一類含干摩擦彈性碰撞系統的動力學特性分析

安貴杰，劉俊杰，閆 哲，張有強

(塔里木大學 機械電氣化工程學院，新疆維吾爾自治區現代農業工程重點實驗室，新疆維吾爾自治區 阿拉爾843300）

間隙和干摩擦廣泛存在于無潤滑且有相對滑移的機械零部件之間，在外激勵的作用下零部件之間出現持續反復的摩擦振動與沖擊，產生噪聲和磨損，降低設備的精度和服役壽命。研究含間隙和摩擦共存的碰撞振動系統動力學特性，對此類系統的動力學優化設計和系統穩定性都有著非常重要的意義。

目前國內外學者對含間隙和摩擦碰撞振動系統做了大量的研究，Luo 等[1]以周期激勵下的2 自由度剛性碰撞系統為研究對象，分析了周期運動的多樣性及其演化規律，重點揭示了系統動力學特性與關鍵參數之間的匹配規律。Ashesh Saha等[2]詳細研究了兩種摩擦模型對單自由度摩擦振動系統響應的影響，分析了當兩種摩擦模型通過Hopf 分岔改變時，系統的狀態是穩定的。Chen等[3]對含干摩擦機械系統的全局動力學行為進行了詳細的分析。張有強等[4]研究了含干摩擦剛性碰撞振動系統的動力學特性，發現摩擦力較小時，系統的運動呈現混沌行為，摩擦力較大時，系統從混沌運動逐漸趨于穩定的周期運動，同時，系統運動在不同區域對摩擦力的敏感程度不同。丁旺才等[5]對含干摩擦振動系統的非線性動力學響應進行數值仿真，并以Lyapunov指數為判定依據，詳細分析了系統的穩定性。王曉筍等[6]對含碰撞平面摩擦系統的滑移-粘滯轉換，提出一種半解析半數值新算法，精確地獲取系統粘滯-滑移轉換及碰撞的位置和時刻，有效降低累積積分誤差，提高求解精度。張艷龍等[7-8]研究傳送帶表面粗糙度對整個振動系統動力學行為的影響，引入Dankowicz摩擦模型，通過數值模擬探討了非光滑振動系統在滑移-粘滯-碰撞接觸-顫振之間轉換的動力學行為。吳丹等[9]通過研究一類對稱間隙的干摩擦彈性碰撞振動系統，分析了系統在頻域上的兩尺度簇發振蕩規律。朱喜峰等[10]對2 自由度含間隙彈性碰撞系統進行研究，分析了間隙和激振頻率對系統動力學特性的影響，在一定參數條件下，總結了系統從周期運動到顫碰運動的轉遷規律。呂小紅等[11]以2 自由度含間隙彈性碰撞振動系統為研究對象，通過定義兩類Poincaré 映射識別周期運動的類型，著重分析了系統在低頻區域的分岔特性，揭示系統周期振動模式類型的多樣性和轉遷特征。安貴杰等[12]對含間隙和干摩擦因素共存下的三類不同碰撞振動系統進行了研究，結合數值仿真法，分析了各參數變化對系統動力學特性的影響。基于以上論述，本文以一類含間隙和干摩擦單自由度彈性碰撞振動系統為研究對象，建立系統的力學模型，定義兩類Poincaré 映射，通過數值模擬探討系統周期沖擊振動的轉遷規律，分析激振頻率、摩擦系數、阻尼系數及定頻率下阻尼系數變化對系統動力學特性的影響。

1 力學模型及運動微分方程

1.1 模型建立

圖1為含間隙和干摩擦單自由度彈性碰撞振動系統的力學模型，質量為M的質塊由剛度系數為K1的線性彈簧和阻尼系數為C1的線性阻尼器連接于支承，質塊的位移用X表示，右端為一個剛度系數為K2的彈性約束，該約束與質塊的初始間隙為B。質塊與皮帶非光滑接觸，系統振動過程中，質塊與皮帶存在摩擦力Ff，并受簡諧激振力Psin(ΩT+τ)的作用，其中：P為簡諧激勵力幅值，Ω為激勵頻率，T為時間，τ為初始相位，以系統靜平衡位置為坐標原點建立坐標系，質塊在激振力的作用下做水平方向的運動，當質塊M速度和皮帶運行速度相等，并且質塊所受的簡諧激振力、彈簧彈性力和阻尼力ΔF小于其所受的摩擦力時，質塊和皮帶粘滯在一起，直到質塊所受合力ΔF大于其所受摩擦力時粘滯結束，質塊重新回到滑移狀態。

圖1 系統動力學模型

1.2 運動微分方程

根據以上描述，系統的運動微分方程為：

式中：

引入無量綱變換如下：

無量綱后系統微分方程為：

在運動過程中，由于間隙和干摩擦因素的存在，其動力學行為十分復雜。當x≤δ時，此時只考慮干摩擦對系統的影響，隨著激振力不斷變化，當x>δ時，質塊與右側彈性約束發生碰撞接觸，質塊的運動狀態在滑移、粘滯及碰撞之間相互轉換，根據質塊的受力情況，將系統的運動過程分類討論，質塊的振動合力為系統激振力、阻尼和彈簧產生的力、右側碰撞產生的約束力的總體合力，其中不包含所受的摩擦力。

(a)，0，質塊的振動合力滿足：

此時質塊處于滑移狀態，其運動微分方程為：

(b).=v，質塊的振動合力滿足：

質塊和皮帶粘滯在一起，此時質塊處于粘滯狀態，系統運動微分方程為：

直至下式滿足系統恢復方程（5）時：

2 數值仿真

2.1 激振頻率對系統動力學特性影響

取系統無量綱參數：ζ=0.1，v=0.1，μ=0.1，δ=0.1，以激振頻率ω為控制參數來分析系統動態特性。圖2為質塊M在不同激振頻率條件下系統的全局周期分岔圖和全局碰撞分岔圖，圖3 為質塊M在不同激振頻率條件下系統的周期分岔圖和碰撞分岔圖的局部放大圖，綜合圖2 和圖3 可以看出，系統經歷了單周期運動、二周期運動、多周期運動和混沌運動，并與約束面發生了多次碰撞。當ω∈[ 0.05,0.19 ]時，系統為周期一顫碰運動，ω=0.18 時其相圖、Poincaré 截面圖、速度時間歷程圖和位移時間歷程圖如圖4（a）所示，其Poincaré 截面圖為一個點，表示單周期運動，從圖2（b）系統碰撞分岔圖和圖4（a）相圖可以看出，此時質塊多次與右側彈性約束發生碰撞，每一次碰撞能量都會減小，對應在時間歷程圖上就會出現一段振蕩，并且質塊有一段速度為0.1，此時代表質塊與皮帶發生粘滯；隨著激振頻率的繼續增大，當ω穿越0.19時，系統主要以非粘滯顫碰運動為主，圖4（b）為ω=0.48 時的相圖、Poincaré 截面圖和時間歷程圖，系統為運動，從相圖和時間歷程圖均可看出其與右側彈性約束發生了4 次碰撞，且沒有發生粘滯；隨著激振頻率的遞增，當激振頻率ω穿越0.85時，系統由運動轉遷為運動，圖4（c）為ω=2.289 時的系統運動狀態圖，Poincaré 截面圖為一個點，時間歷程圖為等高的波形循環，表示系統為單周期運動，且可以看出此時質塊與約束面發生了一次碰撞；當ω=2.4 時，系統經倍化分岔進入周期二運動，如圖4（d）所示，其Poincaré 截面圖為2 個點，時間歷程圖為2 個波形循環且穿越了兩次約束面，為運動；隨后系統又進入周期四運動，圖4（e）所示，質塊與約束面發生了4次碰撞，為運動；系統逐漸轉遷為混沌運動，如圖4（f）所示，當ω=2.525時，其Poincaré截面圖為雜亂的點；此后系統從混沌運動逐漸演化為運動，隨激振頻率的進一步增加，當ω>3.77時，質塊與彈性約束無碰撞接觸，圖4（g）為ω=3.78時的相圖、Poincaré 截面、速度時間歷程圖和位移時間歷程圖，由圖可知，Poincaré截面圖為1個點，表示系統為單周期運動，且質塊的位移小于間隙，質塊與右側彈性約束無碰撞發生，時間歷程圖為等高的波形循環，沒有發生粘滯運動，此時系統為運動，系統運行較為平穩。

圖2 系統隨激振頻率變化的全局周期分岔圖和全局碰撞分岔圖

圖3 系統周期分岔圖和碰撞分岔圖的局部放大圖

圖4 系統在不同激振頻率下的相圖、Poincaré截面、速度時間歷程圖和位移時間歷程圖

圖4 系統在不同激振頻率下的相圖、Poincaré截面、速度時間歷程圖和位移時間歷程圖

2.2 摩擦系數對系統動力學特性影響

在保證其他基準參數不變的條件下，通過改變摩擦系數μ大小，研究摩擦系數對系統動態特性的影響。圖5為系統在不同摩擦系數下的質塊與彈性約束的沖擊速度x˙隨激振頻率ω變化的周期分岔圖與碰撞分岔圖。激振頻率較低時，隨摩擦系數的遞增，低頻段粘滯振動型的激振頻率存在范圍變寬，質塊的沖擊速度逐漸減小，非粘滯滑移運動區間減小，粘滯滑移運動區間增加；在中頻區域內系統主要呈現周期運動，隨著摩擦系數的增大，系統在ω=2.35 附近，由概周期運動逐漸轉遷為周期運動，質塊與約束面的碰撞次數大幅度降低；在高頻階段，隨著摩擦系數的增大，系統的混沌運動區域變寬，質塊與約束面的沖擊次數急劇增加，由周期運動轉為混沌運動。

圖5 不同摩擦系數μ下的系統周期分岔圖和碰撞分岔圖

2.3 阻尼系數對系統動力學特性的影響

在保證其他基準參數不變的條件下，通過改變阻尼系數的大小，研究阻尼系數ζ變化對系統動力學特性的影響。 圖6 為阻尼系數分別取0.05、0.15、0.2、0.4 時，系統響應隨激振頻率ω變化的分岔圖。由圖6 可知，阻尼系數ζ較小時，質塊與彈性約束的沖擊速度較大，質塊與約束面的碰撞次數較多；隨阻尼系數ζ的增加，在中頻階段，系統由混沌運動逐漸轉遷為周期運動，并且其與約束面的沖擊速度大幅度降低，有利于系統的穩定運行；在高頻階段，隨著阻尼系數的進一步增加，其周期運動保持不變，質塊沖擊速度有所降低，當超越臨界值ω=3.77 時，系統仍為運動，此時阻尼系數對其影響不是很大。分析可知，選取較大的阻尼系數在一定程度上有利于系統穩定。

圖6 不同阻尼系數ζ下周期分岔圖和碰撞分岔圖

2.4 定頻率下阻尼系數變化對系統動力學特性的影響

為進一步分析阻尼系數對系統響應的影響，圖7表示為頻率ω=2.48時，系統響應隨阻尼系數變化的周期分岔圖和碰撞分岔圖，研究表明，阻尼系數較小時，系統以混沌運動為主，且質塊與約束面碰撞劇烈，系統狀態極不穩定；當阻尼系數ζ>0.196 時，系統從陣發性混沌運動逐漸進入周期運動，最后轉遷為運動，系統狀態較為穩定。

圖7 ω=2.48時系統響應隨阻尼系數變化的周期分岔圖和碰撞分岔圖

3 結語

本文建立了一類含間隙和干摩擦單自由度彈性碰撞振動系統的力學模型，定義兩類Poincaré映射，研究了激振頻率、摩擦系數及阻尼系數對系統周期沖擊振動穩定性和分岔特性的影響得出以下結論：

（1）研究了不同激振頻率對系統動力學特性的影響，發現該系統動力學特性比較復雜，存在著運動運動運動運動運動和混沌運動等。

（2）保證其他基準參數不變的條件下，隨著摩擦系數的增加，低頻區域內系統非粘滯滑移區域減小，粘滯滑移區域增加，質塊的沖擊速度逐漸減小；摩擦系數的增加使得混沌存在域發生右移和周期運動狀態基本保持不變，而周期運動最終被混沌運動替代。

（3）阻尼系數增大，系統的混沌運動逐漸消失，同時質塊與約束面的沖擊速度和碰撞次數大幅度降低，在較大的阻尼系數下系統以周期運動為主，系統穩定性在一定程度上增加。