撥開迷霧看本質(zhì)

詹嘉玲

【摘要】導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用是歷年來高考數(shù)學(xué)卷中的難點(diǎn)題目，而通過導(dǎo)數(shù)方法解決函數(shù)的單調(diào)性問題為其重要考點(diǎn)之一，尤其是含參單調(diào)性的討論更是高考的熱點(diǎn)問題。本文主要通過分析、總結(jié)近幾年高考真題，對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何開展“含參單調(diào)性的討論”的教學(xué)策略進(jìn)行研究，并提出按照“趨勢(shì)→根→端點(diǎn)”的知識(shí)脈絡(luò)，形成一個(gè)有章可循、化難為簡(jiǎn)、操作性強(qiáng)的解題思路。

【關(guān)鍵詞】含參單調(diào)性;解題思路

改革后的新高考提出，要“重思維、重應(yīng)用”，要“以生考熟”，用陌生的問題考查熟悉的知識(shí)。而在學(xué)生眼中，數(shù)學(xué)的導(dǎo)數(shù)題考查的內(nèi)容就非常陌生——盡是自己不熟悉的函數(shù)，這部分內(nèi)容靈活多變，內(nèi)容龐雜，邏輯思維要求高，甚至連答案都看不懂、想不到，所以一說到導(dǎo)數(shù)題，他們都是望而卻步，避之如蛇蝎。

作為一名一線數(shù)學(xué)教育工作者，我非常想突破這樣的瓶頸。題目再靈活，也有不變的東西，那就是必備知識(shí)和關(guān)鍵能力。事實(shí)上，導(dǎo)數(shù)壓軸題中涉及的概念公式等往往比較少，每一個(gè)考生基本都能理解掌握，真正讓各位考生覺得難以下筆的，其實(shí)是導(dǎo)數(shù)壓軸題中復(fù)雜的式子處理技巧。高考導(dǎo)數(shù)題中，經(jīng)常考查“討論函數(shù)的單調(diào)性”，其實(shí)就是考查學(xué)生能否利用導(dǎo)數(shù)這一工具，剝開函數(shù)復(fù)雜的外衣，找出它與已學(xué)的基本初等函數(shù)之間的聯(lián)系，并運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去分析、認(rèn)識(shí)這個(gè)函數(shù)。而幾乎所有的導(dǎo)數(shù)壓軸題目都是有參數(shù)的，有參數(shù)就會(huì)導(dǎo)致不確定性，必然就會(huì)導(dǎo)致正常的思考受阻。

然而，在筆者接觸的學(xué)生中，即便完成了“求定義域”“求導(dǎo)”兩個(gè)基本步驟，也難以找到正確的方向?qū)瘮?shù)進(jìn)行進(jìn)一步研究。究其原因，要么沒能看出導(dǎo)函數(shù)與基本初等函數(shù)的聯(lián)系，要么學(xué)了很多的分析方法步驟，卻不知從哪個(gè)方向先下手。

那么，如果能分析、總結(jié)出一套討論含參單調(diào)性的簡(jiǎn)單易上手的“套路”，則可以幫助學(xué)生形成良好的思維模式;也可以培養(yǎng)他們綜合解題能力，使他們?cè)谘芯亢瘮?shù)單調(diào)性時(shí)能夠有的放矢。本文通過研究近幾年高考的導(dǎo)數(shù)題，談?wù)劇昂瑓握{(diào)性的討論”的典型套路。

在對(duì)需要討論單調(diào)性的函數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單的分析定義域和求導(dǎo)后，最關(guān)鍵的是“繪制出導(dǎo)函數(shù)的圖像”，這是我們建立分析體系的立足點(diǎn)。此時(shí)，我們可以對(duì)函數(shù)作如下分析：

一、討論函數(shù)的“趨勢(shì)”

高考導(dǎo)數(shù)題的導(dǎo)函數(shù)，都是立足于已學(xué)的基本初等函數(shù)，而對(duì)含有參數(shù)的二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的考察尤為常見。學(xué)生在課堂上已經(jīng)學(xué)習(xí)過如何對(duì)這些函數(shù)及其相關(guān)變形進(jìn)行初步的認(rèn)識(shí)，其中，研究導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)該是第一步，學(xué)生可從導(dǎo)函數(shù)的最高次系數(shù)下手，如二次函數(shù)最高次系數(shù)會(huì)影響其開口方向，指數(shù)函數(shù)前的系數(shù)的正負(fù)會(huì)影響其單調(diào)性等等：

【2017年新課標(biāo)Ⅰ卷，理21】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性;

解：（1）的定義域?yàn)椋?/p>

（ⅰ）若，則，所以在單調(diào)遞減。

（ⅱ）若，則由得。

當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增。

評(píng)析：通過求導(dǎo)，將看作，同時(shí)將看成自變量（經(jīng)常采用換元法：令），便可發(fā)現(xiàn)導(dǎo)函數(shù)是一個(gè)最高次系數(shù)不確定的仿二次函數(shù)（若不為0）。

由于最高次系數(shù)的不確定性，對(duì)其進(jìn)行分類討論，在學(xué)生對(duì)方法還不夠熟悉的情況下，可以引導(dǎo)他們將其簡(jiǎn)單分為：①系數(shù)=0;②系數(shù)<0;③系數(shù)>0三類，最后再將相似的情況加以合并即可。

二、討論的“根”

確定好導(dǎo)函數(shù)的“趨勢(shì)”之后，如何進(jìn)一步繪制出導(dǎo)函數(shù)的圖像呢？這時(shí)我們應(yīng)當(dāng)考慮這個(gè)函數(shù)的圖像與軸是否有交點(diǎn)，有幾個(gè)交點(diǎn)，這些交點(diǎn)之間的擺放次序應(yīng)當(dāng)是怎樣的。于是又有了以下討論：

1.根是否存在（是否能因式分解）

【2017課標(biāo)1，文21】已知函

（1）討論的單調(diào)性;

解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

①若，則由得。

當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增。

②若，則由得。

當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增。

③若，則，在單調(diào)遞增。

評(píng)析：求導(dǎo)后，開始套用解題模板：

趨勢(shì)：依然可以將將看作，那么導(dǎo)函數(shù)可以看作一個(gè)開口向上的二次函數(shù);

根：為了進(jìn)一步繪制出導(dǎo)函數(shù)圖像，學(xué)生可以通過令求出它的兩個(gè)根，分別是和，但這種寫法就會(huì)引發(fā)思考：根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0的原理，我們知道

①存在的前提是，此時(shí)不存在，即“”這一部分為正，不影響對(duì)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的判斷，學(xué)生只需繪制的圖像，即可通過分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到原函數(shù)的單調(diào)性;

②存在的前提是，分析方法同（1）;

③當(dāng)時(shí)，這兩個(gè)根都不存在，此時(shí)，這個(gè)“二次函數(shù)”與軸不存在交點(diǎn)，根據(jù)開口方向，可得。

這樣，通過根的真數(shù)形式，觸發(fā)學(xué)生對(duì)導(dǎo)函數(shù)的“根是否存在”的思考，可以清晰明確地確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，減輕學(xué)生對(duì)此類題目的恐懼感。

2.兩根大小

如果確定了導(dǎo)函數(shù)與軸的交點(diǎn)都是存在的，那么是不是就可以直接繪制導(dǎo)函數(shù)圖像了呢？讓我們來看看下面這道高考題：

【2016課標(biāo)1，21】已知函

（1）討論的單調(diào)性;

解： （I）

（i）設(shè)，則當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，。

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增。

（ii）設(shè)，由得x=1或x=ln（-2a）。

①若，則，所以在單調(diào)遞增。

②若，則ln（-2a）<1，時(shí)，;

當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減。

③若，則，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減。

評(píng)析：這一題乍看之下比較復(fù)雜，分類情況達(dá)到4種，讓我們來研究下它的本質(zhì)：

（1）趨勢(shì)：求導(dǎo)后向?qū)W生強(qiáng)調(diào)要提取公因式，得到，這樣方便后續(xù)的分析和處理。這個(gè)函數(shù)式子結(jié)構(gòu)非常特殊，并不是學(xué)生學(xué)過的基本初等函數(shù)，但仿照前面我們可以先研究它的“趨勢(shì)”：我們發(fā)現(xiàn)這一部分的圖像事實(shí)上是通過函數(shù)的圖像上下平移得到，二者圖像“趨勢(shì)”相同，都是在上單調(diào)遞增，而這個(gè)“趨勢(shì)”跟的趨勢(shì)也是相似的。也就是說，可以近似的看成開口向上的二次函數(shù)，“趨勢(shì)”是確定的，不需要討論。

（2）根：考慮完“趨勢(shì)”后，就要看看這個(gè)函數(shù)的圖像與軸的交點(diǎn)問題。通過令求出它的兩個(gè)根，分別是或，經(jīng)過前面的學(xué)習(xí)可以知道，存在的前提是，也就產(chǎn)生了對(duì)“根是否存在”的分類討論：

（i）由前面可知，當(dāng)，“”恒正，不影響導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，只需繪制出的圖像，即可得原函數(shù)的單調(diào)性;

（ii）當(dāng)時(shí)，兩根和都有意義，那么是否可以直接繪制導(dǎo)函數(shù)的圖像了呢？答案是否定的。由于兩根的大小并不確定，畫圖時(shí)就帶來了圖像與x軸的交點(diǎn)如何放置的問題，于是又引發(fā)了新的討論：

①當(dāng)，即時(shí)，導(dǎo)函數(shù)圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí);

②當(dāng)，即時(shí)，導(dǎo)函數(shù)圖像與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，且大小確定，可以分析繪制出導(dǎo)函數(shù)圖像;

③當(dāng)，即時(shí)，分析方法與②類似。

盡管題目看起來相對(duì)復(fù)雜，但通過強(qiáng)化“趨勢(shì)→交點(diǎn)”的思路來分析、繪制導(dǎo)函數(shù)的圖像，層層剖析，化繁為簡(jiǎn)，最終簡(jiǎn)潔高效地解決問題。

三、討論函數(shù)（定義域的）“端點(diǎn)”

在前面的分析中，我們討論的都是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的單調(diào)性，但高中階段學(xué)生還學(xué)習(xí)了指、對(duì)、冪、三角函數(shù)，其中，對(duì)數(shù)函數(shù)更是命題者的“寵兒”。對(duì)于含對(duì)數(shù)的函數(shù)的討論，關(guān)鍵就是要注意其定義域的限制，那么，在研究單調(diào)性方面又有什么方法技巧呢？讓我們一起來看下面這道題：

【2018年新課標(biāo)Ⅰ卷，21】已知函數(shù)。

（1）討論的單調(diào)性;

解：（1）的定義域?yàn)椋?/p>

（i）若，則，所以在單調(diào)遞減。

（ii）若，令得，或。

當(dāng)

∈（，）∪（，+）時(shí)，;

當(dāng)時(shí)，。

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增。

評(píng)析：此題看似較為常規(guī)，導(dǎo)函數(shù)是學(xué)生非常熟悉的二次函數(shù)，但答案看起來無從下手，為何一上來就分析≤？別急，按照前面“趨勢(shì)→根”的套路來分析：

（1）趨勢(shì)：開口向下，無需討論;

（2）根：導(dǎo)函數(shù)無法進(jìn)行因式分解，故通過求根公式求的根，而求根公式就需先討論判別式的符號(hào)問題，即“根是否存在”：

（i）當(dāng)，即，導(dǎo)函數(shù)圖像與軸沒有交點(diǎn)或僅一個(gè)交點(diǎn)，則;

（ii）當(dāng)，即，此時(shí)有兩個(gè)不同的根，分別為，，且，大小無需討論，導(dǎo)函數(shù)圖像基本確定。

那么，這是否意味著討論結(jié)束呢？并不然。通過觀察可知，函數(shù)的定義域?yàn)椋鴮?dǎo)函數(shù)兩個(gè)根與定義域端點(diǎn)0的大小關(guān)系還未確定，于是又引入了對(duì)“端點(diǎn)”的討論：

（3）端點(diǎn)：由于根的形式比較復(fù)雜，這里利用根與系數(shù)的關(guān)系對(duì)兩根與0的大小關(guān)系進(jìn)行判斷更為方便，由于，可得同號(hào)，所以：

①當(dāng)，均為負(fù)，此時(shí)，所以在單調(diào)遞減;

②當(dāng)，均為正，此時(shí)

當(dāng)時(shí)，;

當(dāng)時(shí)，。

看似簡(jiǎn)單的二次函數(shù)，后面隱藏著并不簡(jiǎn)單的討論過程，但按照“趨勢(shì)→根→端點(diǎn)”的解題套路，可以一步步撥開導(dǎo)函數(shù)復(fù)雜的外衣，準(zhǔn)確高效地找到思路，不重不漏地進(jìn)行分析討論。因此，學(xué)生需要在平時(shí)做題時(shí)注重積累和強(qiáng)化思想方法，厘清討論函數(shù)單調(diào)性的基本順序和過程，這樣才能舉一反三，融會(huì)貫通，真正做到會(huì)一題，通一類。

由于導(dǎo)數(shù)內(nèi)容的龐雜性，在教學(xué)過程中，應(yīng)幫助學(xué)生將零散的知識(shí)系統(tǒng)化，形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)：引導(dǎo)學(xué)生理清知識(shí)發(fā)生的過程，幫助他們理解問題的一般規(guī)律，滲透分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合的思想，掌握解決問題的通性通法。一般在教學(xué)的初始階段筆者會(huì)通過思維導(dǎo)圖的方式幫助學(xué)生快速地理清解題的思路：

不管導(dǎo)函數(shù)的形式有多么復(fù)雜多變，只要通過這樣“趨勢(shì)→根→端點(diǎn)”的簡(jiǎn)單的思維過程，就能對(duì)導(dǎo)函數(shù)從本質(zhì)上進(jìn)行整合，這樣的解題套路思路清晰，操作性強(qiáng)，讓含參單調(diào)性的討論變得有章可循，有助于學(xué)生快速找準(zhǔn)解題思路，提高教學(xué)復(fù)習(xí)的效率。

但在教學(xué)的中后期，應(yīng)將學(xué)習(xí)活動(dòng)的“C位”交還給學(xué)生，讓他們掌握自己學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)，通過自己梳理知識(shí)，不斷地發(fā)現(xiàn)和解決問題。比如鼓勵(lì)學(xué)生通過學(xué)習(xí)積累，對(duì)思維導(dǎo)圖進(jìn)行進(jìn)一步的細(xì)化和完善，進(jìn)而促使更加靈活自如地對(duì)思維和方法進(jìn)行遷移，促進(jìn)學(xué)科素養(yǎng)的達(dá)成。

總而言之，含參單調(diào)性的討論是對(duì)數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化化歸等思想方法的綜合考查，是對(duì)基于學(xué)科素養(yǎng)導(dǎo)向下的關(guān)鍵能力和必備知識(shí)的考查，盡管題目靈活多變，但只要學(xué)生抓準(zhǔn)“趨勢(shì)→根→端點(diǎn)”的總體知識(shí)脈絡(luò)，扎實(shí)掌握基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)觸類旁通，融會(huì)貫通，以不變應(yīng)萬變，便能撥開迷霧，窺探本質(zhì)，覓得真知！

參考文獻(xiàn)：

[1]教育部考試中心.中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系說明[M].北京：人民教育出版社，2019：32-35.