知識(shí)生長循自然 深度學(xué)習(xí)促發(fā)展
——《直線的傾斜角與斜率》教學(xué)思考

新疆烏魯木齊市教育研究中心 (830002) 趙愛華

夸美紐斯的《大教學(xué)論》提出教育應(yīng)遵循自然規(guī)律的觀點(diǎn)，其直指教學(xué)中要遵循自然秩序和依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.也就是說通過對數(shù)學(xué)教材的選擇、目標(biāo)的達(dá)成、教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)等措施能夠準(zhǔn)確把握教學(xué)要素、有效完成教學(xué)任務(wù)、提高課堂效率.教學(xué)設(shè)計(jì)要最大化地合乎學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和思維特點(diǎn),要符合學(xué)生原有的數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的自然發(fā)展過程，使數(shù)學(xué)概念的提出和解決數(shù)學(xué)問題均能自然地生成符合數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯思維，讓學(xué)生在不自覺中完善自己的邏輯思維，完成學(xué)習(xí)任務(wù)、進(jìn)行深度學(xué)習(xí).深度學(xué)習(xí)是建立在理解基礎(chǔ)上的一種學(xué)習(xí)，將已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)遷移到新的問題情境中，進(jìn)而幫助做出決策、解決新問題[1].深度學(xué)習(xí)能夠引導(dǎo)學(xué)生通過深切的體驗(yàn)、深入的思考，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)、可持續(xù)發(fā)展的學(xué)習(xí)，達(dá)成對概念的透徹理解，有效克服數(shù)學(xué)淺層次的學(xué)習(xí)，促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

1 案例分析

眾所周知，直線的性質(zhì)相對于其它曲線要簡單，直線的傾斜角與斜率在現(xiàn)行教材的解析幾何內(nèi)容中，是運(yùn)用“代數(shù)方法研究幾何問題”的開山之作.我們嘗試借助坐標(biāo)把直線(幾何)問題轉(zhuǎn)化為方程(代數(shù))問題，進(jìn)而通過方程(代數(shù))運(yùn)算研究直線(幾何)的性質(zhì)[2].學(xué)生初中學(xué)習(xí)過一次函數(shù)，畫過具體的一次函數(shù)圖象.本節(jié)課首先要了解直線方程的概念，重難點(diǎn)在理解傾斜角的定義及斜率的定義，領(lǐng)悟直線上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的傾斜角、直線的斜率兩者之間的關(guān)系.根據(jù)學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，可嘗試將斜率的定義環(huán)節(jié)和已知兩點(diǎn)求直線斜率環(huán)節(jié)進(jìn)行整合.從知識(shí)呈現(xiàn)自然的角度看，初中階段一次函數(shù)的圖像,學(xué)生知道其代表一條直線，知b是直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，其中k的幾何含義是什么，學(xué)生并不是非常清楚，若b不變k變化時(shí)，直線可以看成是繞著點(diǎn)(0,b)旋轉(zhuǎn)，有些同學(xué)就會(huì)發(fā)現(xiàn)k是表示傾斜程度的量.于是在這里，可以讓學(xué)生求一下直線y=kx+b的k，從而建立與傾斜角之間的關(guān)系引出斜率和斜率公式.從問題自然產(chǎn)生來看，直線上的一點(diǎn)以及它的傾斜角可以確定一條直線，兩點(diǎn)也可以確定直線，要探究的問題即為：直線上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)與直線的傾斜角α有幾何關(guān)系.從方法形成自然來看，已知直線上一點(diǎn)和直線斜率如何畫直線，這樣可以實(shí)現(xiàn)初高中的無縫銜接，能把初高中相關(guān)知識(shí)整合在一起，構(gòu)建全新的、一致的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，深化直線知識(shí)的理解.

1.1 直線方程概念的初步了解

先出示x-y-2=0，然后分步提問：(1)這個(gè)等式叫什么？(2)這個(gè)方程的解有多少組并說明為什么是方程的解；(3)方程x-y-2=0所有的解在幾何上表示什么(幾何意義)？ (4)反過來這條直線上任意一點(diǎn)滿足方程x-y-2=0嗎？筆者借助GeoGebra平臺(tái)，讓學(xué)生觀察直線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算后發(fā)現(xiàn)滿足方程x-y-2=0，由此指出(直線的)方程x-y-2=0與(方程的)直線x-y-2=0的一一對應(yīng)關(guān)系.接下來分別出示初中不研究的x-1=0,y-1=0加以強(qiáng)調(diào)說明.在此基礎(chǔ)上，歸納出直線方程的概念.讓學(xué)生對直線方程有初步的了解.接著，就介紹解析幾何創(chuàng)始人笛卡爾解決問題的理論設(shè)想：將任何問題歸納轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，繼而歸納轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，最終通過解決方程問題來求解，這一設(shè)想雖未能實(shí)現(xiàn)，但笛卡爾成功創(chuàng)立了解析幾何，實(shí)現(xiàn)了將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，即在平面直角坐標(biāo)系中，把點(diǎn)用坐標(biāo)(x,y)表示，把曲線上動(dòng)點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)x,y之間的相互依存、相互制約的關(guān)系用方程f(x,y)表示，然后通過研究方程來研究曲線.因?yàn)橹本€是最簡單的曲線我們從研究直線開始[3].從而引出課題“直線的傾斜角與斜率”.

意圖：從學(xué)生熟悉的一次方程出發(fā)，從方程解的幾何意義與一次函數(shù)的關(guān)系等全新的思考角度，最大化激發(fā)了學(xué)生的好奇心.作為解析幾何的起始課，抓住“了解”這一契機(jī),能舍得時(shí)間在直線方程的概念和數(shù)學(xué)史的相關(guān)內(nèi)容上，將數(shù)學(xué)文化的理性和創(chuàng)新精神融入其中，為后面學(xué)習(xí)圓錐曲線方程的概念打下一定的基礎(chǔ)，也符合現(xiàn)行單元設(shè)計(jì)理念.學(xué)生借助笛卡爾坐標(biāo)這個(gè)橋梁，在初中學(xué)習(xí)函數(shù)圖像的基礎(chǔ)上，對“數(shù)”與“形”的聯(lián)系有了進(jìn)一步地認(rèn)識(shí).

1.2 運(yùn)用角定義傾斜過程

問題1 人教A版必修2第82頁的思考：對于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一條直線l，它的位置由哪些條件確定呢？(1)過兩點(diǎn)能確定嗎？(2)過一點(diǎn)+傾斜程度(方向)能確定嗎？(3)如果直線過一已知點(diǎn)，這些直線的傾斜程度各不相同，如何刻畫直線傾斜程度？追問對于一條直線而言，哪些角可以刻畫直線的傾斜程度？ (4)如何給選定的角命名？如何用文字語言描述你所選定的角？(5)特殊的直線(不與x軸相交)傾斜程度的角如何規(guī)定？(6)刻畫直線傾斜程度的角的范圍如何規(guī)定？

意圖：從傾斜角定義過程來看，知識(shí)的呈現(xiàn)是自然的，絲毫沒有強(qiáng)加給學(xué)生.通過對問題串的分析，導(dǎo)出“確定直線傾斜程度的問題”，直接明確本節(jié)課的學(xué)習(xí)方向.其余問題來源于傾斜角定義中所有規(guī)定的內(nèi)容，需要學(xué)生決策，具有一定的挑戰(zhàn)性，其中師生、生生討論的內(nèi)容，已經(jīng)選擇性地在合理的范圍內(nèi)高度融合了知識(shí)生成過程，又將其巧妙地規(guī)定在學(xué)生的能力范圍之內(nèi)，使學(xué)生積極投入到學(xué)習(xí)中.讓師生不僅在共同經(jīng)歷了傾斜角誕生的全過程中凸顯了知識(shí)生成過程的選擇性，更對定義的合理性有了較深認(rèn)識(shí)，深度學(xué)習(xí)也就自然發(fā)生，學(xué)生的思維不會(huì)停留在淺層次的，進(jìn)而得到深層次鍛煉.

1.3 運(yùn)用兩點(diǎn)定義斜率過程

部分教師依照人教A版必修2第83頁的思考：日常生活中，還有沒有表示傾斜程度的量，隨后這樣表述如果我們使用傾斜角這個(gè)概念，那么這里“坡度”實(shí)際就是傾斜角α的正切，我們把一條直線的傾斜角α的正切叫做這個(gè)直線的斜率，類比“坡度”直接引出“斜率”,然筆者認(rèn)為這值得深思.“坡度”是學(xué)生在學(xué)習(xí)九年級(jí)下冊“解直角三角形”一章時(shí)，解決具有實(shí)際背景一道習(xí)題時(shí)所涉及的一個(gè)概念，教材直接定義式給出，并未給出進(jìn)一步說明.筆者曾與部分初中數(shù)學(xué)教師溝通“坡度”問題時(shí)，大多均表示僅就題而簡單介紹一下“坡度”概念，更多地把視角集中在直角三角形相關(guān)性質(zhì)的研究中，幾乎花過多的時(shí)間讓學(xué)生做更深層次的思考.比如，對于為什么“坡度”是用“上升高度”與“前進(jìn)寬度”的比，而不用“上升高度”與“斜面長度”的比表示，這樣的問題教師基本不會(huì)有時(shí)間讓面臨中考的九年級(jí)學(xué)生進(jìn)行深入探究.“坡度”概念學(xué)生充其量只知其“表”不知其 “本”，若將“坡度”遷移到新概念(斜率)，其實(shí)對“斜率”的理解，還是困難的，也稍顯得不自然，并且，“坡度”解釋“斜率”定義的合理性只能局限在傾斜角為銳角的時(shí)候.筆者建議引入“斜率”概念后，可以回顧“坡度”定義解釋其合理性，值得一提的是新教材也大致是這種處理方式.

問題2 初中階段學(xué)習(xí)過一次函數(shù)的圖象，知道其代表一條直線，兩點(diǎn)可以確定直線或者一點(diǎn)+傾斜程度(方向)確定直線，其中b是直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，(1)當(dāng)b不變k變化時(shí)，直線可以繞著定點(diǎn)(0,b)旋轉(zhuǎn)，k有什么幾何含義?(2)那么k是不是可以刻畫直線的傾斜程度呢？與我們剛學(xué)習(xí)的直線傾斜角有什么聯(lián)系？(3)我們知兩點(diǎn)確定一條直線，直線確定其傾斜角就確定了，若直線過點(diǎn)(1,0)和點(diǎn)(2,1)，求直線y=kx+b中的k是多少？(4)若直線的上兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),(x1≠x2)與直線y=kx+b中的k有什么關(guān)聯(lián)呢？(5)與直線的傾斜角α有何聯(lián)系呢？

意圖：問題2直接抓住學(xué)生最近發(fā)展區(qū)，從知識(shí)的聯(lián)系中、問題的解決過程中使斜率的定義自然出現(xiàn).把直線斜率的定義過程與探索“直線上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)”與“直線的傾斜角α的關(guān)系過程融為一體”，讓斜率的坐標(biāo)計(jì)算公式成為這個(gè)過程的一個(gè)自然結(jié)果，并且將特殊問題一般化，在尋找直線上“任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)”與“傾斜角”的數(shù)量關(guān)系的過程中發(fā)現(xiàn)變化中的不變量(tanα),自然引入斜率的概念，讓深度學(xué)習(xí)自然發(fā)生，將學(xué)生始終置與學(xué)習(xí)的主體地位，充分調(diào)動(dòng)自身固有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行自主地知識(shí)遷移，經(jīng)歷概念從不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)絿?yán)謹(jǐn)?shù)男纬蛇^程，培養(yǎng)且發(fā)展了抽象概括、符號(hào)表達(dá)、分類討論、數(shù)形結(jié)合、推理論證等能力.

問題3 已知A(3,2)、B(-4,1)、C(0,-1)，求直線AB、BC的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是什么角？

變式把問題3中的B點(diǎn)坐標(biāo)改為(3,1)、(a,b)，此時(shí)直線AB的斜率和傾斜角是什么角？

意圖：由點(diǎn)求斜率，讓學(xué)生進(jìn)一步兩點(diǎn)求直線斜率和厘清直線斜率與傾斜角之間的關(guān)系，“形”與“數(shù)”的關(guān)系加深對直線傾斜角、斜率和斜率公式應(yīng)用和理解.通過變式滲透分類討論的思想.

2 反思與提升

在直線傾斜角與斜率的課后學(xué)生訪談中，學(xué)生對能用直線上任兩點(diǎn)的坐標(biāo)刻畫傾斜程度，表現(xiàn)出很強(qiáng)的成就感和自信感，從課堂教學(xué)的立意看，我們實(shí)現(xiàn)了引言中，“把幾何問題代數(shù)化，用坐標(biāo)表示點(diǎn)，用方程表示曲線”的這一深遠(yuǎn)著眼點(diǎn)，也實(shí)現(xiàn)單元教學(xué).從課堂教學(xué)的主干看，對主體概念可謂不惜著墨、反復(fù)實(shí)踐，從具體到抽象，讓學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)與所學(xué)新知不脫節(jié)，知識(shí)的生成過程從初中所學(xué)習(xí)一次函數(shù)中的含義到傾斜角的正切其表達(dá)無跳躍，進(jìn)一步體會(huì)知識(shí)生成的自然和概念的深度學(xué)習(xí)，充分體現(xiàn)“坐標(biāo)法”將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.結(jié)尾時(shí)用四句話總結(jié)一節(jié)課所學(xué)習(xí)知識(shí)：確定直線需方向，傾角斜率變化強(qiáng)，正切圖像心中有，數(shù)形結(jié)合更飛揚(yáng).以此增強(qiáng)課堂趣味性，讓數(shù)學(xué)變得更具詩意性.

教材是教學(xué)內(nèi)容的載體和藍(lán)本，教師需要在理解教材、理解學(xué)生的基礎(chǔ)上，明確用什么教及教什么.更要通讀教材及教學(xué)大綱，把握好數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的整體性和聯(lián)系性，才能在教學(xué)素材中不斷提煉數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)，反復(fù)在課堂中嘗試打磨反思，進(jìn)而做大膽嘗試去甄別最優(yōu)教學(xué)素材，或者因地制宜地適當(dāng)改造教學(xué)素材,在不改變教學(xué)素材背景的前提下變換其蘊(yùn)含的內(nèi)容與思想，節(jié)省學(xué)生熟悉教學(xué)素材的時(shí)間.教師需要特別注重每個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)之間的過渡，使由多個(gè)環(huán)節(jié)組成的課堂，達(dá)到最大化簡約原則，真正做到源于教材而又不拘于教材，這樣的課堂深度學(xué)習(xí)才會(huì)發(fā)生，使數(shù)學(xué)知識(shí)從表層走向深刻，從零散走向系統(tǒng)，高效完成課堂教學(xué)內(nèi)容，回歸教學(xué)本質(zhì).在此過程中也使學(xué)生能夠進(jìn)行有步驟的高階思維，理解學(xué)科本質(zhì)和知識(shí)意義，達(dá)成核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與發(fā)展.