對一道聯考選擇壓軸題的探究與拓展

安徽省南陵中學 (242400) 王 凱安徽省蕪湖市第一中學 (241000) 劉海濤

一、試題呈現與分析

分析：本題雖為小題，但綜合性強、解法靈活，考查了函數的零點，利用導數研究函數的性質，函數圖像間的位置關系等知識，考查了學生分析問題、解決問題的能力，轉化與化歸、數形結合的數學思想方法，體現了邏輯推理、數學運算、直觀想象等數學核心素養.因此，該題內涵豐富，是一道值得研究的好題，本文從兩個不同角度分析該題，并將該題予以拓展，以發揮該題的最大價值.

二、解法探究

評注：該法的基本思路是將函數解析式化簡為兩同底對數函數與指數函數作差，判斷同底對數函數與指數函數無公共點時，底數的取值范圍.另外通過解法2也揭示了該題命制的幾何背景.

三、問題的提出

數學家波利亞曾說：“解題就像采蘑菇一樣，當我們發現一個蘑菇時，它的周圍可能有一個蘑菇圈.”解答完本題后，筆者有如下思考：

問題1 若對數函數y=logax與指數函數y=ax(a>0，a≠1)的圖像有公共點，公共點是否均在直線y=x上？

問題2 對數函數y=logax與指數函數y=ax(a>0，a≠1)的圖像有幾個公共點？

四、問題的拓展

結論1 當a>1時，若對數函數y=logax與指數函數y=ax的圖像有公共點，則公共點均在直線y=x上.

證明：假設函數y=logax與函數y=ax的圖像有不在y=x上的公共點(x0,y0)(x0,y0>0)，則y0=logax0，y0=ax0，由y0=logax0得x0=ay0，由于x0≠y0，不妨設x01，則y0

說明：結論1只說明了當a>1時兩函數圖像的公共點一定在直線y=x上，但是對于公共點的個數并未說明.

結論2 當0

證明：由y=ax在(0,+∞)上遞減，y=x在(0,+∞)上遞增，又a0=1>0，a1<1，知指數函數y=ax的圖像與直線y=x存在唯一公共點，設該點為(x0,x0)，有ax0=x0，即x0=logax0，所以該點也在對數函數y=logax的圖像上，故此時對數函數y=logax與指數函數y=ax的圖像均過直線y=x上一點.

結論3 對數函數y=logax與指數函數y=ax(a>0，a≠1)的圖像：

(4)當e-e≤a<1時，相交于唯一點，且在直線y=x上；

(5)當0

證明：由結論1知，當a>1時，對數函數y=logax與指數函數y=ax的圖像沒有不在直線y=x上的公共點，于是只需討論對數函數y=logax的圖像與直線y=x的公共點即可.

因為當0

(4)當e-e≤a<1時t(x)≥t(x)min≥0，則ω′(x)≤0，函數ω(x)在(0,+∞)上遞減，又ω(a)=1-aa>0，ω(1)=-a<0，存在唯一x3∈(0,+∞)使得ω(x3)=0，即logax3=ax3.此時對數函數y=logax與指數函數y=ax的圖像相交于一點，且該點在直線y=x上.

綜上，此時對數函數y=logax與指數函數y=ax的圖像相交于三點，僅有一點在直線y=x上，由y=logax與y=ax關于直線y=x對稱，不難理解另兩點關于y=x對稱.

五、反思總結

從不同的角度出發思考問題，得到不同解法，發現知識間的內在聯系，體會知識間的轉化與化歸，構建知識間的網絡體系.這樣，我們在學習基礎知識，掌握基本技能的同時，可以有效鍛煉思維的深刻性、廣闊性、靈活性和創新性，達到舉一反三、觸類旁通、融會貫通的解題水平和能力，提高自身的數學思想和數學核心素養.安徽省“江南十校”聯考，每年三月舉辦一次，參加學校有200多所，20余萬考生參加，試題的命制凝聚著命題人的心血與智慧，是由命題團隊反復考量與打磨才成型的，對教師的教學具有導向性與啟示性.筆者認為一道好題不能僅停留在解法上，作為一線教師，還應該引導學生對題目進行深入探究，發揮題目的最大價值，將問題拓展到一般化情況.讓學生能做一題，同一類，真正實現一題多解，多解歸一.