控制方向未知的非線性系統有限時間跟蹤控制

孟 波,劉文慧

(南京師范大學南瑞電氣與自動化學院,江蘇 南京 210023)

近年來,非線性系統有限時間穩定控制問題受到了國內外學者廣泛的關注. 從工程實踐的角度來看,有限時間穩定性比漸近時間穩定性更有意義,比如行駛中的汽車制動問題. 線性系統的有限時間控制問題是由Tang[1]所提出,該方法是更優于線性滑膜方法的終端滑膜方法. Lyapunov有限時間穩定性理論很好地解決了在非線性系統中由滑模控制器引起的抖振問題[2]. 近年來,Lyapunov有限時間穩定性理論的應用愈發廣泛[3-6]. Li等[7]對一類多輸入多輸出的非嚴格反饋非線性系統結合反步法和動態面控制設計了有限時間控制器. 在現實生活中,船只航向、航空航天等的自動控制問題廣泛涉及到控制方向未知的非線性系統,但是上述文獻[3-7]并沒有討論當非線性系統控制方向未知時的控制問題. 在這一領域具有開拓性意義的是Nussbaum[8]提出的利用Nussbaum函數解決控制方向未知這一難題的方法,該方法至今仍是解決控制方向未知問題的主要方法. 文獻[9-10]都是通過坐標變換將原系統轉換為控制增益已知的新系統后設計了狀態觀測器應用Nussbaum函數和反步法來設計控制器,所不同的是前者設計的是線性觀測器而后者設計的是模糊狀態觀測器. 文獻[11-12]都利用了Nussbaum函數和動態面控制思想分別解決了系統控制增益符號未知的問題以及“計算膨脹”現象. 但是上述文獻[8-12]并沒有考慮有關控制方向未知的非線性系統的有限時間控制問題.

鑒于此,Ma等[13]針對一類具有執行器故障和未知控制方向的非線性系統設計了控制器,并且可以保證該系統全局有限時間鎮定. Wu等[14]針對多未知控制方向的非線性系統提出了一種全局有限時間控制策略,文獻[15]在文獻[14]的基礎上對于多未知控制方向非線性系統增加了未知參數并設計了全局有限時間控制器. 但是上述文獻[12-15]都基于系統狀態向量可測情形. 另一方面,作為控制系統中常見的非線性問題,死區往往會降低系統的控制性能,甚至導致控制系統的不穩定[16-19].

對于一類控制方向未知的不確定非線性系統的有限時間自適應輸出反饋跟蹤控制問題,本文主要做以下工作:

(1)針對文獻[3-7]中系統均為控制方向已知,本文假設系統控制方向未知并借助Nussbaum函數來解決.

(2)對比文獻[8-12]沒有考慮有關控制方向未知的非線性系統的有限時間控制問題,本文對于此類系統設計了一種新的有限時間控制器.

(3)對于文獻[12-15]的控制器是基于系統狀態反饋設計的,本文對此條件進行了放寬,以此提出的控制策略可以更廣泛地應用于工程實踐.

1 問題描述、預備知識和模糊邏輯系統

1.1 問題描述

考慮下面嚴格反饋非線性系統:

(1)

(2)

H(υ)=μ(t)υ+Δ(t).

(3)

式中

然后可以得到:

(4)

假設2參考信號yr和它的n階導數均是分段連續,已知且有界的.

1.2 預備知識

引理2[20]對于任意的正常數μ,τ,κ和實變量e,有不等式|e|μ||τ成立.

1.3 模糊邏輯系統

系統中的未知非線性項用模糊邏輯系統描述如下,IF-THEN規則:

2 模糊狀態觀測器設計

(5)

(6)

式中

(7)

(8)

(9)

注1可以看到在系統(5)中,所有的控制增益都是已知的. 由于(5)由原系統(1)通過線性變換所得,所以(5)中所有的狀態都是不可知的. 因此,本文設計了一個模糊狀態觀測器來估計(5)中不可測的狀態,然后基于此觀測器提出了一種新的有限時間控制策略.

3 控制器設計和穩定性分析

3.1 控制器設計

提出一種基于反步法的自適應有限時間控制方案. 跟蹤誤差zi以及Lyapunov函數分別為:

z1=y-yr,

(10)

(11)

(12)

第1步:由(5)、(10)計算跟蹤誤差導數為下式,其中ε′1=ε1+D1,

(13)

由(12)、(13)計算V1的導數為:

(14)

(15)

(16)

將(15)、(16)代入(14)可得:

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

第i(i=2,3,…,n-1)步:由(5)、(6),計算zi的導數為:

(22)

根據(12)和(22),Vi的導數為:

(23)

(24)

(25)

將(24)、(25)代入(23)可得:

(26)

(27)

(28)

由(27)和(28)代入(26)可以得到:

(29)

第n步:求得Vn的導數為:

(30)

應用Young’s不等式,由(4)可得:

(31)

(32)

(33)

由(30)、(31)、(32)和(33)可得:

(34)

3.2 穩定性分析

定理1考慮具有未知控制方向和輸入死區的非線性系統(1),在假設3和引理5的條件下,基于模糊狀態觀測器設計的控制器(18)、(27)、(32)和自適應律(20)、(28)、(29)和(33)可以保證此閉環系統內所有信號的有界性和跟蹤誤差在原點處的收斂性.

證明:選擇李雅普諾夫函數V=Vn,由(34)有:

(35)

應用Young’s不等式,有

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

將(39)、(40)、(41)和(42)代入(38)有:

(43)

4 仿真實例

考慮下面非線性系統

(44)

式中,s1=1,s2=-1,參考信號yr=sint,對原系統進行坐標變換后新系統和模糊觀測器分別為:

(45)

(46)

根據設計的控制器υ仿真結果如圖1-圖4所示,圖1是輸出信號y和參考信號yr的軌跡,圖2是跟蹤誤差z1的仿真結果. 由圖1和圖2可以看出,輸出信號y在控制器υ的作用下具有良好的跟蹤性能. 圖3 顯示了經過坐標變換后式(45)的狀態變量和狀態估計,圖4給出了模糊自適應參數.

圖1 輸出y和參考信號yr的軌跡Fig.1 Trajectories of output y and tracking signal yr

圖2 跟蹤誤差z1Fig.2 Tracking error z1

圖3 狀態變量ξ1和它的估計量Fig.3 State variable ξ1 and and its estimation

圖4 模糊自適應參數Fig.4 Fuzzy adaptation parameters

5 結論

本文針對一類具有輸入死區以及控制方向未知且只有輸出可測的非線性系統設計了半全局有限時間控制器. 首先,引入坐標變換,將所研究的系統轉化為控制增益已知的等效系統. 然后,設計了一個模糊狀態觀測器來估計不可測的狀態. 通過Nussbaum函數解決了該系統控制方向未知的困難,基于模糊狀態觀測器,通過反步法利用變換后的系統間接得到原系統的控制器. 此外,由仿真算例可以看出在該控制器的作用下跟蹤誤差在有限時間內保持有界并收斂至原點的一個小鄰域內,且由引理4可知閉環系統中的所有信號都保持有界.