從“定義描述”到“邏輯推理”
——由“曲線與方程”課堂教學引發(fā)的思考

浙江省象山縣第二中學 (315731) 馬燕青

最近，筆者參加了縣教壇新秀的課堂教學評比，課題是“曲線與方程”.“曲線與方程”是解析幾何核心思想——“用代數(shù)方法研究幾何問題”的理論依據(jù)，它解釋了曲線與方程之間的對應關系，展現(xiàn)了“數(shù)與形”、“靜止與運動”的對立統(tǒng)一.因此，本節(jié)課在高中數(shù)學中的教學地位非常重要.

1 教學的目標定位：“學生能夠描述定義”

在教材(人教A版)中，本節(jié)課只占區(qū)區(qū)“30余行字”，所有的內(nèi)容都是圍繞著“曲線方程”與“方程曲線”的概念展開，因此，筆者認為本節(jié)課的教學目標就是讓學生理解什么是“曲線方程”與“方程曲線”的基礎上能夠對具體的問題進行“純粹性”與“完備性”的證明.主要教學過程如下：

1.1 創(chuàng)設情境，引入課題

問題1 已知曲線C：第一、三象限角平分線和三個方程f(x,y)=0：①x-y=0,②x-y=0(x≥0),③|x|=|y|，試判斷 ：

(1)曲線C上各點的坐標是否都是相應方程f(x,y)=0的解 ；

(2) 以相應f(x,y)=0的解為坐標的點是否都在曲線C上?

意圖：直接設問明晰思考方向，適當反問誘發(fā)學生的深入思考，為曲線與方程概念的獲得鋪設第一步臺階.

問題2 你能寫出下列圖1，圖2曲線對應的方程嗎？

圖1 圖2

意圖：利用學生熟悉的曲線寫出其相應方程，進一步理解曲線上的點的坐標與方程的解之間的對應關系，為曲線與方程概念的獲得鋪設第二步臺階.

1.2 自主探究，形成概念

問題3 根據(jù)上述兩個問題的解答，請回答下面兩個問題：

(1)對給定的曲線C，如用一個方程f(x,y)=0來表示，那么該方程應該滿足哪些條件？

(2)在給定的平面直角坐標系中你認為每條曲線C是否只有唯一的方程f(x,y)=0和它對應？反過來呢?

意圖：揭示曲線與方程之間的對應關系，抽象出“曲線的方程與方程的曲線”的概念.

一般地，在給定的平面直角坐標系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程的實數(shù)解建立了如下的關系：①曲線上的點的坐標都是這個方程的解；②以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線.并說明曲線的方程反映的是圖形所滿足的數(shù)量關系;方程的曲線反映的是數(shù)量關系所表示的圖形.

1.3 數(shù)學運用，深化概念

例1 判斷下列命題是否正確，并說明理由.

(1)到x軸距離等于1的點的軌跡方程為x=1；

(2)△ABC的頂點A(0,-3),B(1,0),C(-1,0),D為BC的中點，則中線AD的方程為x=0；

(3)到兩坐標軸的距離之積等于1的點的軌跡方程為|xy|=1.

例2 證明：以坐標原點為圓心，半徑等于2的圓的方程為x2+y2=4.

意圖：用兩道例題來深化對“曲線與方程”概念的理解，學會用圍繞著曲線的方程與方程的曲線的定義來驗證數(shù)與形之間的等價性.

教學反思：通過本節(jié)課的教學，學生基本能夠求出曲線對應的方程，但在證明“曲線與方程”的等價性時卻出現(xiàn)了問題.學生看似能夠熟練的“描述”曲線的方程與方程的曲線的等價性.比如，在例2中，學生會說“圓上點所對應的坐標都是方程x2+y2=4的解，反過來以方程x2+y2=4的解為坐標的點都在圓上”.隨后，筆者把問題改為“求以坐標原點為圓心，半徑等于2的上半圓的方程”，學生給出的曲線方程是“x2+y2=4(y>0)”，方程顯然正確，但當筆者問道“怎么證明所求的方程就是半圓的方程”，學生給出的理由就是把對“例2”描述重復一遍，唯一的差別就是把其中的“圓”替換成了“半圓”，當筆者追問“怎么驗證半圓上的點都滿足方程x2+y2=4(y>0)” 時，多數(shù)學生一臉茫然…，可見，學生是“知其然而不知其所以然”，對“方程與曲線”的一致性的證明只是停留在對概念本身的“描述”階段，而沒有真正的理解其中的數(shù)學原理，即為什么可以這樣描述？

2 反思：“定義描述”無法替代“邏輯推理”

本節(jié)課的教學為什么不能取得預期的教學效果，主要原因是教學難點沒有得到真正的突破.表面上看，“曲線的方程與方程的曲線”的概念是本節(jié)課的重點與難點，似乎概念能“描述”清楚，教學目標就能夠達成，從而導致教師過分地關注對“曲線的方程與方程的曲線”概念本身的描述，而忽視了對“曲線與方程”等價性原理的揭示，其所產(chǎn)生的后果就是學生對“曲線與方程”的認知只能在記憶與模仿的低級思維層面徘徊，面對具體的問題只能是“依樣畫葫蘆”.

實際上，“邏輯推理”才是這節(jié)課的核心，從“曲線與方程”概念的生成到判斷證明，無一不需要經(jīng)過邏輯推理.作為數(shù)學核心素養(yǎng)之一的邏輯推理，它是一種基于事實和命題，并根據(jù)規(guī)則推導出其他命題的素養(yǎng).邏輯推理主要包括兩類推理：一類是從特殊到一般的推理，主要有歸納、類比兩種推理形式；另一類是從一般到特殊的推理，主要就是演繹推理.在本節(jié)課中，一方面，需要通過歸納與類比推理來“驗證某個特殊點在或者不在曲線上”從而引導學生發(fā)現(xiàn)“曲線與方程”之間的關聯(lián)性，獲得“曲線的方程與方程的曲線”的概念；另一方面，需要通過演繹推理從純粹性與完備性兩個角度來驗證“曲線與方程”的等價關系，從而使學生掌握推理的基本形式和規(guī)則，體會以形描數(shù)，以數(shù)敘形，數(shù)形一統(tǒng)的解析幾何基本思想.但教學中以“定義描述”來替代“邏輯推理”的不當做法淡化了證明的推理屬性，導致學生對“曲線與方程”的理解無法觸及本質(zhì).

3 教學目標再定位：“學生學會邏輯推理”

由此可見，學會邏輯推理才是“曲線與方程”這節(jié)課的教學重點.推理作為不可或缺的思想方法，滲透在數(shù)學的產(chǎn)生與發(fā)展過程中，數(shù)學家陳省身說過，學生應該學會推理，推理很要緊， 推理不僅在數(shù)學，在其他學問里也是要用到的.《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》明確指出，培養(yǎng)和提高學生的演繹推理或邏輯證明的能力是高中數(shù)學課程的重要目標，合情推理和演繹推理之間聯(lián)系緊密、相輔相成.由于學生第一次接觸關于“曲線與方程”關系的嚴格論證，缺乏相關的學習經(jīng)驗，因此，需要對推理的過程進行系統(tǒng)的設計.

3.1 立足“運動中的不變性”，明確推理的依據(jù)

對于“曲線與方程”等價性的推理主要存在兩大障礙：一是“曲線”呈現(xiàn)出來的是直觀的“形”，而方程反映的是抽象的“數(shù)”，它們分屬于不同的數(shù)學對象，很難進行直接對比；二是曲線上有無數(shù)個點，方程有無數(shù)個解，從數(shù)量上無法做到逐一對比.突破這兩大障礙的關鍵是要找到溝通“曲線”與“方程”的橋梁.那這個橋梁到底是什么呢？其實就是曲線所遵循的運動規(guī)律、幾何屬性，即“運動中的不變性”.

又比如，證明“第一、三象限角平分線”與方程“y-x=0”的等價性，關鍵要驗證曲線上的點與方程的解都滿足角平分線的幾何屬性，即“到角兩邊的距離相等.“第一、三象限角平分線”上任意一點的坐標為(x,x)，顯然到兩坐標軸的距離都相等；方程“y-x=0”的任意一組解都滿足|y|=|x|，進一步變形為|y-0|=|x-0|，根據(jù)絕對值的幾何意義，方程所表示的就是“到坐標軸兩邊距離相等”.不論是“第一、三象限角平分線”，還是方程“y-x=0”，它們都是對角平分線幾何屬性的刻畫，因此它們是等價的.

如圖3，在解析幾何中，一方面用方程來表示曲線“運動中的不變性”，另一方面可以通過分析方程的結構特征來發(fā)掘其所蘊含的“運動中的不變性”，從而實現(xiàn)數(shù)形一致性的驗證.由此可見，“運動中的不變性”才是“曲線與方程”等價性推理的依據(jù)，這個依據(jù)教材雖然沒有明確指出，但縱觀前面的直線與圓，還是后面的圓錐曲線，都是按照“探索定義——求解方程——等價性檢驗”套路展開的，其中“探索定義”實質(zhì)上就是研究曲線“運動中的不變性”，只有定義得到明確方程才能得以求解.因此，在本節(jié)內(nèi)容的教學中，首先應該強調(diào)曲線上點的“運動中的不變性”，即要把曲線的“定義”凸顯出來，在學生明白“曲線是怎么來”的基礎上再進行等價性的推理.

圖3

3.2 經(jīng)歷特殊到一般的過程，明確推理的步驟

圖4

數(shù)學概念一般分為兩類，一類是對現(xiàn)實對象或關系的直接抽象，這類概念與生活現(xiàn)實接近，容易理解；另一類是純粹的數(shù)學邏輯構造，這類概念高度抽象，沒有客觀現(xiàn)實與之對應.“曲線與方程”恰恰屬于后一類，從淺層上看它是對兩個概念的抽象表述，但從深層次上看恰恰是對兩個概念邏輯關系的驗證.李邦河院士認為 “數(shù)學從根本上玩的是概念”，因此，教師要依據(jù)數(shù)學概念類型來規(guī)劃教學流程，在教學中更是要做到“不惜時,不惜力”.