質疑一道高三聯考題的解析：分參？“帶參”取點？

江蘇省西亭高級中學 (226300) 瞿春波江蘇省南通市通州區教師發展中心 (226300) 瞿國華

最近，筆者在命制學校組織的模考試卷時，意外發現某地一道高三聯考題的解答存在錯誤，筆者認為有必要與“同行”一起研討此題第(2)問之解答，并探究解決導數中零點問題的若干策略.

一、問題呈現

(1)若a=1，求f(x)在x=1處的切線方程；

(2)若f(x)有2個極值點，求實數a的取值范圍.

二、錯誤解法(參考答案)

三、錯解剖析

本題的參考答案是通過“分參”，再研究構造的新函數g(x)的大致圖象，但問題在于：(1)當x→0+時，g(x)趨近于什么？這里說不清楚；(2)當x→+∞時，g(x)→+∞，此說法沒有依據，所以無法確定g(x)圖象向兩邊“發展”的趨勢，導致解法錯誤.那么如何解決“導數中零點問題”解答題呢？筆者認為不可“分參”，而應“帶參”取點研究.

四、正解探討

下面證明：函數g(x)在(0,1)和(1,+∞)上各有一個零點.

五、類題再探

已知函數f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(1)討論f(x)的單調性；

(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.

下面證明：函數f(x)在(-∞，-lna)和(-lna,+∞)上各有一個零點.

①在(-∞，-lna)(-lna>0)上取點x1，使得f(x1)>0.

②在(-lna,+∞)(-lna>0)上取點x2，使得f(x2)>0.

六、取點策略

這里需明確指出，解決“導數中零點問題”解答題時，只能“帶參”取點，不可分參作答.破解此類問題一般都要找尋函數零點,但很多時候零點難以直接求解,從而利用零點存在定理及取點證明解決.取點時，應遵循先試探，再變形，后求解的思維過程，不斷嘗試、不斷調整，直至取點成功.

策略1直接取點，先猜后證

以“取點x0∈[m,+∞)，使得f(x0)>0”為例，可以依據下列條件直接取點：①該點自變量的值足夠大且在[m,+∞)內；②該點應含參數(或某個數值)；③該點函數值為正(須證明)且易計算.

策略2適當變形，放縮取點

策略3分而治之，依次判定

以“取點x0∈[m,+∞)，使得f(x0)>0”為例，一般將函數式分成兩部分，分別確定各部分函數值為正時自變量的范圍，再取其范圍的交集.“分而治之”的過程就是尋找使其成立的一個充分條件，逐個求解不等式，放縮的落腳點是使不等式可解、易解.很多由基本初等函數經過乘除而成的新函數，找點時，可采用此方法尋找充分條件.

波利亞認為：掌握數學就要善于解答一些要求獨立思考、思路合理、見解獨到和立意新穎的試題.這就需要細致分析和深入研究, 對所遇的新問題應透過現象看本質, 去粗取精、去偽存真、由表及里、由此及彼，只有回歸問題的本質才能洞察其中的“奧秘”.

亞里士多德曾說:“思維從疑問和驚奇開始.”若將求知看作是一艘駛向新知識、新領域的輪船, 則質疑便是提供無限動力的發動機.疑問是探究的源泉, 是汲取知識的原動力，有疑惑就有探究,就有積極主動的思維活動.實踐證明,質疑是教師一種能力,是開啟創新之門的鑰匙，面對“答案”，教師應挑戰“權威”、獨立思考、敢于提問、大膽質疑,從而提高自身的教學水平.