構建不等式求解參數取值范圍問題的策略

福建省石獅市第八中學 (367200) 陳鐘洪

在高考數學試卷中，時常出現求參數取值范圍的試題，即以借助構建不等式為條件的題型的考查，該類題型不僅考查學生利用函數定義域、值域、單調性、恒成立條件等條件構建不等式解出范圍的能力，而且這類問題涉及的知識面廣、綜合能力強、思維層次高，能較好地考查學生的數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算等數學核心素養，一直都是歷年高考命題的熱點和重點.本文結合近年高考試題，對此類問題進行歸納，剖析制約求參數范圍的成因，并由此探討其解題對策.

1.利用函數定義域、值域構建不等式解范圍

某些未知參數與某已知量之間存在某等量函數關系，處理這類問題時，則可通過已有知識挖掘出它倆之間的等量函數關系，把未知參數化為關于已知量的函數，從而根據已知量的定義域、值域的不等式范圍求出未知參數的取值范圍.

A.(1,3) B.(1，3]

C.(3,+∞) D.[3,+∞)

解析：如圖1，易知P在雙曲線的右支，設|PF2|=m，則|PF1|=2m，結合|PF1|=2|PF2|知|PF1|-|PF2|=m.設∠F1PF2=θ(0<θ≤π)，且由雙曲線定義|PF1|-|PF2|=2a,從而有2a=m，于

圖1

2.利用函數性質構建不等式解范圍

高考對求參數范圍與函數性質綜合的考查最近幾年略多一點，典型的題型有：(1)利用函數的單調性構造不等式；(2)利用分離參數法構造參數與函數最值的不等式.

(1)利用特殊函數的單調性來構造不等式

某些參數取值范圍常以一些特殊單調函數如一次函數、二次函數在局部區間內、對數、指數函數等函數來呈現.因此，可利用這些函數單調性的性質，構建不等式，解出參數范圍.這類問題可很好培養學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模等核心素養.

(1)若|MF|=6，求拋物線的標準方程；

(2)利用分離參數法構造參數與函數最值的不等式

某些參數取值范圍常與恒成立不等式結合起來考查.可通過分離參數法，將參數從恒成立不等式中化歸轉化，從而構建參數與函數的最值的的不等式并解出范圍.一般有如下結論：若對于x取值范圍內的任何一個數都有f(x)>g(a)恒成立，則g(a)f(x)max.(其中f(x)max和f(x)min分別為f(x)的最大值和最小值).這類恒成立問題的探究可以很好的培養學生的數學抽象、邏輯推理、數學運算、等核心素養.

例3 (2020年全國Ⅰ卷適合于山東21)已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當a=e時，求曲線y=f(x)在點(1，f(1)處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍.

3.利用圖象法巧妙構建不等式解范圍

在允許范圍內都有f(x)>0(或f(x)<0)，則在這個范圍內f(x)的圖像都在g(x)的圖像上方(或下方)，從而由觀察圖象構建f(x)與g(x)的不等關系，即構造出參數的不等式，并解出范圍.此類問題可以很好的培養學生的直觀想象、邏輯推理等核心思想.

圖2

圖3

4.利用題目中隱藏的已知參數的范圍構建不等式解范圍

此類問題須根據題意及內在聯系，推出要求參數與題目已知參數之間的關系，利用已知參數的取值范圍進而建立所求參數的不等式，并解出范圍.該類問題可以很好的培養學生的數學抽象、邏輯推理等核心思想.

(1)當t=4,|AM|=|AN|時，求△AMN的面積；

(2)當2|AM|=|AN|時，求k的取值范圍.

5.合理聯想，運用平幾性質構建不等式解范圍

有些圓錐曲線研究某直線與圓恒有交點求參數取值范圍的問題，由于題設中有兩個參數，用解析幾何中有交點的理論將二方程聯立，用判別式來解題是比較困難.若考慮到直線過定點，且曲線為圓，則可運用平幾性質，想到必須定點在圓上或圓內，從而構建不等式，求出參數取值范圍.這類問題可培養學生直觀想象、邏輯推理等核心素養.

例6 不論k為何實數，直線y=kx+1與曲線C：x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交點，求a的范圍.

6.分類討論，利用函數構建不等式解范圍

關于二次函數的問題主要可以總結如下：

(1)若二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)大于0恒成立，則有a>0且△<0；

(2)二次函數在指定區間上的恒成立問題可以利用韋達定理以及根的分布理論求解.

本文主要是分析了幾種需要通過構建不等式能解出參數范圍的常見題型，著重研究它的題型特點、解題方法以及思路形成的規律，旨在教學實踐中切實幫助學生提高分析解決問題的能力，培養一定的數學核心素養.