雙重單面碰撞調諧質量阻尼器參數優化及減振性能分析

李 欣，王文熙，王修勇，張 靜

（1.湖南科技大學 結構抗風與振動控制湖南省重點實驗室，湖南 湘潭411201；2.湖南大學 風工程與橋梁工程湖南省重點實驗室，長沙410082）

調諧質量阻尼器（Tuned mass damper，TMD）作為一種研究較為成熟的阻尼器在土木工程中得到了大量的應用[1-3]。但其只有在調諧的時候才能有較好的控制效果，一旦發生失諧時則其減振效果會明顯下降[4]。為了改善TMD 這一不足之處，一些學者將碰撞耗能引入TMD設計中，提出了碰撞調諧質量阻 尼 器（Pounding tuned mass damper，PTMD）。PTMD以黏彈性材料代替傳統TMD中的阻尼，研究表明PTMD 相較于TMD 有更好的魯棒性[5]。Xue等[6]將PTMD 用于單層框架和多層框架的振動控制，并進行振動臺試驗。李英娜等[7]研究地震作用下PTMD對海洋平臺的振動控制，與TMD進行比較發現PTMD 的控制效果更好。Lin 等[8]以廣州電視塔為工程背景，建立有限元模型分析了PTMD 對多自由度結構的振動有著良好的抑制效果。Yin 等[9]將PTMD 應用于風荷載、交通荷載以及橋梁耦合系統的振動控制中，安裝PTMD 后橋梁的豎向位移顯著降低。Wang 等[10]為了更好地利用碰撞耗能，在PTMD 的基礎上取消一個限位擋板，并將碰撞間隙取為0，提出了單面碰撞調諧質量阻尼器（Singleside pounding tuned mass damper，SS-PTMD）。Wang等[11]通過風洞試驗驗證了SS-PTMD對橋梁的渦振有著良好的控制效果。Duan 等[12]將SS-PTMD應用于阻尼器位移空間有限的主結構上，并與傳統PTMD 的減振性能比較。結果表明SS-PTMD 有更好的性能和更大的應用前景。何禹忠等[13]設計了懸臂式SS-PTMD 控制單自由度結構振動。仿真和實驗研究表明SS-PTMD在調諧與失諧14%、21%時，結構阻尼比分別增加3.85%、2.35%以及1.65%，表明SS-PTMD有較好的魯棒性。

本文考慮到SS-PTMD 與TMD 的類似之處，基于Wang等[10]提出的SS-PTMD力學模型及碰撞力模型，將單個SS-PTMD的研究延伸向雙重單面碰撞調諧質量阻尼器（Double single-side pounding tuned mass damper，DSS-PTMD）的減振分析。通過仿真分析研究了DSS-PTMD 的優化參數和在自由振動與簡諧激勵下的減振性能。

1 DSS-PTMD-結構耦合方程

單自由度結構安裝DSS-PTMD 的力學模型如圖1所示，系統的運動方程可寫為：

式中：m1、c1、k1分別為主結構的質量、阻尼和剛度；x1分別表示主結構位移、速度及加速度；m2、k2分別為1#SS-PTMD 的質量和剛度，x2、為1#SSPTMD 的位移和加速度；m3、k3分別為2#SS-PTMD的質量和剛度，x3為2#SS-PTMD 的位移和加速度；Fsin(ωt)是外部激勵；Fp1和Fp2分別為1#PTMD、2#PTMD與主結構之間的碰撞力，其表達式為[10]：

其中：δ為碰撞過程中質量塊嵌入黏彈性材料的位移，其1 階導數為速度；n為非線性指數；k為碰撞剛度；ζ為碰撞阻尼因子；δmax和δe分別為碰撞嵌入黏彈性材料的最大位移和碰撞結束后的黏彈性材料殘余變形；fe為最大彈性碰撞力，其具體表達式為：

根據能量守恒原理，式（2）中3個模型參數滿足下列方程[10]：

式中：el為殘余變形率，el=δe/δmax，el與e的關系為[14]：

式中：β=0.938。

2 SS-PTMD最優參數分析

DSS-PTMD的優化參數包括最優頻率比和最優阻尼比，對于圖1所示力學模型，兩個單面碰撞調諧質量阻尼器的固有頻率及阻尼比為[10]：

圖1 DSS-PTMD與主結構耦合力學模型

定義頻率比為：

基于H∞優化準則，DSS-PTMD的參數優化目標函數可表示為：

式 中：λ為外部激勵頻率，DMF（Dynamic magnification factor）為位移動力放大系數，定義為：

式中：X1(λ)為主結構在簡諧荷載作用下的穩態響應幅值，F為激勵幅值。

為了研究DSS-PTMD 優化參數，針對圖1 模型進行了仿真分析。主要參數為：m1=45 kg、f1=2.91 Hz、ζ1=0.5 %。為方便計算，1#SS-PTMD 與2#SSPTMD的質量、碰撞剛度、非線性指數取為相等。其中m2和m3為結構質量和質量比乘積的一半，碰撞剛度k=6.5×105N/m1.5,非線性指數n=1.5。

仿真分析得到的DSS-PTMD 最優參數及相應的DMF 如表1 所示。為了比較DSS-PTMD 與SSPTMD 的控制效果，表1 中給出了相同質量比條件下SS-PTMD的優化參數和DMF。

表1 DSS-PTMD及SS-PTMD優化參數

從表1 可以看出，隨著質量比的增加，DSSPTMD 的最優頻率比ropt1沒有發生變化，而ropt2呈現逐漸增大的規律變化；最優恢復系數eopt1和eopt2均呈現逐漸減小的規律變化，且兩者數值基本相等；DMF逐漸減小，且減小的趨勢趨于緩和。在相同的質量比情況下，DSS-PTMD 所對應的DMF 均小于SS-PTMD。表明DSS-PTMD在最優控制的情況下，其減振效果優于SS-PTMD。

3 DSS-PTMD減振性能分析

3.1 自由振動

主結構和DSS-PTMD 的仿真參數依舊與上節相同，DSS-PTMD 的最優參數取總質量比3 %所對應的最優頻率比和最優恢復系數。自由振動的初始條件為：初始位移為20 mm，初始速度為0。分別討論主結構頻率完全調諧、主結構頻率失諧±5 %和±10%時的減振效果。

圖2 為主結構無控、SS-PTMD 控制以及DSSPTMD 控制的仿真效果。在完全調諧的情況下，無控、SS-PTMD和SS-DPTMD控制時的結構阻尼比分別為0.5%、4.05%及4.31%。當頻率失諧-5%時，SS-PTMD 和DSS-PTMD 對應結構等效阻尼比為2.6%及2.69%；頻率失諧+5%時，SS-PTMD和DSSPTMD對應結構等效阻尼比為4.72%及4.73%。當頻率失諧-10%時，SS-PTMD 和DSS-PTMD 對應結構等效阻尼比為1.8%及1.61%；頻率失諧+10%時，SS-PTMD 和DSS-PTMD 對應結構等效阻尼比為3.34 %及3.3 %。由此可以看出在完全調諧或者小失諧的情況下，DSS-PTMD 對自由振動的抑制效果優于SS-PTMD，反之，當失諧過大時，SS-PTMD的效果更佳。還可以看出，對這兩種阻尼器而言，負向失諧對減振效果的影響要比正向失諧更嚴重。

圖2 自由振動時，SS-PTMD與DSS-PTMD的控制結果

3.2 簡諧激勵

當主結構所受到幅值為10 N的簡諧激勵時，圖3 給出了無控、SS-PTMD 及DSS-PTMD 控制時簡諧荷載作用下的結構幅頻響應圖。完全調諧時，SSPTMD和DSS-PTMD控制時的動力放大系數幅值為8.70和7.87，與無控時的動力放大系數幅值99.28相比，最不利情況下的減振率為91.24 %和92.07 %。頻率失諧-5 %時，SS-PTMD 和DSS-PTMD 控制時的動力放大系數幅值為13.44 和13.11，與無控時相比，最不利情況下的減振率為86.46 %和86.79 %。頻率失諧+5 %時，SS-PTMD 和DSS-PTMD 控制時的動力放大系數幅值為13.26 和12.56，與無控時相比，最不利情況下的減振率為86.64 %和87.35 %。頻率失諧-10%時，SS-PTMD和DSS-PTMD控制時的動力放大系數幅值為20.18 和21.61，與無控時相比，最不利情況下的減振率為79.67 %和78.23 %。頻率失諧+10%時，SS-PTMD和DSS-PTMD控制時的動力放大系數幅值為18.95 和21.72，與無控時相比，最不利情況下的減振率為80.91 %和78.12 %。由此可知，在完全調諧和失諧較少時，DSS-PTMD的減振效果優于SS-PTMD，當失諧過大時則情況相反，這與自由振動的結論是一致的。

圖3 SS-PTMD與DSS-PTMD控制的幅頻響應曲線

4 結語

本文建立了單自由度結構-雙重單面碰撞調諧質量阻尼器力學模型。以動力放大系數為優化指標進行參數優化，討論了完全調諧時SS-PTMD 與DSS-PTMD 的振動控制效果。分析了SS-PTMD 和DSS-PTMD 在自由振動與簡諧激勵下的減振性能。得出如下結論：

（1）通過數值優化得出了SS-PTMD 與DSSPTMD 的最優參數，發現在最優參數下DSS-PTMD的減振效果優于SS-PTMD。

（2）DSS-PTMD 和SS-PTMD 對結構有良好的振動控制效果。當頻率失諧時，減振效果雖有下降，但其對自由振動和簡諧振動仍有較好的抑制效果。

（3）當頻率失諧較小時，DSS-PTMD 的減振效果優于SS-PTMD。反之當失諧較大時，SS-PTMD減振效果更優。