Fermat型二階混合偏微分方程的整函數解

謝利兵，陳裕先，廖秋根

(新余學院數學與計算機學院，江西 新余 338004)

1 引言與主要結果

本文假設讀者已經熟悉亞純函數值分布理論及其相關的符號[1].在1939年，Iyer[2]研究了Fermat型函數方程f2(z)+g2(z)=1的解并證明了該方程的整函數解只有f(z)=cosa(z)，g(z)=sina(z)，其中a(z)為整函數.之后，有許多的研究者對其進行了進一步的研究，考慮將其中的f(z)，g(z)換成微分或者差分的形式，討論其解的存在性以及解的形式，見[3-10]。

2015年，Liu-Dong[7]研究了下列形式的微分方程，得到下列結果：

定理A[7]方程

[f(z)+f′(z)]2+[f(z)+f″(z)]2=1

沒有超越亞純函數解.

2020年，Xu-Cao[4]得到了兩個變量的Fermat型一階偏微分方程的結果，如下：

定理B[4]Fermat型偏微分方程

的任意有窮級的超越整函數解的形式為f(z1，z2)=sin(z1+g(z2))，其中g(z2)是關于變量z2的一個多項式。

此外，Xu-Meng-Liu[5]對Xu-Cao[4]的結果進一步一般化，討論了將其中的f(z1，z2)換成差分的形式f(z1+c1，z2+c2)，f(z1，z2)的一階偏導換成二階偏導的情形。在本文中根據以上的作者的結論，我們主要得到了如下結果：

定理1.1令a1，a2，a3，a4∈C是四個非零常數，令f(z1，z2)是偏微分方程

(1)

的一個有窮級的超越整函數解，則

其中

根據定理1.1，當a1=a2=a3=a4=1時，可以得到如下推論

推論1.2令f(z1，z2)是偏微分方程

的一個有窮級的超越整函數解，則

下面給出兩個例子來說明方程(1)的有窮級整函數解的存在：

例1.3令a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，η1=2，η2=3，B=1且

其中

那么ρ(f)=ρ(g)=1為有窮級且f(z1，z2)，g(z1，z2)為方程(1)的整函數解。

例1.4令a1=a2=a3=a4=1，η1=2，η2=3，B=1且

那么ρ(f)=ρ(g)=1為有窮級且f(z1，z2)，g(z1，z2)為方程(1)的整函數解。

2 引理

在證明主要結果之前，需要以下兩個引理

引理2.1[12]對于Cn上的一個整函數F，滿足F(0)≠0且ρ(nF)=ρ<∞;那么存在正則函數fF和函數gF∈Cn使得F(z)=fF(z)egF(z).當n=1時，fF為Weierstrass典型積。

引理2.2[13]如果g，h是復平面C上的整函數，且g(h)是有窮級的整函數，那么只有下列兩種情況：

(a) 整函數h是一個多項式且整函數g是有窮級的；

(b) 整函數h既不是一個多項式也不是有窮級的，且整函數g是零級的。

3 定理1.1的證明

由(2)與(3)得

(2)，(3)分別關于z2，z1求偏導，得

(5)

(6)

(7)

對(7)兩邊關于z1求偏導，得

再根據(4)，得a3K1=a1K2，即可得

設(7)的特征方程為

將上式代入(2)，(3)得

即得

即有

(8)

(9)

根據(8)式與(9)式，則有

(10)

(11)

(12)

即

We2p(z)=M

(13)

其中

(13)

(14)

由(13)，(14)可得

(15)

(16)

即

α1a2a3-α2a1a4=0

(17)

另一面，根據(11)有

上式的特征方程為

通過初始條件：z1=0，z2=s以及f:=f(0，s):=φ0(s)，其中s為參數，則z1=a2a3t，z2=-a1a4t+s以及

由(17)，得

將其代入(8)和(9)，則可得

解得

根據以上討論的兩種情形，定理即可得證。