由八省聯考壓軸題引起的思考*

江蘇省揚州中學 (225009) 戚有建

一、考題展示

題目(2021年八省聯考卷22題)已知函數f(x)=ex-sinx-cosx,g(x)=ex+sinx+cosx.

(2)若g(x)≥2+ax，求實數a的值.

點評：本題是2021年八省聯考卷的22題壓軸題，選拔題，第(1)問考查函數不等式的證明，第(2)問考查不等式恒成立，考查分類討論、等價轉化、數形結合思想，有一定難度和區分度，本題結構簡潔、表達流暢、靜中有動、平中見奇、入口較寬，解法多樣，背景豐富，令人回味無窮，極具教學價值和研究價值.

二、常規解法

解析：(1)(分區間逐段研究)

綜上得，命題(1)得證.

圖1

(2)(先做必要條件，再驗證充分性)令h(x)=g(x)-ax-2=ex+sinx+cosx-ax-2﹐則h′(x)=ex+cosx-sinx-a，因為h(0)=0≥h(x)，所以x=0是函數h(x)的極值點，所以h′(0)=0，即a=2，下面驗證充分性.此時，h(x)=ex+sinx+cosx-2x-2，h′(x)=ex+cosx-sinx-2，h″(x)=ex-sinx-cosx.

綜上得，a=2.

點評：對于第(2)小題，可以先做必要條件，再驗證充分性.關鍵是抓住h(0)=0≥h(x)，如此則有x=0是函數h(x)的極值點，從而h′(0)=0，即a=2.

三、簡潔解法

解析：(1)(構建商函數，研究商函數最值)

綜上得，命題得證.

(2)(構建商函數，研究商函數最值)

令h(x)=g(x)-ax-2=ex+sinx+cosx-ax-2，則h′(x)=ex+cosx-sinx-a，因為h(0)=0≥h(x)，所以x=0是函數h(x)的極值點，所以h′(0)=0，即a=2，下面驗證充分性.

四、命題背景

命題者是如何想到函數不等式ex+sinx+cosx≥2+ax的呢？研究后發現與泰勒公式有關.

五、背景應用

(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；

答案：(1)y=2x；(2)2.

例2(2019年全國卷I文科21題)已知函數f(x)=2sinx-xcosx-x，f′(x)為f(x)的導數.

(1)證明：f′(x)在區間(0,π)存在唯一零點；

(2)若x∈[0,π]時，f(x)≥ax，求實數a的取值范圍.