基于空間分劃的非線性規(guī)劃模型的研究

姜文鑫，時(shí)間，郝震濤，韓佳艷，陳浩，梁立瓊

（1.太原科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山西 太原 030024；2.太原科技大學(xué)環(huán)境與安全學(xué)院，山西 太原 030024）

0 引言

澳大利亞的2019-2020火災(zāi)季節(jié)在每個(gè)州都造成了毀滅性的野火，對新南威爾士州和維多利亞州東部的影響最大，野火發(fā)生在嚴(yán)重干旱和持續(xù)的熱浪中，氣候變化加劇了這種情況的發(fā)生。SSA無人機(jī)可幫助監(jiān)視不斷變化的情況，使緊急行動中心（EOC）能夠最佳地指導(dǎo)現(xiàn)役機(jī)組人員，以實(shí)現(xiàn)最佳效果和最大安全性[1]。

1 問題分析

首先在平衡能力和安全性與經(jīng)濟(jì)的條件下考慮觀察和通信任務(wù)的地形和需求，同時(shí)還要將火災(zāi)的大小和頻率作為模型要素，求解SSA無人機(jī)和無線電中繼器無人機(jī)的最佳數(shù)量和組合。其次利用模型適應(yīng)未來十年內(nèi)極端火災(zāi)事件不斷變化的可能性，并在無人機(jī)系統(tǒng)的成本保持不變的情況下，預(yù)測設(shè)備成本的增加量。

以優(yōu)化用于在不同地形上發(fā)生不同大小火災(zāi)的VHF/UHF無線電中繼無人機(jī)的位置。最后在考慮地形、極端火災(zāi)和人員花費(fèi)等多方面因素下，從而對無人機(jī)的花費(fèi)進(jìn)行合理的預(yù)算。

2 模型的建立和求解

首先通過系統(tǒng)聚類算法，可以通過SPSS軟件求得不同聚類情況下的聚合系數(shù)，進(jìn)而由肘部法求得最優(yōu)聚類數(shù)目，然后根據(jù)火點(diǎn)的經(jīng)緯度將聚類好的五個(gè)區(qū)域分別進(jìn)行空間劃分，已知SSA無人機(jī)的飛行范圍是30km，懸停中繼器無人機(jī)的射程是20km，將五個(gè)區(qū)域的地理范圍大小求得后，據(jù)此可以根據(jù)方格中是否有著火點(diǎn)來分配SSA無人機(jī)和中繼器無人機(jī)的最大分配數(shù)量，將含有著火點(diǎn)的方格進(jìn)行計(jì)數(shù)即可知道無人機(jī)分配的上限。計(jì)數(shù)圖如下：

然后給SSA無人機(jī)和懸停中繼器無人機(jī)設(shè)定一個(gè)數(shù)量上限，由圖1計(jì)數(shù)可得紅色方塊的數(shù)量為134塊，由圖2可計(jì)數(shù)得到藍(lán)色方塊的量為100塊由此可得在不考慮替換無人機(jī)的情況下：

圖1 SSA無人機(jī)上限計(jì)數(shù)圖

圖2 中繼器無人機(jī)的上限計(jì)數(shù)圖

依據(jù)新南威爾士州和維多利亞州城市和大山的分布得出多組隨經(jīng)度和緯度變化的VHF / UHF頻段運(yùn)行的手持式雙向無線電范圍的數(shù)據(jù)，進(jìn)而擬合出一個(gè)信號范圍隨經(jīng)度和緯度變化的函數(shù)表達(dá)式，已知沿海地區(qū)由于有高海拔的山脈和城市集中，VHF / UHF頻段運(yùn)行的手持式雙向無線電范圍受農(nóng)村地區(qū)或“建筑物”的距離和物理地形城市地區(qū)的“地形”的影響，所以信號范圍較小，內(nèi)陸平原較多且相對開闊，所以信號范圍較大，通過擬合來求解相關(guān)數(shù)據(jù)，如表1所示：

表1 擬合效果相關(guān)數(shù)據(jù)表

由擬合效果表可以看出R正方形為0.9126，擬合的效果很好，可以定義M為中繼器無人機(jī)到雙向無線電的距離與無人機(jī)到可觀測范圍的距離差，由此可寫出M的表達(dá)式為：

看出可以通過M的正負(fù)情況來反映該區(qū)域某個(gè)著火點(diǎn)是否被中繼器無人機(jī)的信號范圍所覆蓋，如果被覆蓋，則該著火點(diǎn)返回的值為1，反之為0。

無人機(jī)的能力可以通過該區(qū)域著火點(diǎn)的覆蓋比例來反映，以該區(qū)域已被覆蓋的著火點(diǎn)數(shù)占該區(qū)域的總著火點(diǎn)數(shù)目的比例來反映無人機(jī)的能力，購買無人機(jī)的花費(fèi)為SSA無人機(jī)的數(shù)量與中繼器無人機(jī)的數(shù)量的總數(shù)量乘以每臺無人機(jī)的花費(fèi)就是該費(fèi)用。

層次分析法是一種定性分析和定量計(jì)算相結(jié)合的方法，需要構(gòu)造因素間的比較矩陣，用幾何平均法求得其經(jīng)濟(jì)、安全性、能力的權(quán)重，則經(jīng)濟(jì)、安全性、能力之間的權(quán)重為0.1941，0.3632，0.4427。首先要保證SSA無人機(jī)和中繼器無人機(jī)的數(shù)量在它們對應(yīng)的范圍之內(nèi)，其次要保證無人機(jī)的經(jīng)度和緯度在區(qū)域?qū)?yīng)的經(jīng)緯度范圍內(nèi)，設(shè)定保證無人機(jī)的能力在90%以上，最后要保證每個(gè)著火點(diǎn)都有中繼器無人機(jī)覆蓋，同時(shí)要保證每個(gè)無人機(jī)都有著火點(diǎn)被它覆蓋，所以SSA無人機(jī)和中繼器無人機(jī)的未加替換無人機(jī)的數(shù)量為：

利用Lingo求解非線性約束方程解的A=124，B=94，定義該區(qū)域的火災(zāi)頻率為該區(qū)域的著火點(diǎn)的火災(zāi)亮度總和占全部著火點(diǎn)亮度總和的比例為該區(qū)域的火災(zāi)大小。

不同區(qū)域分配的替換無人機(jī)的所占總替換無人機(jī)的比例，要確定最高無人機(jī)使用數(shù)量與非線性方程所求得A和B進(jìn)行比較即可求得SSA無人機(jī)和中繼器無人機(jī)所需添加的替換無人機(jī)數(shù)量。SSA無人機(jī)還需在添加28臺，中繼器無人機(jī)不需再添加就可以滿足要求。所以最終求得SSA無人機(jī)的最佳數(shù)量為152臺，中繼器無人機(jī)的最佳數(shù)量為94臺[2]。然后需要對未來十年澳洲的山火情況進(jìn)行模擬，之后篩選出在新南威爾士州和維多利亞州的火點(diǎn)數(shù)，利用非線性規(guī)劃模型進(jìn)行求解，引入鄰居元胞著火概率，對于經(jīng)典森林火災(zāi)元胞自動機(jī)，即中間元胞狀態(tài)為“火”，則下一時(shí)刻上、下、左、右四個(gè)鄰居著火的概率均為1。在此基礎(chǔ)上，為了使火以各向同性的方式向外蔓延，將斜對角的四個(gè)元胞也作為鄰居，并規(guī)定其著火概率為在考慮風(fēng)的作用時(shí)，只需要將順風(fēng)方向上的鄰居著火概率適當(dāng)加大，而逆風(fēng)方向上的鄰居著火概率適當(dāng)減小，澳大利亞植被NDVI值一般在0.1到0.7之間，數(shù)值越高表明植物冠層密度越大，裸地和積雪的NDVI數(shù)值接近于零，而水域的數(shù)值為負(fù)值。利用MATLAB編程出符合澳洲的山火的元胞自動機(jī)模型，模擬未來十年內(nèi)發(fā)生極端火災(zāi)事件不斷變化的情況模擬后的著火點(diǎn)的結(jié)果如圖2所示：

圖2 模擬未來十年山火結(jié)果

由MATLAB運(yùn)行結(jié)果提取出其中著火點(diǎn)的經(jīng)度和緯度，據(jù)此來給SSA無人機(jī)和懸停中繼器無人機(jī)設(shè)定一個(gè)數(shù)量上限，由此可得紅色方塊的數(shù)量為167塊、藍(lán)色方塊的量為121塊，所以可得到SSA無人機(jī)和中繼器無人機(jī)的最多數(shù)量限制。利用Lingo軟件進(jìn)行求解可得A=162，B=110。所以預(yù)測需要添加的SSA無人機(jī)的數(shù)量為162-152=10臺，預(yù)測需要添加的中繼器無人機(jī)的數(shù)量為：110-94=16臺，預(yù)測添加無人機(jī)成本增加為：260000澳元。通過查閱得到兩個(gè)州的不同經(jīng)緯度的海拔數(shù)據(jù)，利用matlab進(jìn)行三維擬合，將其帶入目標(biāo)函數(shù)中，通過Lingo求解即可得到優(yōu)化后的VHF/UHF無線電中繼無人機(jī)的位置[3]。

3 結(jié)語

本模型以澳大利亞的森林火災(zāi)為背景，解決了兩種無人機(jī)的數(shù)量和組合以及經(jīng)濟(jì)預(yù)算，還考慮了極端情況下以及不同地形下對無人機(jī)需求的變化，本模型具有著良好的數(shù)據(jù)可視性，操作簡單性，適用于不同地理災(zāi)害下對于設(shè)備經(jīng)費(fèi)的預(yù)算以及設(shè)備購買的數(shù)量和組合的估計(jì)[4-5]。