分?jǐn)?shù)的意義

李秀娟

選題的原因

最近參加了成都微視頻系列課程的制作，我制作的是認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)這一環(huán)節(jié)的內(nèi)容。在我的印象中，分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是沒(méi)有多難的，我還記得就我現(xiàn)在教的這一批孩子，在三年級(jí)的時(shí)候，我是將一個(gè)物體或多個(gè)物體作為整體的分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)，是在一節(jié)課上講完的，從當(dāng)時(shí)學(xué)生完成的練習(xí)來(lái)看，掌握的效果還是挺好的。

當(dāng)他們到五年級(jí)接觸復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的時(shí)候，產(chǎn)生了一個(gè)問(wèn)題，就是屬于中下的那一部學(xué)生，對(duì)于量和率的問(wèn)題就區(qū)分不清了。比如，有4噸煤，第1次運(yùn)走了他的1/5，第2次運(yùn)走了1/5噸，哪一次運(yùn)的多？分析其中的原因，歸根結(jié)底，可能就是在三年級(jí)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的時(shí)候就有些理解不清。所以在這一次，選題的時(shí)候，我就選擇了認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)這一課，以找準(zhǔn)本質(zhì)錯(cuò)誤原因?yàn)楦灸繕?biāo)，如何正確的理解分?jǐn)?shù)量和率之間的關(guān)系。

經(jīng)歷的過(guò)程

從接到任務(wù)開(kāi)始寫(xiě)稿，到幾度修改文稿，從幾百字到2000多字到最后的1000多字，其中經(jīng)歷了豐富，再到精簡(jiǎn)，這樣的過(guò)程使我對(duì)于分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)也逐步清晰明了了。

我的收獲

一、分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性

通過(guò)查閱資料，我知道了，分?jǐn)?shù)是在人們實(shí)際測(cè)量或度量的過(guò)程中，由于不能得到整數(shù)結(jié)果，所以產(chǎn)生分?jǐn)?shù)。怎么理解這句話呢？想起有一位數(shù)學(xué)大咖在成都空軍大禮堂上的一堂課，淘氣和爸爸在家測(cè)量沙發(fā)的長(zhǎng)度，因?yàn)榧依餂](méi)有卷尺，使用了領(lǐng)帶，作為一個(gè)測(cè)量工具來(lái)進(jìn)行測(cè)量，但最后的結(jié)果不是領(lǐng)帶長(zhǎng)度的整倍數(shù)，所以他們想到將領(lǐng)帶進(jìn)行對(duì)折，多次對(duì)折后的長(zhǎng)度剛好與沙發(fā)剩下那一小段的長(zhǎng)度相等——引出了這樣的描述：沙發(fā)的長(zhǎng)度是領(lǐng)帶長(zhǎng)度的S倍還多領(lǐng)帶對(duì)折幾次后那么長(zhǎng)。所以分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生是生活的需要。

二、分?jǐn)?shù)意義的認(rèn)識(shí)

說(shuō)到分?jǐn)?shù)意義的理解，教科書(shū)上一直強(qiáng)調(diào)的是“結(jié)合具體的情境理解”，可以想象分?jǐn)?shù)的意義是有多么的豐富。致使學(xué)生面對(duì)如此豐富是意義時(shí)，竟然有猴子掰玉米時(shí)那樣的邊學(xué)邊丟。

我們的誤區(qū)

分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生是建立在平均分物基礎(chǔ)上的，但又不限于此。

認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)之初，大部分老師都會(huì)一再的跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)：分?jǐn)?shù)是把一個(gè)整體平均分成若干份，其中的一份或者幾份就用分?jǐn)?shù)來(lái)表示;其中分?jǐn)?shù)線表示平均分，分母表示總份數(shù)，其中的幾份就用分子表示。學(xué)生在進(jìn)行分?jǐn)?shù)大小比較時(shí)：比如1/2和1/4，毫不猶豫，填大于符號(hào);為什么呢？1/2表示的是一個(gè)圓形的一半，1/4表示的是把這個(gè)圖形平均分成4份，我涂了其中的一份就是1/4，很明顯1/2是比1/4多的。對(duì)于三年級(jí)的同分母分?jǐn)?shù)或者同分子分?jǐn)?shù)的大小比較，學(xué)生都能輕松解決。

但是當(dāng)孩子們?cè)谖迥昙?jí)對(duì)分?jǐn)?shù)進(jìn)行再認(rèn)識(shí)過(guò)后呢？

在一節(jié)分?jǐn)?shù)再認(rèn)識(shí)的課后，有一個(gè)孩子對(duì)于1/2和1/4大小比較結(jié)果的回答，是大于號(hào)、小于號(hào)、等號(hào)都可以，因?yàn)檎w可能不同。

對(duì)于把3千克糖平均分成4份，每份是多少千克？每份是全部糖的幾分之幾？這樣的問(wèn)題，學(xué)生出錯(cuò)的原因又是什么呢？

意義的呈現(xiàn)

三年級(jí)時(shí)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)是學(xué)生第一次認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)。在分一分（一）中從半個(gè)蘋(píng)果如何用圖來(lái)表示、可以用什么樣的數(shù)來(lái)表示，將分?jǐn)?shù)帶進(jìn)了孩子的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中來(lái)。第一次見(jiàn)面時(shí)，分?jǐn)?shù)就是以它最本來(lái)的面目：具體的量——半個(gè)蘋(píng)果，數(shù)量關(guān)系（率）——半個(gè)蘋(píng)果是一個(gè)蘋(píng)果被平均分成兩份后的其中一份，這樣來(lái)出現(xiàn)在大家面前的。可我們——無(wú)論是部分老師還是一些孩子都沒(méi)有看清，往往只看到了其中的一面。

當(dāng)我們說(shuō)到“2”這個(gè)數(shù)字時(shí)，我們可以想到：2個(gè)蘋(píng)果，2箱蘋(píng)果，2車蘋(píng)果;M是N的2倍;我今天跑步得了第2名......量、關(guān)系、序數(shù)......

當(dāng)我們說(shuō)到“1”這個(gè)數(shù)字時(shí)，我們?nèi)匀豢梢韵氲剑?個(gè)蘋(píng)果，1箱蘋(píng)果，1車蘋(píng)果;M是N的1倍;我今天跑步得了第1名......量、關(guān)系、序數(shù)......

可當(dāng)我們想到“1/2”時(shí)呢？您在頭腦中的第一反應(yīng)是不是這樣的呢？把一個(gè)物體（餅）平均分成兩份，其中的一份就是1/2。我的第一反應(yīng)是這樣的。其實(shí)是我們忽略了，1/2不但可以表示把我們想到的、能當(dāng)做整體的物體或圖形平均分成兩份后，其中的一份就是這個(gè)整體的1/2;同時(shí)1/2還表示著這個(gè)整體（一個(gè)餅、一張圖、一堆錢(qián)）的一半那么多的量——以這個(gè)整體為度量標(biāo)準(zhǔn)，這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的一半那么多。所以在結(jié)合具體情境時(shí)，分?jǐn)?shù)量和率的意義始終都是同時(shí)存在的，重來(lái)沒(méi)有分開(kāi)過(guò)。

意義的應(yīng)用

看一本100頁(yè)書(shū)，第一天看了全書(shū)的2/5，第二天看了剩下的2/5，兩天各看了多少頁(yè)？

同樣的2/5，因?yàn)檎w的不同，所表示的數(shù)量關(guān)系就不同。第一個(gè)2/5表示的是：第一天看的頁(yè)數(shù)是全書(shū)的2/5，因?yàn)檎w是100，所以還表示40頁(yè)。第二個(gè)2/5表示的是：第二天看的頁(yè)數(shù)是剩下的2/5，因?yàn)檎w是剩下的，100-40=60頁(yè)，所以還表示24頁(yè)。從這里我們同樣可以看到，分?jǐn)?shù)的量與率從來(lái)沒(méi)有分開(kāi)過(guò)。

雖然分?jǐn)?shù)和其他數(shù)一樣都是數(shù)，都是數(shù)系的成員，都可以表示量也可以表示率（數(shù)量關(guān)系），盡管還沒(méi)有我們學(xué)得自然數(shù)那么復(fù)雜，什么基數(shù)、序數(shù)，可孩子們?yōu)槭裁淳筒荒芟駥W(xué)習(xí)自然數(shù)那樣，將量與率的相關(guān)意義雙軌并學(xué)、充分理解呢？其中一個(gè)原因就是在分?jǐn)?shù)在孩子的生活中接觸的少，缺乏相關(guān)的生活經(jīng)驗(yàn)。另一個(gè)重要的原因就是我們老師以為孩子不懂，總想把知識(shí)掰碎了再給孩子，覺(jué)得這樣孩子們就能將這個(gè)小知識(shí)點(diǎn)掌握得很牢固。就像沒(méi)有經(jīng)驗(yàn)的年輕媽媽總覺(jué)得孩子咬不爛，給孩子吃過(guò)于精細(xì)的食物，致使孩子慢慢養(yǎng)成只吃易于吞咽、不用細(xì)嚼的食物。

由此及彼

建筑物的修建與裝潢，總是先得打好堅(jiān)固的基礎(chǔ)、筑好完整的框架，再進(jìn)行完善與美觀。我們的教學(xué)其實(shí)也能像這樣：先打好基礎(chǔ)，筑好框架，再進(jìn)行完善與提高。而這樣的前提是，老師要相信學(xué)生，一開(kāi)始就要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的方方面面，體會(huì)量與率的同時(shí)并存關(guān)系;在進(jìn)一步的學(xué)習(xí)中不斷的清晰、明了分?jǐn)?shù)的量與率之間的聯(lián)系——由整體將它們連在一起，不同的整體哪怕分?jǐn)?shù)相同，得到的量也不同;不同的整體，哪怕不同的分?jǐn)?shù)，也可能代表相同的量。

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