立足“厚”“薄”教學 培養(yǎng)數學抽象素養(yǎng)

江蘇省灌南高級中學 (222500) 唐志林 劉鑫鈞

《普通高中數學課程標準(2017)》(以下簡稱《新課標》)最大的一個亮點就是數學核心素養(yǎng)的提出.史寧中教授曾指出新課標所設定的核心素養(yǎng)的本質就是抽象、推理、模型[1]，而數學抽象素養(yǎng)又居于六大核心素養(yǎng)的首位，因此對于如何培養(yǎng)和發(fā)展學生的數學抽象素養(yǎng)就顯得尤為重要.然而在高三復習教學中學生往往只見“厚”的教學，卻未見教學的“薄”，因此需要提高學生對問題不斷抽象的水平，從而把握問題本質.本文擬就在“厚”“薄”數學觀下研究如何培養(yǎng)學生的數學抽象素養(yǎng).

一、“厚”“薄”數學觀與數學抽象素養(yǎng)

(一)“厚”“薄”數學觀

道生一，一生二，二生三，三生萬物，學習的關鍵在于領悟到“道”，而要領悟到“道”就需先得“一”，這個“一”應該是簡單的，也是最本質的.在平常的教學中，我們總是追求結論清晰，盡量做到一言以蔽之，就是對“薄”的追求.同時我們也總是希望解法簡潔明了，讓學生一看就能明白問題的本質，亦是對“薄”的苛求.因此，“薄”就是簡單、簡潔、簡約，就是老子所講的“一”，是我們在數學教學中的最高追求.然而在高三復習教學中學生往往被厚厚的書本和沉甸甸的試卷壓得喘不過氣來，教師不斷的重復拉網式的講題，使學生不堪忍受.因此，“厚”體現(xiàn)在多雜、繁雜、亂雜，就是老師所講的“萬物”.平常教學中的“厚”使得學生陷入題海而不能自拔，使得學生只見“萬物”而未得“一”.

(二)數學抽象素養(yǎng)

所謂抽象，是指從一類事物中舍去個別的、非本質的屬性，抽取共同的、本質的屬性的思維過程.抽象的本質是對同類事物的刻畫與構造.數學抽象是指通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的過程.主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結構，并用數學語言予以表征.數學抽象具有純粹性、層次性、形式化等特征.

一是純粹性.數學抽象只考慮數量關系與空間形式，譬如我們只見過直的木棍，直的鉛筆，但是誰又曾見過數學研究對象中真正的“直線”.經數學抽象所得到的概念、命題等是屬于“理性的世界”.譬如，用筆畫出了圓，圓畫好了，但這真的是圓嗎？事實上線條上的每個點一定不會跟圓心有相同的距離，因此是個不完美的圓，而數學定義上的圓，線條不能有寬度，線條上的點到圓心的距離都是相等的.真正的圓是不可畫，也不可見，只能通過思想認知，圓是作為一個理性來認知，因而數學抽象具有純粹性.

二是層次性.對于有感性的、現(xiàn)實的事物或問題上升為數學抽象，往往需要經歷多個層次，即可以進行多級抽象.從現(xiàn)實中的距離感抽象出歐式幾何中的距離，再逐級抽象到泛函分析中距離的概念：X是任意一非空集合，對于X中任意三點x,y,z，存在一實數d(x,y)滿足d(x,y)≥0，當且僅當x=y時取等號；d(x,y)=d(y,x)；d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)，則稱d(x,y)為x與y之間的距離.正如徐利治教授所說：數學抽象概念的發(fā)展是具有層次性的.抽象層次越高，概括性亦越強,其應用就更具廣泛性.

三是形式化.數學符號是數學思維的重要載體，大量數學符號的使用，才使得對數學對象的研究轉為形式化的分析變得可能，使得數學概念、命題及公式等在表述上更加簡潔、嚴謹，在思維上更加清晰、有序，在理解上更容易認識本質結構及內在聯(lián)系.

二、“厚”“薄”數學觀下數學抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的策略

我們認為，應該從展“形”、變“形”與析“形”，忘“形”，得“一”這五個過程來闡述在高三復習教學中如何忘“形”得“一”，實現(xiàn)教學的“厚”向教學的“薄”的轉化.

(一)展“形”——表征圖形中元素位置形態(tài)

《普通高中數學課程標準》(2017)強調：對學生“直觀想象”這一數學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，培養(yǎng)理解和解決數學問題的素養(yǎng).因此，在解題教學中要鼓勵學生把試題中元素的位置形態(tài)用圖形語言表示出來.從哪入手呢？

例過點P(-4,0)的直線l與圓C:(x-1)2+y2=5相交于A，B兩點，若點A恰好是線段PB的中點，則直線l的方程為.

例題的圖形表征大致如圖1所示，在表征的過程中認識到只有當l處于一個特定位置的時候，A才可能恰好是線段PB的中點，在畫圖的過程中，發(fā)現(xiàn)學生畫圖的順序有所不同，有的同學是先畫直線，后標注點A，B，即先產生直線，因此可以先假設直線斜率k，然后求點；也有同學先畫點，再連接兩點所在直線，最后出現(xiàn)另一點，這樣就可以設點來做.利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，在圖形表征過程中實現(xiàn)了動態(tài)的理解問題.

圖1

(二)變“形”——變換圖形中元素及位置關系

解題教學不僅要一題多解，更要善于多題歸一，要善于對問題進行變式，通過變式教學，使數學教學有層次地遞進，從而深化對這類問題本質的認識.

1.改變元素

①由定點變動點得到：

變式1 過點E(2,t)作直線l與圓C:x2+y2=1交于M，N兩點，若M點恰好是線段NE的中點，則實數t的取值范圍是.

②由豎線變斜線得到：

變式2 已知圓C:(x-2)2+y2=1，點P在直線l:x+y+1=0上，若過點P存在直線m與圓C交于A，B兩點，且點A為PB的中點，則點P橫坐標x0的取值范圍是.

③由定圓變動圓得到：

變式3 已知△ABC的三個頂點A(-1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圓為⊙H．對于線段BH上的任意一點P，若在以C為圓心的圓上都存在不同的兩點M,N，使得點M是線段PN的中點，求⊙C的半徑r的取值范圍.

2.變更條件

①由中點變向量得到：

圖2

②由直線變動圓，中點變比例得到：

變式5 在平面直角坐標系xOy中，圓C1:(x+1)2+(y-6)2=25，圓C2:(x-17)2+(y-30)2=r2．若圓C2上存在一點P，使得過點P可作一條射線與圓C1依次交于點A,B，滿足PA=2AB，則半徑r的取值范圍是.

(三)析“形”——整合相關圖形

例題及相關5個變式的圖形表征如上圖所示，下面需要的就是整合這六個圖形，即把一些零散的內容通過某種方式而彼此銜接，其主要的精髓在于將零散的要素組合在一起,并最終形成有價值有效率的一個整體.

(四)忘“形”——抽象基本模型

首先，我們可以看出例1至變式2，定點變動點，直線可以是橫線(x軸)亦或是豎線與斜線，其中線段比例關系為1∶1，圓始終是定圓.因此，這三個圖形可以抽象為下列一個基本的模型.

模型一過直線l上一點P作一條直線，交定圓于A，B，其中PA∶AB=1∶1.

(五)得“一”——對模型本質的概括與普適性解法的提煉

在高三的解題教學之中，如果我們就題講題，那么教師與學生都將陷于題海之中而不能自拔，如何得其“一”，而忘其形呢？關鍵的一步就是要對題型及解法抽象，并實現(xiàn)歸一.

1.題型的概括抽象

2.解法的提煉與統(tǒng)一

由以上分析我們發(fā)現(xiàn)這些試題本質上是一類題型，因此，在教學過程中應引導學生掌握這一類題型的普適性解法，而不是一題一題的講解.為便于具體說明，這里以曲線C為直線或圓，C1為圓H:(x-a)2+(y-b)2=r2為例.

三、結語

教師在平常的解題教學過程中不僅要讓學生獲得問題的解決，更應當培養(yǎng)學生對一類問題解決的能力，這就需要對問題不斷的展“形”、變“形”、析“形”將知識讀厚，通過忘“形”及抽象將知識、方法不斷讀薄，乃至得“一”，讓學生不斷經歷抽象的過程，培養(yǎng)學生對一類問題模型的識別與概括能力，讓學生領悟一類問題解決的具有普適性的思維方法.既要看到樹木，更要看到深林.不僅要鍛煉學生解決問題的靈活性，更要突出對解法共相、本質上的提煉，從而使數學抽象素養(yǎng)在課堂上真正落地.