紅球，200個白球，則對應的概率分布為

這時我們可以發現兩種分布的概率大小差異進一步縮小。

樣本個數越大超幾何分布和二項分布的對應概率相差就越小。

如果當樣本個數為無窮大時，超幾何分布和二項分布的對應概率就會近似的相等，也就是說從極限的角度，超幾何分布的極限就是二項分布。

三、解題示例

例1：（2012年廣東理）某班50位學生期中考試數學成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區間是：[40，50]，[50，60]，[60，70]，[70，80]，[80，90]，[90，100]。

（I）求圖中x的值;

（II）從成績不低于80分的學生中隨機選取2人，該2人中成績在90分以上（含90分）的人數記為ζ，求ζ得數學期望。

解析：（I）易得x=0.018

（II）從圖表中可以看出，成績大于或等于80分的學生所占的頻率為0.24，成績大于或等于80分的學生人數為12人，成績大于或等于90分的學生人數為3人。由題意可知，ζ的取值為0，1，2.且ζ服從超幾何分布.則。

或者直接計算可得分布列.

，，

則ζ的分布列為

ζ 0 1 2

P

.

參考文獻

[1]人教2003版《數學選修2-3》

作者簡介：歐陽才;湖南省寧鄉市第一高級中學數學特級教師。