關注三角形“四心”與解幾的交匯題

安徽省巢湖市第六中學 (238000) 何顯龍

關于三角形中的重心﹑垂心﹑內心﹑外心等問題在解析幾何中也經常出現，這類問題體現了平面幾何與解析幾何的相互交融，由于涉及的知識面廣，極富思考性和挑戰性，是各類選拔性考試的選題對象.下面精選一些典型例題并予以分類解析，旨在探索解析幾何中四心問題的解題方法，希望能給讀者朋友有所幫助.

1.重心 即三角形三條中線的交點，重心到頂點距離等于它到對邊中點距離的兩倍.在解析幾何中常用重心坐標公式解題.

例1 在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2上異于坐標原點O的兩不同動點A,B滿足AO⊥OB.求△AOB的重心G的軌跡方程.

評注：三角形的重心坐標公式是重心性質在解析幾何中的重要體現，從而賦予此公式的在具體解題中所起的重要作用.

評注：根據重心的性質容易確定弦MN的中點坐標，然后再抓住點在橢圓上運用“點差法”求出弦所在直線的斜率k，這樣就解決了問題的核心部分.

2.垂心 即三角形三條高線的交點，在解題中常利用高與邊垂直確定直線的斜率關系.

例3 已知圓x2+y2-9x=0與頂點在原點O，焦點在x軸上的拋物線C交于A,B兩點，若△AOB的垂心恰為拋物線的焦點，求拋物線C的方程.

評注：由于拋物線方程中只有一個待定參數，所以只要建立一個關于此參數的方程就能解決所求問題，而通過垂心找垂直是很容易得到一個等式的.

評注：由題設中的垂心得到了一個向量的等量關系，它是建立軌跡方程的關鍵條件.

3.內心 即三角形三條內角平分線的交點，內心到三角形各邊的距離相等，解題時常用角平分線的有關性質列式求解.

例5 在△ABC中，A(8，-1)，B(4，2)，內心為M(5，0)，求BC邊所在的直線方程.

評注：由于已知到內心的坐標，所以可將問題轉化為點到直線距離的問題，此處應注意：在設直線方程是需要分斜率存在與不存在的情況討論，否則易造成失根.

評注：將給出的內心條件轉化為點到各邊的距離相等，再利用已知的距離挖出了特殊角，很容易就可得到AP、AQ的斜率和直線PQ、AP方程了，下面問題的解決就簡單了.

4.外心 即三角形三條邊垂直平分線的交點，外心到三角形三個頂點的距離相等.

例7 在△ABC中，A點的坐標是(0，3)，BC邊的長為2，且在x軸的區間[-3，3]上滑動，求△ABC的外心M的軌跡方程.

評注：此法是求軌跡方程中的參數法，用參數表示B,C兩點坐標后，再求出三角形兩邊的垂直平分線方程，它們的交點就是外心了，這是從外心的定義角度分析求解的.

例8 設p>0是一常數，過點Q(2p，0)的直線與拋物線y2=2px交于相異兩點A,B，設線段AB的中點為H，試證H為△AOB(O為坐標原點)的外心；并求以AB為直徑的圓面積最小時直線AB的方程.

評注：在挖掘出此三角形為直角三角形后，那么三角形的外心就是此三角形斜邊的中點，所以找出隱含條件并給予適當的運用就是成功解題的突破口.