一道不等式題的多種巧證和結論推廣*

安徽省合肥市第一中學 (230601) 邱均儒 谷留明(指導教師)

1 原題呈現

設x,y,z∈(0,1),求證:x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.

2 解法探析

證法1：(構造一次函數)令f(x)=(1-y-z)x+y+z-yz-1,x∈(0,1)，∴f(0)=-(y-1)(z-1)<0,f(1)=-yz<0.由于函數f(x)的圖象是一條線段,故f(x)<0.所以x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.

圖1

圖2

證法4：(構造立體圖形)如圖3,構造一個邊長為1的正方體ABCD-EFGH,在正方體中分別取邊長為x,1-y,1的長方體IOPQ-EFRS,邊長為y,1-z,1的長方體AMND-IJKL,邊長為z,1-x,1的長方體TKCN-URGV.

圖3

由于x,y,z∈(0,1),根據體積關系可知VIOPQ-EFGR+VAMND-IJKL+VTKCN-URGV=VABCD-EFGH-VMBKT-JOPW-VQWKL-SUVH,即x·(1-y)·1+y·(1-z)·1+z·(1-x)·1=1·1·1-x·y·z-(1-x)·(1-y)·(1-z)<1.

三、結論推廣

證明：如圖4所示,構造一個邊長為1的正n邊形A1A2A3...An,并分別在A1A2,A2A3,...,An-1An,AnA1上取B1,B2,...,Bn-1,Bn,使得A1Bn=x1,A2B1=x2,...,An-1Bn=xn-1,AnBn-1=xn.

圖4

四、解法探源

看到原不等式時,可以知道本題是一道三元函數的不等式問題,對于較難入手的多元函數,我們第一個想到的方法應當是主元法,故證法1是一個自然的解法.又由于三個未知數可以聯想到一個一元三次方程的三個實根,所以證法2通過這個思路也不難想到.證法3與證法4是十分巧妙的幾何證法,通過構造不等關系來證明不等式.上述四個解法均體現出“數缺形時少直觀”數學特點.當思考完這四種證法后,很自然地我們會想到推廣原來的不等式.通過對四個證法的剖析,我們可以知道原題通過證法3進行推廣是最自然的,于是就有“結論推廣”中的命題與證法.

事實上,在n≥5的情況下,“結論推廣”中的不等式是一個非常寬松的不等式,所以可以繼續思考對于n≥5是否有更加完美的形式.