鉸支多跨梁變形計算的正弦級數法

史文譜,閆家正,王 浩

(煙臺大學機電汽車工程學院,山東 煙臺 264005)

多跨梁在橋梁建設、海港碼頭和船舶工程中是十分常見的結構,其受載是比較復雜的,多數設計需要有限元等數值計算方法才能完成,但理論方法研究也一直是人們關注的熱點。比如文獻[1]中介紹的力法和三彎矩法是典型的解除約束法,它們的特點是需要事先解除約束,寫出(分段)彎矩函數,利用變形協調條件列出補充方程,對于受載個數多的場合,還要考慮采用疊加原理分別求解,過程較繁瑣;王秀華等[2]提出的積分法是在梁截面彎矩函數中預先考慮了待定約束反力,然后直接積分撓度-彎矩近似微分方程,并利用定解條件確定積分常數和多余約束力;朱伊德在文獻[3]中提出的預先把撓度假設為一個有限項冪級數的方法,是利用了撓度、轉角、彎矩、剪力和載荷集度之間的微分關系,借助問題的定解條件確定未知系數;文獻[4]中韓曉娟給出的方法是在三彎矩法基礎上引入剛度系數和載荷分布系數,在一定程度上簡化了連續靜不定梁變形的計算過程;此外,還有奇異函數與拉普拉斯變換相結合的方法[5-6]、有限元分析法[7]、傳遞矩陣法[8]和沃爾特拉積分方程法[9]等;熊劍峰等[10]利用傅里葉級數展開、哈密頓原理和伽遼金方法，研究了任意邊界條件下多跨梁在輪印載荷作用下的位移響應解;李銀山等[11]對多跨梁影響線問題提出了一種連續分段獨立一體化的積分法,能夠做到快速解析求解;賀坤龍等[12]利用ANSYS軟件對三跨波形鋼腹板連續梁彎橋分別承受集中載荷和連續分布載荷作用,在四種不同支撐條件下的剪力滯效應問題。不同于上述方法,本文針對兩端鉸支多跨連續梁變形計算問題提出的正弦級數法,是預先將撓度假設為自動滿足連續梁兩端撓度和彎矩為零條件的正弦級數,利用梁中間支撐處撓度為零的邊界條件和最小勢能原理,推出級數中未知系數滿足的無窮線性代數方程組,然后在滿足計算精度基礎上進行有限項截斷求解。該方法無須解除約束,無須列出彎矩函數,無須利用疊加原理單獨考慮每種載荷產生的變形,故計算過程和步驟簡單方便,計算精度高,給出的數值算例結果說明了方法的可行性。

1 理論模型與分析

圖1 多跨梁受力分析

考慮到文中討論的多跨連續梁的兩端是鉸支的,故其撓度和端部彎矩始終為零。因此，無論梁承受什么樣的載荷作用,可以將梁的撓度函數w(x)在區間[0,L]內的曲線周期性延拓展開為無窮區間(-∞,∞)上的正弦級數(周期為2L)，如式(1):

(1)

其中:ak(k=1,2,…,∞)是待定系數。

根據圖1,式(1)還應滿足如下方程組

w(Lj)=0,j=1,2,…,n-1,

(2)

即

(3)

由方程組(3),理論上總是可以解出n-1個未知量,比如a1,a2,…,an-1,它們均可以由剩余的待定系數an,an+1,…線性表示出來,假設取如下形式:

(4)

其中:βkt(k=1,2,…,n-1;t=n,n+1,…)是表達式系數,它們可由下列線性代數方程組確定,即

j=1,2,…,n-1;t=n,n+1,…,

(5)

其對應的矩陣表示形式為

(6)

多跨連續梁靜力平衡后,系統的總勢能U(a1,a2,…,an)可表示為

U(a1,…,an)=

(7)

其中:w″(x)是撓度函數w(x)關于x的二階導數,w(l0)是撓度函數在l0處的值,它們分別可表示為

將式(4)代入式(7)中,系統的總勢能函數U(a1,a2,…,an)應為待定系數(an,an+1,…)的二次函數。

根據最小勢能原理有

(8)

即

(9)

其中:t=n,n+1,…。

將式(1)代入式(9)中整理得

通過上述方程(5)或(6)(利用計算機可輕松完成)預先可以求得一系列βkt(k=1,2,…,n-1;t=n,n+1,…),然后利用式(10),求得aj(j=n,n+1,…),進一步利用式(4),求出ak(k=1,2,…,n-1),最后通過式(1)確定多跨梁的撓度函數w(x)。

為了比較和驗證本文方法的計算效果,把材料力學中解除約束法給出的撓度函數假設為w1(x),則絕對計算偏差δ(x)定義為

δ(x)=|w(x)-w1(x)|,x∈[0,L]。

(11)

2 數值算例及分析

算例1以一個雙跨連續梁承受其自重和集中力F0的作用問題為例(圖1),其中F0=300 N,l0=2.0 m,L1=3.0 m,L=4 m;E=2.5×109N/m2,梁采用矩形方管制作,截面外部寬度和高度分別為b=0.2 m和h=0.4 m,內部寬度和高度分別為b1=0.19 m,h1=0.39 m,梁的重力線密度為q=465 N/m,方向向下,按照本文方法(實線)和解除約束法[1](虛線)分別計算,結果如圖2(2種方法計算結果完全重合,無法分辨)。為了看出兩者之間的細微差別,可參看絕對計算偏差δ(x)的變化曲線(圖3)。從圖3看,兩者的絕對偏差在中間支撐處有較為劇烈的波動變化,在集中力F0作用處附近也有小許波動,但變化幅度最大值都不超過1.751 3×10-12m,在雙跨梁的整個長度范圍內,計算偏差δ(x)∈[0,1.751 3×10-12]m,完全可以忽略。

圖2 雙跨梁撓度變化曲線

圖3 雙跨梁撓度計算偏差變化曲線

Fig.3 Calculation deviation curve of deflection of double-span bean

這里,計算精度取為ε=10-5,無窮線性代數方程組(10)中取用100個方程,即撓度的正弦級數中取用了前N(N=101)項。從圖2還可看出,本文計算的撓度曲線在點x=0,3,4 m處取值為零,完全滿足問題的邊界條件。按照文獻[1]推出的解除約束法的撓度函數表達式w1(x)較為繁瑣,這里略去不寫。

算例2三跨連續梁承受集中力F0和自重q的作用(圖1),其中F0=300 N,梁采用矩形方管制作,截面外部寬度和高度分別為b=0.2 m和h=0.4 m,內部寬度和高度分別為b1=0.19 m,h1=0.39 m,(方管)自重線密度q=463.15 N/m。其他已知參數L0=3.0 m,l1=2.5 m,l2=3.0 m,l3=3.5 m,L=9 m，E=2.5×109N/m2，L1=l1=2.5 m,L2=l1+l2=5.5 m,L=9 m。計算精度取為ε=10-5,對上述無窮方程組(10)取用100個方程,即撓度的正弦級數中取用了前N(N=101)項,結果如圖4(實線)。同時在該圖中也繪出了解除約束法[1]的結果(虛線),兩者是重合的,兩者的計算偏差曲線如圖5,計算偏差在梁的總跨度范圍內的變化區間是[0,3.480 8×10-10]m。從圖5看,計算偏差在x=2.5 m和x=5.5 m這2個中間支撐處附近波動變化較為強烈,在集中力F0作用點x=3 m處附近也有不太明顯的小幅波動,但無論怎樣,它們的波動幅度都未超過3.480 8×10-10m。

圖4 三跨梁撓度變化曲線

圖5 三跨梁撓度計算偏差變化曲線

Fig.5 Calculation deviation curve of deflection of three-span bean

3 結束語

針對兩端鉸支多跨梁的撓度計算問題,提出了利用最小勢能原理的正弦級數解法,該法具有如下幾個特點:

(1)無須解除約束,無須列出彎矩函數,無須計算復雜的莫爾積分或分段常微分方程組定解問題;

(2)2個算例的計算結果表明,只要在撓度的無窮正弦級數中選用前100項即可保證較高的計算精度,且與材料力學[1]的解除約束法的結果在計算精度范圍內完全一致;

(3)對于多個載荷作用的情形,無須利用疊加原理分別求解結果再求和,而是統一一次性處理,因而計算效率較高。