陳題新得：一道高考試題的變式探究與反思

江蘇省錫山高級中學 (214074) 顧曉峰

1 引言

受文[1]的啟發，筆者基于2010年高考數學江蘇卷第18題第3問開設了一節變式探究課，問題主要考查了解析幾何中的一大熱點——定點定值，其解決過程蘊含著不同的解法角度，具有縱向延伸，橫向推廣的探究價值.筆者陳題新探，精心設計，采用過程性變式[2]的方法引導學生對問題從不同角度、不同層次進行探究，取得了良好的效果.

2 變式探究的過程

2.1 起：起于考題，初探解法

圖1

對于此問題，學生的主流思路是通過聯立方程及韋達定理用m表示出M、N的坐標，再試圖表示出MN的方程研究.筆者提醒注意的斜率是否一定存在，于是優化了做法，先討論斜率不存在的情況猜出定點，再對一般情況加以證明(利用三點共線)，這樣處理相對便利些.

2.2 承：承接思路，逆向探尋

2.3 轉：轉變眼光，縱深變式

結論3和4的條件中的要素有左、右頂點和直線x=m(或定點(n,0))，那能否將條件適當改變得出類似結論呢？筆者組織學生分組合作探究，并選取兩組同學分享成果.

圖2

2.4 換：換類思考，擴展成果

課堂的最后，筆者和學生總結了今天的收獲(7個結論)，同時拋出思考：這些性質在橢圓上成立，那在其它類型的二次曲線上會成立嗎？雙曲線與橢圓有著諸多相似之處，故類比方法，請學生課后嘗試在雙曲線上探究結論3、4、7，作為課后作業.

最終整理學生的探索成果如下：

3 變式探究的思考

3.1 變式探究利于數學抽象素養的發展

數學抽象是表現在獲得知識規則、形成思想方法、認識結構體系的重要核心素養.變式探究的教學起點可以是單一化的問題，但通過變化問題條件和結論，一般化問題，轉變模型等方式，引發學生對起始問題不斷探索進而抽象出新的知識或方法，透過現象看到問題本質從而不斷完善自身認識結構，這種低開高走而后又高瞻遠矚的教學模式利于培養學生的數學抽象素養.

3.2 變式探究應當遵循學生的認知規律

有想法才能有做法，有做法才能有方法，也就是說在變式探究教學中，起始問題要易于激起想法，教師也要尊重學生的想法.在實踐方面筆者分享兩點心得：第一，能以考題、教材中的重要結論為依據生成系列化的變式.因為素材的選取既要有針對性，更強調基于學生已有的知識基礎，而優質的高考試題或模擬試題具有很好的融合性與延伸性，教材中的部分結論生根于最基礎的數學知識卻又蘊含著使用的普適性與多樣性，兩者若能加以整合必是相得益彰的.例如本例的探究反復用到了與斜率乘積為定值有關的重要性質，這實際上是蘇教版選修2-1習題2.3(1)第5題衍生的一個結論，其研究價值極廣，適合深入挖掘；第二，尊重學生想錯了.因為想錯了表明存在認知偏差，例如課堂中有學生試圖將的位置推廣為任意關于原點對稱的兩點，我們應贊揚學生大膽思考的動機并理解其想法的合理性，同時抓住教學契機，因為糾正錯誤本身伴隨著檢驗與反思，這利于學生形成批判性思維習慣.此外，有時站在錯誤的肩膀上若能發現意外的收獲，這無疑是令人欣喜的.

3.3 變式探究促使教師提升教研能力

“教而不思則罔，思而不研則殆”，新課標的指向是在數學課堂中落實“四基四能”，那么教師本身應由單純的解題者轉變為在解決問題之下更能發現問題、提出問題的教研者.變式探究促使教師領會命題者背后的心思，結合平時的廣泛閱讀、研討與思考，深挖問題內涵，用研究成果來指導教學，最終實現教研相長.