多解探究促思維 非主干知識也精彩*——以一道2020年高考向量題為例

福建省莆田第二中學 (351131) 蔡海濤廈門大學附屬實驗中學 (363123) 林運來

一、試題呈現及分析

試題主要考查平面向量的基本概念、向量的線性運算、平面向量的基本定理及坐標表示、平面向量的數量積等基礎知識；考查推理論證、運算求解、創新意識等能力；考查化歸與轉化思想、特殊與一般思想，考查直觀想象、數學運算等核心素養，具有一定的創新性，是一道有顯著特色的小題.

二、解法分析

運算求解能力是思維能力和運算技能的結合，是依據運算法則解決數學問題的能力.此題在解答時要求考生學會選擇合適的方法(或構造圖形求解、或引入向量的坐標求解、或根據向量數量積的定義求解)、合適的運算公式，更重要的是要合理選擇運算途徑，合理確定運算的方向.

圖1

三、解后反思

1.重視非主干知識的復習

非主干板塊指的是在整個高中課程內容體系中，由“六大主干”以外的內容組合在一起構成的一個特殊板塊(含集合、算法初步、平面向量、不等式、常用邏輯用語、推理與證明、數系的擴充與復數、計數原理等內容).平面向量是高中數學的非主干板塊，課時占比相對較少，但在高考試卷中所占分值較大，著重考查平面向量的基本概念、向量的線性運算、平面向量的基本定理及坐標表示、平面向量的數量積、向量的應用.因此，對于本板塊內容的處理，應該力求用較少的時間取得較大的分值比例，但是從具有選拔性質的高考答題得分角度來說，每一分都非常重要，尤其是對基礎類考題，考生應避免失誤而丟分.所以對非主干知識復習備考的關鍵在于掌握基本概念和基本運算，厘清易錯易混概念，領會數學思想方法，把握數學內容的本質.

2.不可忽視的向量工具功能

向量是數學和其他一些學科進行研究的重要且有力的工具，同時也是連接代數與幾何的橋梁之一[1].通過向量可以將幾何問題和代數問題有機地結合，既可以通過代數運算得到幾何不變量和幾何量之間的關系，也可以給代數賦予幾何直觀.向量既有大小，又有方向，是數與形相結合的一個運算量，所以在運算時即可使用“形”的方法進行運算，也可使用“數”的方法進行運算，有時還需借助“數”與“形”相結合的方法進行運算.此題考查了向量的概念、向量的位置關系與模的運算和向量運算的幾何意義等知識點，考查的內容源于教材.考生既可以利用向量的幾何意義和代數運算求解，也可以通過坐標法求解，解法靈活多樣，不同思維能力層次的考生都可以利用自己熟悉的方法來解決問題.

總之，對于一道試題，如果只追求最基本的做法，而忽略其試題本身所含有的基本數學思想、數學方法，其價值就會大打折扣.試題求解，應注重在發揮一題多解背景下的功能與價值，以期達到最小的投入，獲得最大的產出，這樣日積月累，解題意識與解題能力才會不斷提高.