從一道八省聯考題談函數切線問題的求解

江蘇省興化市楚水實驗學校 (225700) 袁小強

1.引例

(1)人教版《數學選擇性必修第二冊》第99頁習題5.3第12題：利用函數單調性證明下列不等式，并通過函數圖象直觀驗證：ex>1+x,x≠0.

本題要求通過函數圖象直觀驗證，如圖1，從函數圖象上看，y=ex圖象恒在y=x+1的上方，從而ex≥x+1，并且發現這兩個函數相切于點(0,1)處，但是從不等式證明角度來看，嚴格的邏輯證明只能是從定義、定理公式、法則等出發，不能通過圖象作為證明依據，于是通過構造函數h(x)=ex-x-1，利用研究導數單調性求出函數最值，從而解決問題，由h′(x)=ex-1，當x<1時，h′(x)<0，h(x)單調遞減；當x>1時，h′(x)>0，h(x)單調遞增.因此h(x)≥h(x)min=h(0)=0，因此不等式得證.

圖1

(2)人教版《數學選擇性必修第二冊》第97頁練習第1題：利用函數單調性證明下列不等式，并通過函數圖象直觀驗證：sinx

顯然該式可以推廣到一般情況：sinx0)，sinx

圖2

2.聯考題及解答

例1 (2021八省模考22題)已知函數f(x)=ex-sinx-cosx，g(x)=ex+sinx+cosx.

(2)若g(x)≥2+ax，求a.

圖3

(2)由g(0)=2發現函數g(x)過(0,2)，而y=2+ax也過(0,2)，兩個函數有公共點，如圖4，從圖象上聯想到可能是切線，也就是函數g(x)=ex+sinx+cosx在(0,2)處的切線就是y=ax+2，從而通過函數導數性質及零點存在性定理“小心求證”，從而掌握研究導數問題的一般方法：從“直觀感知”到“推理論證”.

圖4

2°、當x≥0時，令y=x+1-sinx-cosx≥x-sinx，令φ(x)=x-sinx，則φ′(x)=1-cosx≥0，從而φ(x)在(0,+∞)單調增，φ(x)≥φ(0)=0，于是x+1≥sinx-cosx；

(2)令G(x)=ex+sinx+cosx-2-ax，則G(0)=0.

1°、當a=2時，G(x)=ex+sinx+cosx-2-2x，則G′(x)=ex+cosx-sinx-2，G″(x)=ex-sinx-cosx≥0，于是G′(x)單調增，又G′(0)=0，從而G(x)在(-∞,0)單調減，在(0,+∞)單調增，G(x)≥G(0)=0成立，因此a=2；

綜上a=2.

3.變式

變式1 (2020泉州模考題)已知函數f(x)=sinx，g(x)=2x2-1.

圖5

解析：(1)F(x)的單調增區間為(0,+∞)，單調減區間為(-∞,0)(過程略).

綜上，a≥-1.

1°、當a=0時，不等式恒成立，因此a=0；

4.結語

曲線的公切線問題一直是高考的熱點，其中涉及證明、求值或求范圍問題.此類問題研究對象在變，但思想方法不變，研究套路不變，精準地把握函數導數問題的切入點“切線”，才是解決導數問題的“王道”.研究兩個函數(直線與曲線、曲線與曲線)之間的關系，借助切線(或公切線)這個紐帶和橋梁，從而巧妙地轉化為直線與曲線的關系，并用嚴格邏輯推理證明“猜想”.此類問題解題方向明確：一般是先找切線，再導數證明.導數搭臺，切線唱戲，多題歸一，從直觀感知到推理論證，這樣培養了學生的科學精神和創新意識，能引導學生感悟數學的科學價值、應用價值、審美價值，從而實現數學解題的育人價值.