含非均勻介質覆蓋層吸聲特性研究

董天韌，胡昊灝，陳 楊

(江蘇科技大學 船舶與海洋工程學院，江蘇 鎮江212003)

吸聲系數是表征含空腔覆蓋層聲學特性的基本參數，直接計算變截面空腔覆蓋層的聲特性較復雜，因此通常采用分層等效近似的方法，將變截面空腔視為多個圓柱腔。

常用的近似方法主要包括解析法和數值法，各種分析方法的之間也存在明顯的差異。高曉琴[1]，Chang等[2]將空腔層中橡膠單元近似為高粘性液體，分析了平面波在垂直入射和斜入射情況下含空腔覆蓋層的聲學性能，但論文只考慮了法向傳播的縱波而忽略了其它波的影響，也未考慮空腔諧振對聲學特性的影響。白國鋒等[3]利用傳遞矩陣模型，同時考慮了縱波和橫波，更接近于平面波傳播的實際情況。但是這種方法只適用于均勻介質，無法計算介質中含有空腔的情況。劉志宏等[4]分析了背襯對覆蓋層聲特征的影響，但未研究含空腔覆蓋層的聲特征，也沒有討論參數變化對吸聲性能的影響。張浩等[5]在分層介質傳遞矩陣模型的基礎上，引入界面面積因素，使模型可以計算具有內部空腔的覆蓋層吸聲性能，但文中并未對比空腔類型對覆蓋層吸聲性能的影響。馮常慧等[6]，趙宏剛等[7]和Ivansson[8]將空腔作為黏彈性介質中的散射體，運用分層介質多重散射理論分析覆蓋層的聲學特性，但該方法只能局限于少數幾種簡單幾何形狀空腔的黏彈性層。

數值法[9-12]主要使用有限元和邊界元等方法，將空腔作為散射體，計算不同類型的聲學覆蓋層的聲特征，數值計算不受覆蓋層內空腔形狀的限制，但是當對結果精度要求較高時，需要較長的計算時間。

針對以上問題，本文對含變截面周期空腔的聲學覆蓋層聲吸收性能展開研究，空腔分布方式如圖1所示，空腔沿X、Y方向周期分布。利用周期邊界條件取一個單元進行分析，在此基礎上將空腔部分沿厚度方向均勻分成若干層(如圖2所示)，當分層的厚度足夠薄時，各層變截面空腔等效為均勻圓柱空腔。利用彈性波傳播理論，結合應力連續邊界條件求得等效波數，最后采用二維傳遞矩陣法得到聲學覆蓋層的吸聲系數。

圖1 空腔分布示意圖

圖2 分層近似示意圖

1 分層等效理論

取圖2 中分層近似后多段均勻圓柱腔的第i段分析，如下圖3 所示。設覆蓋層內部圓柱徑為ai、覆蓋層半徑為b。

圖3 第i層覆蓋層示意圖

為了求得圓柱空腔單元中的等效波數，首先引入彈性波在覆蓋層中傳播的運動方程：

式中：s為位移矢量，λ，μ為Lame 常數，ρ為橡膠密度，?，?2分別為Hamiltonian 算子和Laplace 算子。位移s可以表示為標量場φ的梯度和矢量場ψ的旋度的和，即：

式中：φ為縱波勢函數，ψ為橫波勢函數。矢量勢函數可以寫成標量勢函數，故公式(2)可以表示為：

式中：kl為縱波波數；ks為橫波波數。

公式(3)的形式解可以表示為：

式中：C1,C2,C3,C4為待定系數，klx=為軸向波數，J0,Y0分別為第一類和第二類貝塞爾函數。

柱坐標下徑向位移sx和軸向位移sz為：

柱坐標下應力和應變的關系為：

考慮邊界條件，在空腔內界面處，由于腔內介質為空氣，因此認為內界面的邊界條件為‘絕對軟’邊界，所以空腔內側的應力邊界條件為：

在空腔的外界面，由于運動是同步的，所以界面處應力為零，軸向的位移為零，則空腔外側的邊界條件：

聯立公式(4)、式(5)、式(6)和邊界條件公式(7)、式(8)可得：

上述方程為齊次線性方程組，待定系數C1,C2,C3,C4有非零解的充要條件為方程組的系數行列式等于零，通過對其系數行列式求解，即可得到聲波在第i層沿軸向傳播的波數kiz，第i層覆蓋層的等效密度為橡膠密度和空氣密度的體積平均值：

式中：ρi為等效后密度，ρ為基體材料密度；ρa為空氣密度，β=ai/b。

2 聲吸聲系數

在得到各層等效參數以后，由各層相鄰兩側聲壓和質點振速連續建立一個傳遞關系，并用矩陣表示，利用傳遞矩陣計算含圓錐空腔覆蓋層的聲特征，其表達式為：

式中：

式中：di為第i層厚度，ki為第i層波數，Zi為第i層阻抗，p0,v0為覆蓋層前界面聲壓和振動速度，pi+1,vi+1為覆蓋層背面界面的聲壓和振動速度。

本文中聲學覆蓋層兩端均為無限大水域時，其透射Tr、反射Re和吸聲系數A分別為：

式中：Zw為水的阻抗，T11,T12,T21,T22為式(14)中傳遞矩陣T的元素。

3 方法驗證

為了驗證分層近似法求解聲吸收的正確性，采用聲學有限元軟件建立含錐形空腔的聲學覆蓋層周期單元（如圖4 所示），分析過程考慮鋼背稱對聲吸收的影響，并利用PML(完美匹配層)模擬無限大水域。覆蓋層單元尺寸L=30 mm，H=50 mm，H1=H3=5 mm，圓錐空腔尺寸：底面直徑10 mm，高H2=40 mm。覆蓋層材料參數為：泊松比σ=0.49，楊氏模量E=7.1×107Pa，損耗因子η=0.2，密度ρ=1100 kg/m3。

圖4 周期單元聲吸收有限元模型

平面波從左側水域垂直入射，入射頻率為0.1 kHz～9 kHz，步長0.1 kHz，解析和數值計算結果如下圖5所示。

圖5 近似解析和數值對比

由圖5近似解析和數值計算的吸聲系數對比圖可知，頻率在8 kHz 之后，兩種計算結果出現偏差。出現偏差的原因可能是：

①本文使用分層近似法計算變截面空腔的吸聲系數，計算過程中分層數量不合理，導致高頻時出現偏差；

②解析方法中選取的周期覆蓋層單元為圓柱形，但是本文有限元軟件所建立的模型為長方體，兩種不同邊界形狀覆蓋層單元，在計算結果上存在一定的區別。從整體上來說，兩種方法計算的吸聲系數曲線吻合較好，說明本文采取的解析程序是有效的。

4 參數分析

本節以圖4模型為例分析不同參數下覆蓋層的吸聲性能，為了分析含周期圓錐空腔的聲學覆蓋層吸聲機理，下面對相關參數展開分析，主要包括彈性背襯，圓錐腔尺寸和空腔形狀等參數對吸聲系數的影響。

4.1 背襯對吸聲系數的影響

彈性背襯結構由于特性阻抗與覆蓋層差異較大，會對入射波在介質中的傳播產生較大的影響，進而影響吸聲性能，如圖6所示。

圖6 背襯對吸聲系數的影響

從圖6 可以看出有、無背襯對覆蓋層的聲吸收有重要影響，有彈性背襯的覆蓋層吸聲系數在大部分頻率范圍要高于無背襯的情況。文獻[13-14]分析了背襯對圓柱空腔覆蓋層吸聲性能的影響，論文指出：背襯與覆蓋層材料聲阻抗失配，入射聲波經過覆蓋層后，被背襯與覆蓋層的耦合面反射回覆蓋層中，形成二次吸收，從而提高吸聲性能。

為了更清晰地給出背襯的影響，下面分別分析有、無背襯時，f=4 kHz 和f=9 kHz 處覆蓋層位移云圖。如圖7所示。

圖7 f=4 kHZ位移圖

圖7 覆蓋層位移云圖的圖例范圍為(5～40)×10-9mm，由圖可知，在該頻點下，有背襯的位移幅值大于無背襯。并且覆蓋層基體從底部到頂部，位移幅值逐漸增大，說明覆蓋層整體被拉伸或者壓縮，因此低頻時覆蓋層的吸聲是由基體的共振引起的。

圖8 覆蓋層位移云圖的圖例范圍為(5～40)×10-9mm，由圖可知，在該頻點下覆蓋層內部空腔的位移幅值遠大于基體的位移，說明高頻時覆蓋層的吸聲依賴于空腔的共振。

圖8 f=9 kHz位移圖

由以上分析可知，背襯不僅會提高含圓錐空腔覆蓋層的吸聲性能，還會影響覆蓋層基體及空腔的共振頻率，從而改變覆蓋層吸聲峰值頻率。

4.2 圓錐腔尺寸對吸聲系數的影響

圓錐腔體尺寸的改變，會影響腔體的共振頻率。圖9給出了不同底面半徑的圓錐腔對吸聲系數的影響，由圖可知，腔體半徑改變會使吸聲峰值頻率產生偏移，這為在感興趣頻率范圍設計覆蓋層聲吸收提供了參考。

圖9 圓錐腔半徑對吸聲系數的影響

下面將分析圓錐空腔半徑影響吸聲峰值頻率發生偏移的原因。上文分析可知,第一（低頻）吸聲峰值依賴于基體的振動，由圖10 基體位移幅值圖可知，當圓錐空腔半徑增大后，基體之間厚度變薄，更易產生變行，從而使共振頻率向低頻移動，故隨空腔半徑的增加第一吸聲峰頻率減小。

圖10 覆蓋層1 kHz位移圖

圖10 和圖11 覆蓋層位移云圖的圖例范圍為(1～6)×10-8mm，由圖11 可知，圓錐空腔位移幅值隨半徑的增大而增加，這是因為使空腔發生共振的聲波波長與空腔半徑成正比，當空腔半徑增大時，共振頻率聲波波長增大，所以空腔產生共振的頻率降低，而第二(高頻)吸聲峰由空腔的振動引起，故隨著空腔體積的增加吸聲峰頻率降低。

圖11 覆蓋層6 kHz位移圖

4.3 空腔形狀對吸聲系數的影響

將圓錐空腔換成圖12圓臺形空腔，圓臺底部半徑5 mm，頂部半徑3 mm，高40 mm。

圖12 圓臺形空腔

從圖13可知，圓臺空腔的吸聲峰值頻率小于圓錐空腔，是因為平面波沿空腔表面傳播過程中縱波會轉變為剪切波，當空腔體積增加后，提高了縱波轉變為剪切波的比例，從而增大了聲波的能量損耗，提高了覆蓋層吸聲性能，因此隨著空腔體積的增大吸聲峰值頻率向低頻偏移。

圖13 吸聲系數對比

4.4 楊氏模量對吸聲系數的影響

圖14給出楊氏模量對覆蓋層聲吸聲的影響，當覆蓋層的楊氏模量增大后，吸聲曲線峰值向右移動，說明當楊氏模量增大后，引起空腔和基體共振的頻率也隨之增大。

圖14 不同楊氏模的吸聲系數

4.5 入射角度對吸聲系數的影響

本節分析平面波入射角度對覆蓋層吸聲性能的影響，下圖15為聲波入射示意圖。

圖15 平面波入射示意圖

圖17 是在吸聲系數曲線0.7 kHz 處，平面波垂直和75°入射時覆蓋層位移云圖，云圖圖例范圍為(1～7)×10-8mm，對比圖17(a)、圖17(b)兩圖可知，斜入射時覆蓋層出現更大的橫向變形，這是因為橡膠的橫波損耗因子遠大于縱波損耗因子，因此平面波斜入射產生的能量損耗遠大于垂直入射。這也是圖16 低頻時吸聲系數隨著入射角度增加而增大的原因。

圖16 不同入射角度下吸聲系數

圖17 覆蓋層位移圖

以平面波60°入射時的吸聲曲線為例，分析0.7 kHz和9.2 kHz處吸聲峰值的物理機理。

圖18為覆蓋層吸聲峰值處位移圖，云圖的圖例范圍(1～30)×10-8mm，由圖可知，第一吸聲峰(0.7 kHz)時覆蓋層基體位移較大，說明覆蓋層被整體地拉伸或壓縮，此時的吸聲峰值是由基體的振動引起的。第二吸聲峰(9.3 kHz)時圓錐空腔振動幅度較大，而覆蓋層整體位移幅值很小，說明高頻時的吸聲峰值主要依賴于覆蓋層內部空腔的共振。

圖18 吸聲峰值位移圖

5 結語

本文針對含周期圓錐空腔聲學覆蓋層聲吸收問題，利用等效分層介質理論，重點分析了覆蓋層內空腔尺寸、空腔形狀、基體材料參數、背襯和平面波入射角度等對覆蓋層吸聲性能的影響，得出以下幾點結論：

(1)用數值法求解含空腔覆蓋層的吸聲特性，可以和解析解計算結果相吻合，證明了本文方法的可靠性；

(2)背襯是影響覆蓋層吸聲性能的重要因素，有背襯時吸聲性能在大部分頻率范圍要好于無背襯的情況；

(3)覆蓋層材料參數，空腔直徑，空腔形狀等對聲吸收有重要影響，計算結果表明：空腔直徑越大，基體楊氏模量越小，吸聲峰值頻率越向低頻移動。可以通過設置以上參數，提高覆蓋層在低頻段的吸聲系數；

(4)平面波斜入射時，低頻時吸聲系數峰值隨入射角度的增加而增加，聲吸收物理機理與垂直入射類似。