高中數學：示“形”更揭“理”*——關于“刁尼秀斯之耳”的現象教學探索

費 峣 水菊芳

一、教學緣起

“刁尼秀斯之耳”講述的是橢圓巖洞監獄中，犯人在焦點處（A點）的越獄謀劃總會被位于另一焦點的守衛（B點）監聽的故事。（圖1）故事中的曲面反射現象是17世紀倒逼數學家研究曲線切線的重要問題之一，該現象的解決需要運用物理光學與數學知識，這決定了該故事中的現象有著較高的教學價值。然而，不少教師僅將其用于引入橢圓的概念，意在以故事的趣味性激發學生的學習興趣。筆者以為，這種做法只提供了橢圓的“形”，卻未能揭示橢圓的“理”，無法促成個體對現象的充分理解，也就無法創設利于數學核心素養生成的良好條件。由此，筆者想深度挖掘此教學素材，談談自己的教學探索。

圖1 刁尼秀斯之耳

這里需要說明的是，以下的教學探索源于“現象教學”的理念，即依據真實現象，確定一些學習或研究的話題，并將之融入新的課程模塊的教學。其教學要點在于提出某個現象，在教學中去探究它，并由此獲得認識。基于此理念的教學更加凸顯、關聯真實世界，也更益于學生數學素養的生成。［1］

回到本教學內容，按照教材模塊的編排順序，學生在學習圓錐曲線時尚未學習導數的幾何意義，對圓錐曲線的切線認識難觸及實質。故此處教學定位為“圓錐曲線上某點處切線”的專題探究課，計劃為兩課時，分別設置導數幾何意義（代數與圖象）、橢圓光學性質（解析幾何）兩個探究話題，以實現跨模塊知識融合縱深。以下為兩個課時的主要教學內容。

二、導數幾何意義

1.課時分析。

（1）教學內容分析：導數的幾何意義是指曲線某點處切線的斜率。學生已經學習了平均變化率及其幾何意義。此課時的目標是以此為生長點，從割線出發，用“無限逼近”的動態過程實現“局部以直代曲”，從而獲得導數的幾何意義。

（2）學情分析：初中階段將“經過半徑的一端（非圓心），且垂直于這條半徑的直線”稱為圓的切線。高中階段則從幾何與代數兩個維度分別規定了直線與圓相切的位置關系，即“圓心到直線的距離等于半徑”“直線方程與曲線方程聯立有且只有一組解”。上述切線的靜態理解可能形成思維定勢，影響學生以直代曲思想的形成。

（3）教學重難點：初步的極限思想與局部以直代曲思想的生成。

（4）教學策略：利用信息技術動態演示，強化直觀感知，以最原始客觀的材料引導學生深入體會“無限逼近”與“量變到質變”，領悟“近似于精確”的哲學原理。

2.幾何直觀，按圖索驥。

現象教學強調由直觀感知到意義生成的學習過程，將之用于曲線切線的學習即為“建立形與數的聯系，利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運用空間想象認識事物”。［2］學生對于切線斜率概念的完善、錯誤觀念的矯正可以立足于小步調，由淺及深。

（1）鼓勵想象：光線經橢圓一點反射與光線經直線上一點反射效果等價。

（2）模型優化：發動小組討論得出（1）中所指的直線大概率為橢圓切線。

（3）概念蘊生：（1）中的“點”為切點，讓學生隱約得到“橢圓上某點處切線”的初步感受，為導數幾何意義的順利發生做鋪墊。

（4）試誤與強化：教學中展示下列圖象（圖2），設計問題“下列圖象中直線為曲線切線的是？”

（圖2）

學生利用已有知識經驗能成功做出A、B中直線為曲線切線的判定，對C則會猶豫但最終也會做出是切線的判斷。但對于D則少有認可者，這就促使學生再度聚焦“刁尼秀斯之耳”的現象本身，明晰“曲線某點處切線”的數學嚴謹性，從而判定該圖符合曲線切線特征。

【設計意圖】本環節為現實情境的數學抽象，其抽象物為曲線切線，整個抽象過程需要學生逐步舍棄具體現象中的一切表象，學生借助空間想象，抽離出曲線切線在空間形式上的本質屬性，主要培養學生直觀想象與數學抽象的素養。

3.動態捕捉，數學實驗。

教師充分肯定學生在上一環節中的表現，同時引導學生提出新問題，即“如何用數學刻畫切線？”此問題的目的在于引導學生回顧“解析幾何初步”一章直線的相關知識，進而想到用一個“點”與“傾斜程度”來刻畫切線，以自我喚醒并強化舊知的方式，實現對所學內容的靈活運用。

此環節為“局部以直代曲”的教學，教師不應急切地給出形式化的定義，而應自然適度地提出問題，為學生提供問題解決的必要支持，如提示學生平均變化率及其幾何意義，并以此為生長點，引導學生嘗試對切線斜率進行深度思考。

（圖3）

（表1）

【設計意圖】本環節的目的在于促使學生通過對實驗數據的分析，探尋客觀現象的一般規律，在感悟數學推理規則的基礎上提出有價值的數學結論，主要培養學生數據分析與邏輯推理的數學素養。

三、橢圓光學性質

1.課時分析。

（1）教學內容分析：橢圓光學性質指“從橢圓一個焦點發出的光線，經過橢圓反射，反射光線經過橢圓另一焦點”。該內容一般被視為閱讀材料出現在各教材中，有益于學生綜合運用數學知識認知客觀世界，在高考考查中也有體現（如2013年山東理科卷題22）。

（2）學情分析：課時1的內容可以為本話題教學提供必要的知識儲備，但由于考試導向、數學文化教育缺失、教師學科知識欠缺等因素，教材中閱讀材料不被重視，學生鮮有機會對數學在實際問題中的應用做研究。

（3）教學重難點：現象的數學解釋與推理論證。

（4）教學策略：精心組織探究教學，鼓勵學生嘗試多種信息渠道獲得必要的研究資料、理論依據、工具手段，引導學生用數學方法解決物理問題，體驗探究樂趣。

2.有據推理，現象釋因。

（圖4）

現象的解釋需要規范的表達，并以此實現知識整體的結構化。探究“刁尼秀斯之耳”的光學性質需要相當的數學推理、演繹能力。教師可以根據所教學生的基礎，酌情設計學生活動，實現不同學生數學能力的不同發展。

（1）方案設計，模型生成。學生借助平面直角坐標系，用解析幾何模型來刻畫現象，嘗試表達數學問題，經歷自然語言向符號語言發展的過程。此過程中，學生根據圖4可以提出以下三種解決問題的方案：

（圖5）

【設計意圖】此處學生根據先前的分析構建數學模型并給出解決方案，采用數學運算的方式驗證結果并評估建模的可行性，最終實現對現象的解釋。本環節培養學生的數學建模與數學運算能力。

3.寓知于行，現象延伸。

利用網絡、書籍等媒介帶領學生回顧數學發展過程當中“無限逼近，以直代曲”思想的重要進程及典型案例，使學生置身于知識發生與發展的過程中，感受數學的人文情懷，實現學生的品格教育，踐行立德樹人的根本要求。讓學生經受數學文化的熏陶、領悟數學美學價值的同時也務必警醒，數學文化在現象教學中的滲透不是點綴和花絮，需要在日常的教學中制定考察的方案、評價的標準。比如，學生通過橢圓曲面反射現象資料的研讀，嘗試撰寫小論文、數學周記；再比如利用所學手段推導拋物線的光學性質，以數學沙龍的形式與同學分享成果。要讓學生反思初窺數學現象時的不足，包括問題提出、數學猜想、方案設計、數學實驗、合作探究等諸多方面的不足，也要讓學生意識到自身的進步，意識到自身面對陌生的數學現象有勇攀高峰的可能，要讓高遠的數學觀念與數學思想在學生看來“跳一跳，夠得到”。

【設計意圖】強化學生數學閱讀，促進學生主動汲取知識，發展數學思維，培養學生終生學習的能力，實現數學文化的有效學習。

四、結束語

數學“形”與“理”的教學力求既能分析其代數意義，又能揭示其幾何直觀。此內容教學中，情境往往更直觀，較為好用。但教師若錯將重心放在情境創設的新、奇、巧、妙上，而對情境中與教學實質相關的內容不加挖掘，這就與數學教學的主旨謬之千里了。由此可見，情境不可能是世界本身，現象更接近于世界本身。［3］現象教學的理念否定了“情境引入”加“孤立于情境的教學”簡單拼接的課堂教學模式，呼吁“回到問題本身”，既實現了學科價值的引領，又促進了學生理性思維的養成。

當然，現象教學在我國剛剛起步，仍有很多基礎理論、實踐案例有待研究。教師在教學中也不能崇拜模式，須知教無定法，貴在得法。教師在教學中應當批判吸收有助數學教學內容生長的材料，強化自身用好教學材料的能力，進而幫助學生構建更為科學的學科體系，提升學生的數學素養。