著眼位置關系探求與圓有關的取值范圍問題

福建省廈門大學附屬科技中學 (361000) 王 晶

在近幾年的高考題中，經常出現探求與圓有關的取值范圍問題，此類問題不但涉及許多圓的知識，也經常與其它解析幾何知識聯系在一起，有一定難度，解決問題的方法多數是抓住圓的性質，從分析相關位置入手，然后建立相關式子解題.本文著重探究位置關系，分析幾個典型題目的求解，意欲從某個側面說明一些方法，供讀者朋友參考.

一、圓上的點與直線的位置關系

圖1

評注：此處通過構造相關的幾何圖形，進行數形結合的分析，從幾何直觀中得出重要的結論，充分運用了相關圓的性質，使問題獲得了簡捷的解法.

二、圓外的點與圓的位置關系

例2 已知圓C：x2+y2=1，點P(x0，y0)在直線x-y-2=0上，O為坐標原點，若圓C上存在點Q，使∠OPQ=30°，試求x0的取值范圍.

評注：此處在充分研究了從圓外一點向圓作圓的切線的特殊性質后，得到了一個成功解題的不等式，即|OP|≤2，這是求出x0的取值范圍的關鍵.

三、兩個圓上動點的位置關系

點評：通過對向量問題化簡處理后，將問題轉化為兩個已知圓上的動點的位置關系了，從而兩圓的連心線的長度關系就是解決問題的主要手段.

四、直線與圓的位置關系

例4 已知⊙O：x2+y2=1，若直線y=kx+2上總存在點P，使得過點P的⊙O的兩條切線互相垂直，求實數k的取值范圍.

評注：在分析其幾何條件時，發現了兩點間的距離問題，再由動點P在直線上，就將題目轉化為圓與直線的位置關系問題，從而就能用圓心到直線的距離公式解題.

五、圓與圓的位置關系

例5 已知A(-2,0),B(2,0),點P在圓(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0)上,滿足PA2+PB2=40，若這樣的點P有兩個，求半徑r的取值范圍.

解析：設P(x,y)，由PA2+PB2=40得[(x+2)2+y2]+[(x-2)2+y2]=40，化簡得x2+y2=16，它是以原點為圓心，半徑為4的圓，因為滿足條件的P點有兩個，即此圓與已知圓相交，又易得兩圓的連心線長為5，于是有|r-4|<5

評注：在題目中雖然沒有給出兩個圓的關系，但通過設點、列式、化簡就清楚的顯示出是兩圓的位置關系問題了，因此對問題的深刻分析、進一步的探索是破題關鍵，很有必要.

六、轉化為其它的位置關系

評注：在解題中抓住了|PA|=|QA|，得出P、Q在以點A為圓心的一個圓上，這樣就又得到了一個二元方程，為后面建立含參數的不等式繼而求出參數范圍創造了重要條件.