非線性系統載荷識別的最小二乘支持向量機法

周 盼，辛江慧，丁繼才

（1.南京工程學院 汽車與軌道交通學院, 南京211167；2.海軍裝備部駐葫蘆島地區軍事代表室, 遼寧 葫蘆島125004）

載荷識別，即采用結構的振動響應，結合結構振動特性求解作用于結構的外部激勵（或載荷）。載荷識別對于結構振動預測、優化設計、故障診斷均具有重要意義。近些年來，載荷識別問題的研究比較深入，不少學者對該問題的研究進展進行了總結歸納[1-3]。

逆系統法，作為一種解決逆問題的有效方法，應用廣泛。1995年，魏星原等[4]通過建立自回歸滑動平均逆系統，進而求解激勵。然而只有當線性系統滿足可逆、穩定、能控、能觀時其逆系統才存在。1999年，Steltzner[5]提出采用非因果逆向結構濾波器識別結構所受激勵。受測試噪聲的影響，系統矩陣的奇異性導致載荷識別結果不穩定。為改善該問題，2008年，Allen等[6]提出一種延遲逆向濾波器算法計算系統的外部激勵。隨后，周盼等[7-8]提出采用自適應濾波器模擬逆系統，并引入延遲環節以提高逆系統建模精度，進而識別單點、多點激勵的時間歷程。

隨著計算機技術的發展，新興的控制算法不斷引入載荷識別中。1998年，Ma等[9]以線性集中質量系統為研究對象，采用卡爾曼濾波器和遞歸最小二乘(Recursive least square，RLS)法識別沖擊載荷。然而實際工程結構中存在非線性因素這一客觀事實，使得很多學者對非線性系統的載荷識別問題日益關注。2004年，Ma等[10]采用廣義卡爾曼濾波器和RLS 將載荷識別拓展到了非線性系統上。其后，Lin[11]采用同樣方法對單自由度非線性系統進行外載荷的數值仿真研究。宋雪剛等[12]采用容積卡爾曼濾波器對非線性梁系統進行載荷識別的理論和實驗研究。然而這些方法均是建立在系統的狀態空間模型基礎上的，要求清晰地了解系統的數學模型，限制了其在實際工程中的應用和推廣。

由于支持向量機（Support vector machine，SVM）方法具有小樣本學習能力強、模型泛化性能好、能處理高維數據等優點，被引入到載荷識別問題中。郝云霄等[13]建立了基于SVM 的飛機機翼載荷模型，驗證了SVM 的有效性。2013年，曹善成等[14]提出了一種改進的SVM回歸飛行載荷識別模型，利用飛行參數識別半滾機動動作下某一部位彎矩。

由于SVM采用二次規劃方法求解問題，存在訓練時間較長、計算較復雜等缺點。基于此，LS-SVM應運而生。Hu等[15]和Mao等[16]采用LS-SVM對頻域載荷進行重構。基于前人的研究，本文擬采用LSSVM識別非線性系統的時域載荷。

1 最小二乘支持向量機

1999年，Suykens 提出LS-SVM，采用最小二乘線性系統作為損失函數，代替SVM采用的二次規劃算法，運算簡單，收斂快，精度高[17]。

下面介紹LS-SVM 的辨識原理[18]。L組訓練樣本集(xl,yl)，l=1,2,…,L，輸入xl∈?n輸出yl∈?。非線性函數估計為：

其中權向量w∈?n偏置值b∈?，非線性映射φ(·)把樣本從原空間映射到高維特征空間。函數估計問題可描述為下列形式：

其中：γ為懲罰因子（正則化參數），el為不敏感損失函數的松弛因子。采用拉格朗日法求解該優化問題：

式中：αl為拉格朗日乘子。根據Karush-Kuhn-Tucher(KKT)最優化條件，可得：

將式（4）表示為矩陣形式，可得：

式中：α=[α1,α2,…,αL]T，y=[y1,y2,…,yL]T，IL為單位陣。1L=[ 1,1,…,1]T。

Ωij=K(xi,xj)=φ(xi)Tφ(xj)是滿足Mercer 條件的核函數。目前常用核函數的有線性、多項式和高斯核函數。高斯核函數（或徑向基核函數）是具有全局收斂特性的線性學習算法前饋網絡，其學習速度快，應用廣泛。在此選用高斯核函數，表示形式如下：

其中：σ為核寬度。

通過L組訓練樣本集(xl,yl)計算出輸入向量系數α1,α2,…,αL和閾值b。此時，最小二乘支持向量機回歸估計為：

2 非線性連續系統的逆模型辨識

SISO 非線性連續系統的振動微分方程可表示為如下簡易形式：

對上述SISO非線性連續系統，若在某開集D內有?f/?u≠0，且在D內處處連續，則該系統可逆[19]。當上述非線性系統存在逆系統時，逆系統可表示為：

逆模型辨識的訓練樣本的輸入數據為x(l)=輸出數據為相應的激勵u(l)。根據式（10）可知，采用該時刻及下一時刻的速度、位移擬合該時刻的激勵。通過LS-SVM 的學習，由式（5）計算出輸入向量系數α1,α2,…,αL和閾值b，從而將輸入空間的數據利用非線性映射函數φ(·)投影到特征空間進行線性擬合。

3 基于LS-SVM算法的載荷識別

基于LS-SVM 的載荷識別流程如圖1 所示。首先獲得非線性系統在白噪聲激勵下的振動響應，以其作為訓練數據對非線性系統進行逆模型辨識。以訓練數據中的振動響應作為非線性系統的輸入數據，白噪聲激勵作為輸出數據，通過選取合適的LSSVM算法參數，利用LS-SVM算法即可獲得非線性系統的逆模型。然后以非線性系統實際工作狀態下的響應為逆模型輸入，則逆模型輸出即為待識別的激勵。該方法不需要獲得系統的狀態空間模型，即不再依賴于系統的具體數學模型和系統參數，少量的輸入輸出樣本數據即可完成逆模型辨識過程，為載荷識別作好準備工作。

圖1 基于LS-SVM算法的載荷識別流程圖

4 仿真結果與分析

4.1 非線性系統的逆模型辨識

本文參考文獻[20]中采用的非線性系統，在此以Duffing 非線性振子為研究對象，Duffing 振動方程為：

其中：m=1kg,c=0.4 N·s/m,k1=1.1N/m,k2=1N/m。初始位移和速度分別為=0 ms-1。

逆系統辨識過程應選取足夠豐富的激勵信號，以期充分反映出逆系統的動態特性。在此選用均值為0，方差為1 的隨機激勵信號及相應的速度、位移響應作為逆模型辨識的訓練樣本。采樣時間分辨率為0.1 s，采樣時間為20 s。隨機激勵的時間歷程如圖2 示。采用經典Runge-Kutta 法計算非線性系統在隨機激勵下的速度、位移響應，如圖3所示。

圖2 隨機激勵的時間歷程

圖3 隨機激勵作用下系統的速度、位移響應

以上述速度響應和位移響應作為訓練樣本的輸入數據，隨機激勵作為輸出數據，對非線性系統進行逆模型辨識。LS-SVM的參數選取為：懲罰因子γ=1.5×1010，徑向基核寬度σ=10。

逆模型辨識結果如圖4所示。仿真結果顯示估計激勵與真實激勵吻合很好，說明非線性系統的逆模型辨識準確。值得一提的是圖中20 s時的激勵未進行識別，給定值為0，這是由于在逆模型辨識過程中采用的是該時刻及下一時刻的速度和響應識別該時刻的激勵造成的。

圖4 逆模型輸出與隨機激勵對比

4.2 穩態激勵識別結果

非線性系統的逆模型辨識完成后，獲得輸入向量系數和閾值。在此基礎上，對非線性系統分別施加穩態和非穩態激勵，利用Runge-Kutta法獲得相應激勵下的速度和位移響應，以此作為逆模型的輸入數據，則逆模型的輸出即為外部激勵的估計值。

首先，考察對非線性系統施加如下穩態正弦激勵：

時間分辨率為0.1 s。在此正弦激勵作用下，非線性系統的速度、位移響應如圖5 所示。正弦激勵識別結果見圖6，仿真結果顯示識別的正弦激勵與實際激勵吻合得很好。

圖5 正弦激勵作用下系統的速度、位移響應

圖6 識別激勵與實際激勵的對比圖

對非線性系統施加如下雙頻正弦激勵：

采用Runge-Kutta 法計算得到的非線性系統的速度、位移響應如圖7 所示。基于非線性系統的逆模型獲得激勵的估計值，如圖8所示，結果表明識別激勵與真實激勵吻合得很好。

圖7 雙頻正弦激勵作用下系統的速度、位移響應

圖8 識別激勵與實際激勵的對比圖

通過對正弦激勵、雙頻正弦激勵的識別計算，結果表明基于LS-SVM逆模型的識別方法能夠比較精確地反演出非線性系統的穩態激勵。

4.3 非穩態激勵識別結果

下面對非線性系統的非穩態激勵進行識別研究。對非線性系統施加半正弦沖擊激勵，表達式如下示：

該沖擊激勵下非線性系統的速度、位移響應見圖9，識別的激勵結果如圖10 所示。仿真結果顯示沖擊激勵識別結果精度也較高，與實際沖擊激勵幾乎吻合。

圖9 半正弦沖擊激勵作用下系統的速度、位移響應

圖10 識別激勵與實際激勵的對比示意圖

最后，對作用于非線性系統的隨機激勵進行仿真計算。隨機激勵下系統的速度、位移響應如圖11所示，隨機激勵的識別結果如圖12 所示。同樣，隨機激勵的識別結果也令人滿意。這說明基于LSSVM算法的逆系統方法，不僅能準確識別時域穩態激勵，對非穩態激勵也是適用的。

圖11 隨機激勵作用下系統的速度、位移響應

圖12 識別激勵與實際激勵的對比示意圖

需要注意的是，在上述列舉的4 種不同形式的時域激勵識別過程中，20 s 時刻的激勵均未予以識別，而是設定為0，這是由于非線性系統的逆模型辨識造成的。原因之前已經敘述，不再贅述。

5 結語

本文將LS-SVM回歸算法引入到非線性系統的時域載荷識別問題中，獲得了較滿意的識別結果。采用LS-SVM 算法進行非線性系統的逆模型辨識，在此逆模型基礎上，采用工作速度響應和位移響應識別時域工作載荷。將載荷識別的這個復雜的逆問題轉化為最優化問題和正問題進行處理。仿真結果表明：該方法選取適當的LS-SVM參數，就能夠保證逆模型的學習能力和泛化能力；采用LS-SVM 方法能有效地反演非線性系統的穩態、非穩態載荷。此外，該方法不需要系統模型的先驗知識，只要知道少量的輸入輸出樣本即速度、位移響應和激勵即可建立非線性系統的逆模型，能夠推廣到實際工程應用中。

本文提出的基于LS-SVM算法的時域載荷識別方法為載荷識別技術提供了一條新的思路和途徑，具有一定的使用價值。本文中只對非線性系統的單激勵情況進行了研究，對采用LS-SVM 算法識別多激勵源的情況，理論上是可行的，需要深入研究。