一個可供選擇的全隨機化模型

董俊超

(煙臺大學數學與信息科學學院,山東 煙臺 264005)

1965年WARNER[1]第一次引進了隨機化抽樣方法,用于處理定性敏感性問題的抽樣調查，隨后這種方法得到了很大的發展。大體思路為:首先是對定性敏感性問題隨機化方法進行各種各樣的優化，這方面的研究成果很多，本文不再贅述; 隨后GREENBERG等[2]把隨機化方法擴展到定量敏感性問題。 目前,對于定量敏感性問題的隨機化技術，按照文獻[3-4]的觀點，可把它分為3類：全隨機化模型(full randomized response model)，偏隨機化模型(partial randomized response model)，可選性隨機化模型(optional randomized response model)．

全隨機化模型最早在文獻[5]中有提及,詳細的論述在文獻[6], 它的優點是對被調查者的真實數據進行編碼,可以更好地保護被調查者的隱私, 適合高敏感性問題的抽樣調查, 比如吸毒、販賣軍火等等。偏隨機化模型最早在文獻[7]中對定性敏感性問題有提及, 在文獻[8]中有詳述, 該方法是由被調查者做一個隨機試驗，由試驗的結果決定被調查者做真實的回答還是對真實信息進行編碼再回答。可選性隨機化模型在文獻[3-4,9]中有論述, 該方法是由被調查者自身決定，感覺被調查的問題敏感就進行編碼回答，否則就進行真實回答。GREENBERG等[2]的隨機化模型是被調查者根據隨機試驗的結果給出敏感性問題的真實答案或一個無關問題的答案,其可以歸結到偏隨機化模型中。

1 提出新模型

Zad=Y+X。

(1)

另一個為乘隨機化模型(multiplication randomized response model), 其編碼的方法是, 由被調查者利用隨機試驗抽取一個服從X分布的隨機數乘上自身的敏感性指標報告給調查者。 若用Zmu表示觀察到的變量,該模型可表達為:

Zmu=YX。

(2)

無論是加隨機化模型還是乘隨機化模型,編碼方法均比較單一, 可能會造成被調查者的不信任感,害怕自身的隱私被泄露。比如在偷稅的調查中, 如果一個被調查者自身的指標比較大,而抽到的隨機數又較大, 這時無論對加隨機化模型還是乘隨機化模型, 都會造成被調查者心理上的某種不安或恐懼，從而可能造成不真實的回答， 得到不可靠的數據。 本文提出一個新模型,給被調查者一個選擇, 由他們根據自身的愿望選擇編碼方法。 具體做法為: 從總體中按放回方式抽取一個樣本, 每個被調查者再做一個隨機試驗, 按照放回方式抽取分布為X的一個隨機數, 由被調查者根據自身的意愿選擇是把自身的敏感指標加上或者減去該隨機數, 然后報告給調查者。 假定總體中有以概率p的被調查者選擇“加”, 以概率1-p的被調查者選擇“減”，該模型可表示為

(3)

其中，p是一個未知參數,由總體的性質所確定，它的期望為

E(Z)=pE(Y+X)+(1-p)E(Y-X)=

μy+(2p-1)μ。

(4)

它的方差為

V(Z)=E(Z2)-E2(Z)=pE(Y+X)2+

(1-p)E(Y-X)2-E2(Z)=

E(Y2)+E(X2)+2(2p-1)E(YX)-E2(Z)=

(σy2+μy2)+σ2+μ2+

2(2p-1)μyμ-(μy+(2p-1)μ)2=

(5)

(6)

(7)

進一步,有

(8)

其中，V(Zi)是把式(5)中的μ換為μi,σ換為σi(i=1,2)所得。

定理1得證。

由于樣本方差是總體方差的無偏估計,所以很容易得到下面定理:

(9)

2 新模型與已有模型的比較

下面就本文提出的模型(3)，在隱私保護度及估計量的精度方面與已有的模型作比較。

2.1 保護度的比較

YAN等[10]提出了對模型保護度的一個計算方法。 現計算該模型的保護度：

Δ=E(Z-Y)2=

pE(X2)+(1-p)E((-X)2)=

E(X2)=σ2+μ2。

(10)

對于加隨機化模型(1), 根據文獻[5]中結論, 該模型對被調查者的保護度為

Δad=σ2+μ2。

(11)

對于乘隨機化模型(2), 根據文獻[10]中計算結果, 該模型對被調查者的保護度為

(12)

2.2 精度的比較

(13)

(14)

3 結束語