2021年全國新高考Ⅰ卷解幾壓軸題的解法探究及試題溯源*

廣東省中山市實驗中學 (528404) 楊沛娟廣東省中山市濠頭中學 (528437) 張 宇

*本文系廣東教育學會教師繼續教育學會2020年度規劃課題《基于提升高中青年數學教師聽評課能力的實踐研究》(課題編號：2020gh070),廣東教育研究院規劃課題《基于STEM教育理念下圖形計算器在高中數學教學中的實踐與研究》(課題編號：GDJY-2020-Ab-259),中山市市級科研立項一般課題《基于GeoGeBra在高中數學“可視化課堂導入”的實踐與探究》(課題編號：B2020196)三個基金項目的階段性成果.

1 試題呈現

(1)求C的方程；

2 試題分析

此題的解法較多，另一個比較簡單的解法是利用參數方程，同樣思路比較清晰，并且計算量小，是一個不錯的解法.

3 試題解答

評注：用普通方程聯立原方程組，運用韋達定理，最后得出斜率間的關系，優點是思路比較清晰，但計算量比較大.

∴k1+k2=0.

評注：此解法通過構造方程得出斜率間的關系，本質上和解法1是相同的.

評注：以上前兩種解法都屬于常規解法，解法1和解法2是用普通方程的方程，設直線的方程后，利用韋達定理.解法3用參數方程，可以看出，用參數方程計算量小很多.

評注：此解法運用向量的坐標運算，結合斜率的定義，思路清楚，運算量不大，是一種比較好的解法.

以上是幾種常見的解法，此題其他解法還有，用代數法圓的定義及性質，復數法，雙曲線的參數方程法，行列式法等，限于篇幅，此處從略.留給有興趣的讀者可以作為練習.

4 試題溯源

4.1 教材題源

在普通高中人教A版數學選修4-4坐標系與參數方程第38頁例4及其變式探究.

設AB，CD是中心為點O的橢圓的兩條相交弦，交點為P，兩弦AB，CD與橢圓長軸的交角為∠1，∠2,且∠1=∠2，證明：|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

教材中例4 的類比探究題，把橢圓改為雙曲線？拋物線呢？

4.2 高考題源

2.(2005年湖北高考理科試題)設A、B是橢圓3x2+y2=λ上的兩點，點N(1，3)是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點.

(Ⅰ)確定λ的取值范圍，并求直線AB的方程；

(Ⅱ)試判斷是否存在這樣的λ，使得A、B、C、D四點在同一個圓上？并說明理由.

(Ⅰ)證明：點P在C上；

(Ⅱ)設點P關于點O的對稱點為Q，證明：A、P、B、Q四點在同一圓上.

(1)求C的方程；

(2)過F的直線l與C相交于A，B兩點，若AB的垂直平分線l′與C相交于M，N兩點，且A，M，B，N四點在同一圓上，求l的方程.

(Ⅰ)求橢圓E的方程；

4.3 競賽題源

1.(2009年江蘇高中數學競賽試題)設拋物線y2=2px及點P(1，1)，過點P的不重合的直線l1,l2與此拋物線分別交于點A,B,C,D，證明：A,B,C,D四點共圓的充要條件是直線l1,l2的傾斜角互補.

(1)確定λ的取值范圍；

(2)試判斷A,B,C,D四點是否共圓？并說明理由.

4 教學建議

在高考復習中，一定要加強三基的訓練.幫助學生梳理教材知識結構，提煉結構版塊；立足教材基本例題、習題，搞好變式研究，復習基礎知識時要引導學生突出主干知識、抓住本學科各部分知識之間的聯系和綜合，形成知識之間的縱橫聯系的網絡.

教師在教學中要選出最優秀的試題，最具典型性和最有價值的試題，講題時滲透數學基本思想，讓學生理解數學知識的本質，形成對知識的悟性，提高他們的數學思維品質及分析問題與解決問題的能力.

以數學思想方法的應用為例，函數與方程的思想、分類與整合的思想、轉化與化歸的思想等思想學生可謂耳熟能詳，為什么考場上用不上？主要原因是平時教師生硬地將這些方法灌輸給學生，學生食而不化，當然在考場上更不會熟練應用，所以重視數學思想方法的滲透和運用，要始終堅持指導學生自己進行數學思想和方法的提煉，讓學生從思想上去揭示問題的本質.在解題后進行反思和提煉是成功的經驗.發揮學生的主觀能動性和教師的主導地位，要相信學生，要把思維還給學生，要讓學生真正的成為學習的主人.同時督促學生抓好平時各個環節，比如審題要謹慎、推理要嚴密、表述要清楚、計算要準確等能力.