基于合情推理模式的數學能力培養(yǎng)研究

常安成

基于合情推理模式的數學能力培養(yǎng)研究

常安成

（湖南信息學院，湖南 長沙 410151）

“幫助學生學會基本的數學思維方法”是新一輪數學課程改革設定的一個基本目標。本文通過研究合情推理下的解題方法，提出了幾個有利于培養(yǎng)學生數學思維的基本方法。

合情推理；數學思維；一般化；特殊化；類比

日本數學家米山國藏曾經提出：“學生在初中、高中、大學等接受數學知識，如果這些知識沒有經歷應用能力的培養(yǎng)、訓練、熏陶等，通常會因畢業(yè)后幾乎沒有什么機會應用這種作為知識的數學，導致學生出校門后不到一兩年，就將其忘記了。然而，不管他們從事什么職業(yè)、崗位，唯有那些深深銘刻于頭腦中的數學思想、精神、思維方法、研究方法、推理方法和著眼點等（若培養(yǎng)了這方面的素質的話），才能隨時隨地發(fā)生著作用，使他們終生受益。”

“幫助學生學會基本的數學思維方法”也是新一輪數學課程改革所設定的一個基本目標。

從現代的觀點來看，學習過程不僅僅是對知識的理解、掌握和記憶，還是對事物的理解從特殊到一般加以認識和思維的過程，最終得到從本質上掌握分析、探索、解決問題的方法。從理解、掌握和記憶知識到從特殊到一般事物認知，直至掌握解決問題的方法，這些都是整個復雜思維過程的材料構件，因為整個復雜思維過程本身就是學生素質養(yǎng)成的體現，也是學生的智能教育，思想教育及發(fā)展水平的具體呈現。

著名數學家柯爾莫戈洛夫指出：“在不適宜用標準解法的情況下，尋找一條解題途徑的能力，就是數學思維的本質之一。”

合情推理是波利亞的“啟發(fā)法”（heuristic，即“有助于發(fā)現的”）中的一種推理模式。下面我們嘗試通過合情推理能力的培養(yǎng)，提出數學思維的幾個基本模式，它是由一些幫助尋求解題途徑為目標的建議組成。這些方法雖不能保證準確無誤地解決問題，但能在不適宜用標準解法的情況下，幫助學習者尋找一條有效解題的途徑。

1 一般化（推廣）

著名數學家希爾伯特曾經指出：“在解決一個數學問題時，如果我們沒有獲得成功，原因常常在于我們受困于這個數學問題本身，沒有跳出來，認識到更一般的觀點，也就是我們眼下要解決的問題只不過是一連串有關問題中的一個環(huán)節(jié)。如果我們采取了這樣的觀點，不僅會使得我們所研究的問題容易得到解決，同時還會獲得一種能應用于有關問題的普遍方法。”

在數學中，將常量換成變量或者減少條件，可以使問題一般化。

這就是我們需要的輔助函數。

例2.計算范德蒙行列式

因此

2 特殊化

希爾伯特指出：“在討論數學問題時，我們相信特殊化會比一般化起著更為重要的作用。可能在大多數場合，我們尋找一個問題的答案而未能成功的原因，是在于這樣的事實，即有一些比手頭的問題更簡單，更容易的問題沒有完全解決或是完全沒有解決。這時，一切有賴于找出這些比較容易的問題并使用盡可能完善的方法和能夠推廣的概念來解決它們，這種方法是克服數學困難的最重要的杠桿之一，我認為人們是經常使用它的，雖然也許他們并不自覺。”

在數學中，將變量換成常量或者增加條件，可以使問題特殊化。

在解題時我們常常分兩步來進行：第一步處理一個特殊情形，它不僅特別容易解決而且特別有用；第二步通過特殊情形的疊加，我們得到一般解的方法。

例3.(格林公式)設有界閉區(qū)域由分段光滑的曲線L所圍成，函數(,)及(,)在上具有一階連續(xù)偏導數，則有

其中是的取正向的邊界曲線。

略證：先考慮一個特殊情形，假設以上條件全部滿足，可以通過做一條平行坐標軸的直線且穿過區(qū)域的內部，直線與的邊界曲線L的交點恰好為兩點，則可以證明（1）式成立。

3 由簡單情形找規(guī)律

解：在這個問題中，“1976”這個數據太大，難以發(fā)現規(guī)律。將1976換成較小的數（比方5,6,7,…）試試。為尋找規(guī)律，我們將試驗的結果列成表之后，觀察上面這些試驗，我們發(fā)現，在取最大的乘積中：

由此我們可得解答：

4 類比

類比是某種類型的相似。在解一個復雜的問題時，可以考慮先解一個較容易的類比的題，再設法利用其方法或結果解復雜問題。

著名數學家華羅庚曾經說過：研究問題的一般方法是，先足夠地退到外面，退到最容易看清楚問題的地方，把問題認透了、鉆深了，然后，再上去。

先解類比的題，就是“退”的方法。

這個問題比較難，我們先退一步，考慮一個比較簡單的類比的問題：

如果這個問題還不能一下解決，我們再退一步，考慮一個更為簡單的類比的問題：

利用迭代可得

現在我們回到問題1，完全類似地，

解這個差分方程即得結果（略）。

綜上可見，這幾個思維模式體現了一些十分重要的數學思想方法。M.勞埃指出：“教育是所有學會的東西都忘卻了之后仍然留存下來的那些東西。”這些思維模式就是需要學生們“留存下來的那些東西”。這種合情推理的數學理念，思維模式，思想方法，均在初等數學、高等數學的各類教材里得到充分體現。在數學的教學中，我們應作出切實的努力以很好地落實“幫助學生學會基本的數學思想方法”這一重要目標。

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O13

A

1673-2219（2021）03-0083-03

2021-03-03

2021年度湖南省社會科學成果評審委員會課題（項目編號ASP21YBC368）。

常安成（1977－），男，山東定陶人，碩士，副教授，研究方向為數學教學與復雜網絡。

（責任編校：文春生）