在課堂教學中培養數學抽象素養的策略探索

付長虹

摘 要：數學抽象素養是數學六大核心素養的最重要的素養，是指通過對數量關系與空間形式的抽象，體現了能從本質上認識事物特點，表達關系、規律，駕馭核心要素，這也是高端人才的首要素養。本文依據數學抽象活動的三個階段的特點，以“實數”教學為例，從問題情境、圖式結構、信息技術、類比弱抽象、實際建模五個方面，談談在數學課堂上如何培養學生的抽象素養。

關鍵詞：數學抽象素養;數學課堂教學

未來的智能化高科技社會，需要高素養的人才，未來社會的公民既要掌握專業知識技能，還要有維持個人終身發展，和適應社會可持續發展的必備品格和關鍵能力。中學各個學科都在結合學科本質特點，各有側重地培養學生的核心素養。

數學抽象是對圖形、數量及其關系的抽象，從現實世界的事物中抽取出數學的規律、結構、概念、本質，并用數學語言對之予以表征，它是一種數學思維的過程，也是一種非常重要的數學核心素養。數學學科具有很強的抽象性和概括性，是最適合培養學生的抽象素養的，在《普通高中數學課程標準（2017年版）》提出的數學學科六大核心素養中，數學抽象素養居于首位。數學抽象素養是指通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養，或者具備用符號代表事物，用法則揭示事物運動規律，這樣描述出一副事物運動的清晰圖景的能力。數學抽象素養體現了能從本質上認識事物特點，表達關系、規律，駕馭核心要素，這也是高端人才的首要素養。

數學抽象素養體現在：認識數學結構與體系，獲得數學概念和規則，提出數學命題和模型，形成數學方法和思想。數學抽象活動可分為三個階段：約簡階段、符號階段和普適階段。在約簡階段，從具體事物中抽象出數學對象的本質特征;在符號階段，要會用符號、圖示表達出數學對象的本質特征，及在數學知識系統中的位置;在普適階段，在應用數學對象解決問題的過程中，深化對數學對象的內涵與外延的認識，進一步提高抽象能力。在數學課堂教學中，以數學知識的學習為載體，要分階段、講方法地落實數學抽象素養的培養。下面以人教版教材第六章第3節“實數”為例，來談一談落實數學抽象素養的策略。

一、在最近發展區創設數學問題情景，在比較中抽象出概念

數學抽象最基本的方面，是通過對概念的解析構建來獲得對事物本質屬性的認識。對一些問題從具體到一般地抽象，才能得到數學概念，有的概念是從實際事物現象抽象得來的，有的是對數學內部知識進一步抽象得到的，后者是數學發展的必要，在數學概念中占有更大的比重，是培養抽象素養的重要知識載體，對此類概念的學習過程，是培養抽象素養的重要契機。實數概念的學習，即是如此。

本章前兩節，學生已學習了平方根、立方根的概念，接觸到帶根號的數，數的形式豐富了，立足于學生知識結構的最近發展區，本節課一開始，我就創設了一個數學問題情境：

請舉例說說學過哪些類型的數。

學生很有熱情地舉出例子，如：1.37、2、-2、3、、10、π、-π、、、0.3、0、0.434334333…等。

學生舉例比較全面，有小數、分數、整數，有正數、負數，有偶數、奇數，有質數、合數，還有帶根號的數等。

我提出問題：

1.這些數中，哪些是有理數？

2.其他的不是有理數的幾個數，與有理數有什么不同？

對第2個問題，有學生說，其他的不是有理數的幾個數，不能化成整數或分數的形式。

我肯定這樣的回答后，又問：

它們能化成小數形式嗎？與有理數化成小數的形式后，有什么不同？

學生回答：有理數都能化成有限小數或無限循環小數的形式，而其他的不是有理數的幾個數，化成小數形式是無限不循環小數。

此時，我順勢給出無理數的概念：無限不循環小數是無理數，并總結幾種常見的無理數形式，然后給出實數的概念：有理數與無理數統稱為實數。

本例在學生的最近發展區設計數學情境問題，激起學生回答問題的熱情，并自然形成無理數與有理數在本質特征上的比較：1.無理數不能化成分數（整數此時看成分母是1的分數）;2.無理數在小數形式上是無限不循環小數。這兩種回答只是用兩種形式說明同一個本質特點。這個設計在學生最近發展區的問題情境，促使學生很自然地從具體的數的例子中，抽象出無理數的本質特點，形成概念。

二、用圖示方法固著概念，構建認知結構

布爾巴基學派提出的結構主義思想，蜚聲近代數學界，認為數學是研究結構的科學，數學的各種理論之間的關系是可以系統化的。數學每章節的知識相對獨立，但各個知識間又存在著緊密的聯系，根據結構主義思想，能夠通過抽象出這些聯系而建立、描述出知識體系，是學好數學的必經途徑，也是在更高水平上發展抽象素養。

知道概念的來龍去脈，及概念的本質特點后，還要知道此新概念與其他數學對象之間的關系，新概念在知識網絡中的位置，此時，用圖示的方法畫出導圖，能夠強化對概念本質的認識，固著概念，如圖1：

建構主義學習理論認為學習是主動建構的過程，要求學生通過主動感知、消化和改造，將新知識合理地納入到自己的認知結構中，來完善自己的數學認知體系。鑒于此理論，我請學生自己根據實數的有關概念，從實數分類的角度，畫出結構圖，學生畫的圖會有多種，請學生互相學習，交流補充，這個過程，是對概念的更高層次的抽象，將新知納入已有的知識結構，豐富、重組自己的認知結構，這個心理上的“順應”的過程，也是更高層次的抽象過程。

三、用信息技術手段輔助抽象概念的表征

數形結合，是挖掘概念內涵的重要手段，用信息技術手段，可以方便地畫出豐富的、動態的圖形，讓數學結合變得容易、直觀。像研究有理數一樣，我們仍需要用數軸作為工具來研究實數，當在數軸上找出表示無理數的點時，如果只用傳統紙筆方法畫圖，耗時比較長，這時就可以發揮幾何畫板等軟件畫圖的優勢了，請學生用PAD上的幾何畫板類的軟件（如GeoGebraapp）作圖，如圖2，以數軸上的1個單位長度為邊長，做出正方形OABC，畫出對角線OB，再以點O為圓心，以OB為半徑畫弧，與數軸的兩個交點D、E，表示的數就是-、。

在七年級上期有理數的學習中，學生已經知道有理數都可以用數軸上的點來表示，本節課，幾何畫板課件演示，幫助了學生直觀想象出無理數也可以用數軸上的點來表示，數軸上的點有的表示有理數，有的表示無理數，學生就能夠抽象出實數與數軸上的點的一一對應的關系。

四、用類比的方法進行“弱抽象”，探索概念的外延

弱抽象也可以叫做概念“擴張式抽象”，即從原型中選取某一特征（側面）加以抽象，從而獲得比原結構更廣的結構，使原結構成為后者的特例。從有理數，抽象到實數，就是弱抽象的過程，在邏輯化推理的前提下，抽象前的原型對象的一些特征，可以類比遷移到弱抽象后得到的對象上。

由實數與數軸上的點的一一對應關系可知，有理數的大小比較法則、相反數、絕對值的概念，有理數的運算性質、運算律，都適用于實數，學生對實數的這些特征，就可以直接類比有理數去應用了，降低了抽象的難度。如：化簡||，由“一個負實數的絕對值是它的相反數”，我們可以得到：||=﹣（）=。

五、解決實際問題，在建模中提升抽象素養

數學建模，是用數學語言表達現實問題、用數學科學方法構建模型解決現實問題，數學與現實是構建數學模型的兩個出發點，數學模型的構建往往需要多個知識模塊，學生需要把實際生活的要素，恰當地抽象成數學的知識，理清各個要素間的關系，在整個認知系統中找準相應的數學模型去解決問題。建模的過程，促進對數學概念的內涵、外延進行更深刻的認識，及對數學知識間邏輯關系的再認識，是培養數學抽象素養的最高層次，也是最行之有效的方法。在本節課的最后，我們解決了這樣一個實際問題：

天氣晴朗時，一個人能看到大海的最遠距離s（單位：km）的平方等于眼睛離海平面的高度（單位：m）的16.88倍，如果一個人站在岸邊觀察，當眼睛離海平面的高度是1.5米時，能看到多遠（精確到0.01km）？如果登上一個觀望臺，當眼睛離海平面的高度是35m時，能看到多遠（精確到0.01km）？

學生理清實際問題中的量，設一個人能看到大海的最遠距離為skm，眼睛離海平面的高度為hm，根據各量的關系，建立起數學方程模型：s2=16.88h，借助科學計算器進行開方運算，可得到實際問題的答案：當眼睛離海平面的高度是1.5米時，能看到大約5.03km遠;當眼睛離海平面的高度是35m時，能看到大約24.31km遠.眼睛離海平面的高度只增加了三十多米，而能看到大海的最遠距離卻增加了二十多千米，學生明白了“登高望遠”的數學含義，在解決這個有趣的實際問題的過程中，學生能夠將新知與舊知恰當的無縫銜接，鞏固并優化了認知結構，還體會到知識的價值和自我的價值的增長。

數學抽象素養是學習數學所必不可少的，也是立足于未來社會生活所不可或缺的，而它的培養不是一撮而就的，需要教師改變教育理念，改進教學模式，捕捉課堂上的每一次培養抽象素養的契機，精心設計教學，激發興趣，發揮學生主觀能動性，以適應學生心理特點和數學學科特點的教學方法，培養學生的數學眼光、數學思維、數學應用能力，提升學生的數學抽象素養。

參考文獻

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